信号与系统第四章-连续信号复频域分析

1、南京邮电大学 信号分析与信息处理教学中心 2006.1,SIGNALS AND SYSTEMS,信号与系统,第四章 连续信号与系统的复频域分析,第四章 连续信号与系统的复频域分析,连续信号与系统的复频域分析概述 4.1 拉普拉斯变换 4.2 典型信号的拉普拉斯变换 4.3 拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯反变换 4.6 连续系统的复频域分析 4.7 系统函数 4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性 4.9 连续时间系统的稳定性 本章要点 作业,返回,连续信号与系统的复频域分析概述,傅里叶变换（频域）分析法 在信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、取样、滤波等

2、 要求信号满足狄里赫勒条件 只能求零状态响应 反变换有时不太容易 拉普拉斯变换（复频域）分析法 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 可以看作广义的傅里叶变换 变换式简单 扩大了变换的范围 为分析系统响应提供了规范的方法,返回,4.1 拉普拉斯变换,返回,4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换,信号不满足绝对可积条件的原因是：,只要 取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。,一. 引进广义函数(傅氏变换),二. 拉氏变换(无需引进广义函数),若 f(t) 不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换域中的函数，人为地用一个实指数函数e- t 去乘 f (t) 。,称

3、为衰减因子； e- t 为收敛因子。,解决的方法：,取 f(t)e- t 的傅里叶变换：,其傅里叶反变换为,双边拉普拉斯正变换,双边拉普拉斯反变换,上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为,拉氏变换扩大了信号的变换范围。,变换域的内在联系,4.1.2 单边拉普拉斯变换,正变换的积分下限用 0- 的目的是：把 t=0 时出现的冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态 f(0-)。 但反变换的积分限并不改变。,以后只讨论单边拉氏变换：,（1）f (t) 和 f (t) (t) 的拉氏正变换 F(s) 是一样的。,（2）反之，当已知 F(s) ，求原函数时，也无法得

4、到 t 0 时的 f (t) 表达式。,例如，常数 1 和 (t) 的（单边）拉普拉斯变换是一样的。,单边拉氏变换的优点：,(1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应或全响应。,(2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需要了解 t=0- 时的情况就可以了。,(3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ，复频域变量 s 的取值范围为复平面( S 平面)的一部分。,当 0 时，,f(t)e- t 绝对收敛。,(4) 任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换 F(s) 中一定没有冲激函数。,4.1.3 （单边）拉氏变换的收敛域,信号 f (t) 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的

5、条件。是否一定满足，还要看 f (t) 的性质与 的相对关系。通常把使 f (t)e- t 满足绝对可积条件的 值的范围称为拉氏变换的收敛域。,满足上述条件的最低限度的 值，称为 0 (绝对收敛横坐标)。,如：有始有终的能量信号 0 = -,功率信号 0 = 0,按指数规律增长的信号：如 e t ，0 = ,凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为指数阶函数。指数阶函数均可以用乘以 e- t 的方法将其分散性压下去。,结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。,单边拉氏变换的收敛域是：复平面( s 平面)内， Re(s) =0 的区域，比较容易确定。一般情况下，不再加注其收敛域。,1. 傅里叶级数：,实

6、际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦分量之和。,复振幅： （可以用复平面虚轴上的离散频谱表示）,4.1.4 变换域之间的内在联系,单元信号:,角频率: （在虚轴上离散取值）,2. 傅里叶变换,频谱密度： （可以用复平面虚轴上的连续频谱表示）,单元信号:,角频率: （在虚轴上连续取值）,复振幅： （为无穷小量）,实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正弦分量 之和。,3. 拉普拉斯变换,象函数： （可以用 s 右半平面上的连续频谱表示）,单元信号:,复频率: （在 s 右半平面上连续取值）,复系数： （为无穷小量）,实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅（按指数规 律增长或衰减）或等幅振

7、荡的正弦分量 之和。,4.2 典型信号的拉普拉斯变换,返回,返回,由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。,1. 指数信号 e- t (t),(这里 无任何限制),2. 单位阶跃信号 (t),3. 单边正弦信号,4. 单边余弦信号,5. 单边衰减或增长的正弦信号,即,6. 单边衰减或增长的余弦信号,7. 单边双曲正弦信号,8. 单边双曲余弦信号,9. 冲激函数,根据冲激函数作为广义函数的定义：,故,即,10. t 的正幂信号 (n为正整数),由定义：,对上式进行分部积分，令,可见：,依次类推：,特别是 n=1 时，有,拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,例如增长的指数信号：,：只有拉氏变换而无傅氏变

