正交多项式回归设计及参数设计.ppt

1、正交多项式回归设计&参数设计,正交多项式回归设计,定义 将正交试验法与多项式回归分析结合 特点 兼顾了两种技术的优点，且计算简单 正交试验法 可用较少的试验次数，获得能反映全面试验的情况；通过对试验结果的ANOVA，可估计若干因素影响的相对大小及因素间的相互关系，并利用此种关系在一定置信度下由各因素的取值去预测响应值的范围 多项式回归 可将响应值控制在某一区间内，反向确定各个影响因素的取值范围；尤其当影响因素个数较多，处理数据的工作量较大时可大大简化计算 前提 仅适用于自变量取等间隔数值的情况,多项式回归,若x可控，且其水平取值的间距为h（并非均为1），则任一组等距点为x1=a+h，x2=a+

2、2h，xn=a+nh 通过下式转化为一组标准等距点（h=1）1,2,t,n 设对应于xi = t的试验结果为yt，则可产生一个k次多项式 设1（x）、 2（x）、 k（x）分别为x的一、二、及k次多项式，则可见,Cont,k次线性回归方程的偏回归系数由正规方程组决定 为简化计算，同时令 （即正交性） 求解偏回归系数和截距,Cont,正交多项式 xt的取值为标准等距点，n为因素的水平数 由于i（x）的值并非均为整数，则通常引进适当的系数，使其在几个整数点上的值变为整数,Cont,对于给定的n，相应的i及i（x）在1，2，n各整数点的数值及 均已制表,Cont,Cont,Cont,Cont,Con

3、t,利用正交多项式回归的计算步骤,根据因素水平数n，设需配一个k次多项式（k5），n个水平至多配（n-1）阶的多项式 依次求 回归方程为,Cont,每次多项式i（x）的系数bi及相应的Bi只与yt及i（x）有关，而不随其他各次多项式的增减而变化；在整个回归中多配一项i（x）将使回归平方和增加一项biBi，故第i次多项式i（x）的效应为Pi=biBi=Bi/si，而回归平方和则是各次效应的和 方差分析表,Cont,为考察甲醛浓度x与缩醛化度y之间的定量关系，对7种不同甲醛浓度各进行了若干次试验，测出各种浓度的平均缩醛化度 配一个4次多项式的回归方程 将x变为一组标准等距点x（1，2，7） 利用n

4、=7做正交多项式，则回归方程变为,Cont,Cont,由于一次项高度显著，故线性方程为,Cont,由于二次项也显著，故二次方程为 由于三次项与四次项不显著，故无需再配,Cont,各个点的回归计算值与实测值的比较,正交多项式回归设计与回归方程的建立,若用正交表安排试验，将因素水平的间距取为相等，则可用正交多项式回归来处理正交试验的结果，定量地描述响应值与各因素间的关系 各因素的总效应函数可表示为各因素效应之和 式中，P(A)、P(B)、P(C)分别为因素A、B、C等的效应函数，可按正交多项式展开,Cont,各项回归系数bk和常数项b0的计算 式中， ，r为同一因素水平下的重复试验次数 求出各个b

5、和b0，即可建立回归方程,Cont,对于多因素等水平间距试验，选用正交表 安排,Cont,标准等距点的转化（式1-6） 按式1-6正交多项式展开，对式1-2（二水平），各因素只需配1项；而对式3-6（四水平），各因素则需配3项（具体展开式见后页） 由于二水平因素需进行8次试验，每次试验进行三次重复测定，故总的重复次数r =8*3次；同理，各个四水平因素的正交试验次数则为r =4*3次 计算各自回归系数,Cont,其余回归系数同理计算,Cont,将上述回归系数带入效应函数公式，即可得回归方程 回归方程及各回归系数的假设检验,Cont,以上为最优回归方程 手工计算过于繁琐，故需借助软件实现,产品的

6、三次设计,一种产品的质量，是设计质量、制造质量和使用质量的总和；而前者是形成产品质量关键的第一步，以防“先天不足，后患无穷” 美国质量管理专家JurAn博士认为，设计质量占整个产品质量的比率为60% 日本质量工程专家田口玄一博士认为，设计质量（包括产品设计与工艺设计）占整个产品质量的比率为70%左右 田口博士在20世纪70年代首次提出“三次设计”的概念。认为产品的质量，首先是设计出来的，其次才是创造和检验出来的,Cont,概念 设计某种性能的产品以满足市场的需求，一般要经历三个阶段，系统设计、参数设计与容差设计 本质 在专业设计的基础上，用正交设计的方法选择最佳组合和最合理的容差范围，尽量用价

7、格低廉的、低等级的零部件进行组装的优化设计方法,Cont,系统设计（System Design） 又称基础设计，为三次设计的第一步 专业技术人员运用专业知识与技术，利用系统工程的思想与方法，对产品的结构、性能、寿命、材料等进行综合设计，以探讨产品如何最经济、最合理地满足市场用户需求 该阶段质量的好坏完全取决于专业技术人员的能力和经验；而试验设计方法在此阶段不起任何作用 故需要数学领域专家配合专业技术人员，尽力寻找产品性能指标与系统中各参数（即因素）之间的函数关系，才会为后续的参数设计带来极大方便,Cont,参数设计（Parameter Design） 在系统设计的基础上，对影响产品特征的各项参