8、换,：拉氏变换、傅氏变换都存在，且,例如衰减的指数信号：,例如单位阶跃信号： (t),P185 表4-1 典型信号的 拉氏变换对,4.3 拉普拉斯变换的性质,在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。 拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似 ，只要把傅氏变换中的 j 用 s 替代即可。 但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。,返回,1. 线性,2. 时移性,返回,例4-3-2 求图示锯齿波 f (t) 的拉氏变换,解：,根据时移性，有,所以：,利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换,设 f1(t) 表示第

9、一个周期的函数，则,说明周期信号的拉氏变换等于它第一个周期波形的拉氏变换F1(s) 乘以因子,周期函数可以是广义的，例如台阶函数,例4-3-3 求半波正弦函数的拉氏变换,3. 比例性（尺度变换）,再应用比例性，得,解法一：先应用时移性，可得,例4-3-4,解法二：先应用比例性，可得,再应用时移性，得,4. 频移性,返回,与傅氏变换比较：,这里，s0 可以是实数，也可以是虚数或复数。,例4-3-5,5. 时域微分,主要用于研究具有初始条件的微分方程,证明： 根据定义,同理可得,依此类推，可得,若 f (t) 为有始函数，则,例4-3-6,由于f (0-)不同，所求导数的拉氏变换不同。,6. 时域

10、积分,证明：由定义,若积分下限由 - 开始,所以,例4-3-7,7. 初值定理,证明：利用时域微分性质,注意：,例：已知 ，试求初值 。,实际上：,如果不加以分析而直接套用公式，将会得到 的错误结果。,8. 终值定理,两边取 s 趋于零的极限，得,证明:根据时域微分性质，有,条件是： 存在,这相当于 F(s) 的极点都在 S 平面的左半平面，并且 如果在虚轴上有极点的话， 只能在原点处有单极点。,否则会得到 的错误结果。,其极点 s = 在 s 平面的右半平面，不能用终值定理。,例：已知 ，试求 f (t) 的终值。,解：因为 F(s) 的极点为 s1=0， s2 =-1 和 s3 = -2，

11、满足终值定理的条件。所以有,9. 复频域微分,证明:根据定义,同理可证:,10*. 复频域积分,证明:,其它性质：,时域卷积定理,复频域卷积定理,(无对称性),P194 表4-2 常用拉氏变换的性质,基本公式,复频域积分性质,时域积分性质,例 求下列函数的拉氏变换,有下列公式,例：求图示函数 f (t) 的拉氏变换。,解法一： 按定义式求积分,解法二： 利用线性和时移定理,解法三： 利用时域微分性质,例 求下列函数的单边拉氏变换：,解：,4.4 拉普拉斯反变换,4.4.1 简单的拉普拉斯反变换：直接应用典型信号的拉氏变换对（表4-1）及拉氏变换的性质（表4-2）得到。,例:,返回,例:,返回,

12、例：,解：,例:,解：,频域微分,4.4.2 部分分式展开法,常见的拉氏变换式是 s 的多项式之比，一般形式为,如果 N(s) 的阶次高于 D(s) 的阶次,可以用长除法将 F(s) 化成多项式与真分式之和，例如,多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如,所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。,返回,1. D(s) = 0 的根都是实根且无重根,其中,例:,解：,遮挡法,返回,2. D(s) = 0 的根有复根且无重根,的反变换可以用配方法（或部分分式展开法 . 略）,上式右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再利用对应项系数相等的方法即可求得 k1 和 k2 。,例：,遮挡

13、法,配方法,对应项系数相等法,返回,3. D(s) = 0 的根有重根,k1p k11可以通过对应项系数相等或公式法得到。,依此类推,它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到,则,例：,用遮挡法，得,对应项系数相等法,返回,例*：,例: 求下列函数的拉氏反变换：,解：,根据时移性质，有,解：,（配方法）,（长除法）,例: 求下列函数的拉氏反变换：,解：,例:,例:,例*:,4.6 连续系统的复频域分析,拉普拉斯变换分析法(复频域分析法)是分析线性连续系统的有力工具： 1. 它将时域中描述系统的微分方程变换为 s 域中的代数方程，便于运算和求解； 2. 由于变换时引入了初始状态，所以能够分别求解零

14、输入响应和零状态响应，或者直接求解系统的全响应。 3. 不仅可以分析稳定系统，也可以分析不稳定系统。 4. 不仅可以从微分方程求解系统的全响应，也可以直接从电路求解。,返回,4.6.1 微分方程的复频域分析法,以二阶常系数线性微分方程为例：,设激励 为有始信号，即,对微分方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有,整理成,例4-6-1 系统的微分方程为,解：对微分方程取拉氏变换，得,返回,4.6.2 电路的复频域模型,已知电路时，可根据复频域电路模型，直接列写求解复频域响应的代数方程。,1. 电阻元件,电路元件的复频域模型,2. 电容元件,3. 电感元件,注意： （1）内电源的方向； （2）串联

15、模型中，元件上的电压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和。,用电路的复频域模型求解响应的步骤,1. 电路中的每个元件都用其复频域模型代替（初始状态转换为相应的内电源）； 2. 信号源及各变量用其拉氏变换式代替； 3. 画出电路的复频域模型； 4. 应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换式。 5. 反变换得响应的时域表达式。,例：,解：画出复频域模型如图所示，其中,由KVL得,返回,零状态响应,零输入响应,全响应,例：,电路的复频域电路模型 如图所示，列节点方程,代入数据整理得,4.7 系统函数,4.7.1 系统函数与零状态响应,返回,4.7.2 系统函数的求法,1. 已知微分方程,2.

16、已知冲激响应,返回,例：已知系统的微分方程为,试求该系统的系统函数。,解法一：在零状态条件下，对微分方程两边取拉氏变换，得,解法二：先求得冲激响应为,例：试求图示电路的系统函数。,3. 已知电路,解：电路的零状态复频域模型如图,利用电路的零状态复频域模型求解。,返回,4.7.3 系统框图化简,一个总系统由一些子系统按照一定的方式连接而成，当各子系统的系统函数已知时，可以通过框图化简求得总系统的系统函数。,一、 基本联接方式,1. 级联,2. 并联,返回,3. 反馈,二、 其它化简规则,1. 和点前移,2. 和点后移,3. 分点前移,4. 分点后移,例4-7-3 试用框图化简的方法求系统函数。P

17、213,三. 线性系统的复频域模拟,对微分方程取拉氏变换，有,设中间变量 Q(s)，使之满足方程,将时域模拟图中的积分器符号改为s-1即可：,例如二阶系统,返回,例：已知系统框图，试求系统函数和微分方程。,消去中间变量，得,解：设中间变量 Q(s) 如图所示，则,所以，系统函数为,微分方程为,4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性,4.8.1 系统函数的零点与极点,zj 称为系统函数的零点,pk 称为系统函数的极点,系统函数的零、极点图：是系统函数的另一种表示方法。 零点用“ ”表示，极点用“ ”表示，若为 l 重零点或极点，则注以 ( l )。,实际系统的系统函数必定是复变量 s 的实有理

18、函数，其零、极点一定是实数或成对出现的共轭复数。,返回,例如,例: 已知系统的零、极点图，并且该系统阶跃响应的终值为 3 试写出系统函数的表达式。,解：,依题意知,4.8.2 由系统函数的零、极点分布确定系统的时域特性,1. 由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应模式,（a）H (s) 的所有极点都为单极点,返回,（b）若 H (s) 具有 n 重极点，则冲激响应的模式中将含有 t n-1 因子。,（c） H (s) 零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应的模式没有影响。,（d）当 H (s) 为假分式时，应先化成多项式与真分式之和。多项式部分表示冲激响应中含有冲激函数及其

19、各阶导数，再分析真分式部分所对应的响应模式。,2. 由系统函数的零、极点分布确定系统的全响应模式,（1）零状态响应 yzs(t),H(s) 与系统的全响应模式之间的关系：,H(s) 的极点确定零状态响应中自然响应的模式；,X(s) 的极点确定零状态响应中强制响应的模式。,若 H(s) 的极点与 X(s) 的零点相同，自然响应会减少一项；,若 H(s) 的零点与 X(s) 的极点相同，强制响应会减少一项；,例如,例如,若 H(s) 与 X(s) 的极点相同，会增加一个新的分量，这两个相同极点所对应的分量是自然响应和强制响应合成的结果。,（2）零输入响应 yzi(t),零输入响应的模式由系统特征方程的根确定。,如果 H(s) 没有零、极点相消，则特征方程的根就是 H(s) 的极点，则零输入响应的模式由 H(s) 的极点确定。,H(s) 的零、极点是否相消，不影响零状态响应的模式。,系统函数 H(s) 一般只用于研究系统的零状态响应。,如果 H(s) 的零、极点相消时，系统的某些固有频率在 H(s) 的极点中将不再出现，这时零输入响应的模式不再由 H(s) 的极点确定。,在计算零状态响应时分子分母公因子可以相消：,在计算零输入响应时分子分母公因子不能相消：,（3）稳定系统各种响应之间的关系,4.9 连