8、数及水平，运用试验设计的技术方法，目的在于寻找试验因素的最优参数组合 常见分类 “直接择优” 若性能指标具有某个确定的目标值，或具有越大（或越小）越好之特性，试验目的仅在于使指标值达到或接近优良状态 “稳定性择优” 通过良好的参数组合，来提高产品指标的稳定性。一般地，按照一组优良参数设计制造的产品，将表现在其目标特性的波动性小，稳定性好。,Cont,本质 乃产品质量的优化设计，属于三次设计的核心阶段；主要利用非线性设计的性质减少输出响应的波动，减少质量损失 步骤 分析、明确问题的提出，选择因素及其水平 选择正交设计表，确定试验方案 进行试验，测出所需的响应特征值 进行数据的统计分析 确定最佳方

9、案,Cont,容差设计（Tolerance Design） 对产品的质量、成本和市场等问题综合考虑，做出规划 基本思想 参数设计只决定各因素的参数中心值，但其实各参数均由一个公差（公差的一半即容差）。明显地，当各因素的参数在公差范围内变动时，产品的性能也随之改变 要使产品的性能接近目标值，各因素的公差应该多少为宜？这就是第三次设计需要考虑的重点问题 一般地，除了使产品满足容差的要求，还需要考虑主要影响因素，是否可以用波动范围较小的一级品、二级品替代三级品，从而提高产品质量，降低质量损失，增加经济收益，但同时成本会上升，因此需要衡量得失利弊,Cont,三次设计的特点 基础设计 不用试验设计 参数

10、设计 不需要增加单位制造费就能提高产品质量，是 最便宜的设计 容差设计 只能在参数设计之后进行，且产品的单位制造 费用很高 稳定性择优设计就集中在如何有效地进行参数设计阶段,参数设计的基本思想（1）,产品的质量用产品带来的损失大小来衡量 “理想质量” 用户总期望购买的产品在给定的使用条件下和使用寿命期内，既能达到既定的目标性能，又无有害的副作用，这也是用户评价质量的参考点 实际上，由于产品间的差异、使用环境的不同或产品提前老化等诸多原因，“理想质量”会有不同程度的偏离，自然也就给供需双方，乃至社会带来不同程度的损失 一般认为，理想产品的损失为0，损失越小，则质量越高，需方人数将越多，供方利润也

11、越丰厚,参数设计的基本思想（2）,产品的损失用质量损失函数来度量 产品的特性值y不仅与目标值m之间存在差异（由表示容差），同时还可能因为来自生产条件、使用环境即时间因素等多方面的干扰而发生变化，产生波动，造成损失 当产品的y落在m- ，m+的公差范围内，即为合格品 反之，则为不合格（需报废、降级或返修）或次品（需方） 设质量波动超过作为不合格处理时，给供方造成的损失为A元；而作为次品出厂，给需方造成的损失为D元；D A 若质量波动未超过，仍会因为少许的波动，导致y偏离目标值m，也会造成一定的损失，但其必然小于A,Cont,设产品特性值为y的产品，出厂给需方带来的损失为L（y） 当y = m时，

12、L（m）= 0取极小值，其导数必然也为0 当y偏离m达到时， L（m-）= L（m+）= D 围绕目标值m，对损失函数L（y）做Taylor展开，并只取到二次项，可得以下近似表达式 可见，损失函数的第一项即为第三项，即质量损失函数在y = m附近可近似地表达为一条二次曲线,Cont,质量损失函数为,Cont,质量损失函数的确定，关键在于m与k k可由功能界限0及其相应损失D0确定 功能界限是指产品失去功能时偏离中心的界限值，即当 y - m 0 时，产品可正常使用，发挥功能；反之，当 y - m 0 时，产品则完全丧失功能，不能使用 即质量损失函数为,Cont,某一电视机的电源电压，输入交流电

13、压220V，输出直流电压y的目标值m0为110V。用户在使用过程中，其稳压电源的直流输出电压y与目标值m0之间产生10V的偏差，即丧失功能。此时，用户因维修、废弃、重构等而蒙受损失，假设平均损失40元。请估计损失函数。,Cont,若生产出某一电视，其输出电压105V，偏离5V。试问该产品能否作为合格品出厂呢？并估计该产品将给用户带来的损失。 若厂家能支付2元对产品进行返修，使输出电压达到110V，此时输出电压的波动损失则为0 反之，若厂家只考虑自身利益，为节省2元返修费，则讲给用户和社会增加（10 - 2）= 8元的损失,参数设计的基本思想（3）,产品质量特性y是随机变量，由于事先无法得知确切

14、值，故损失函数L（y）也是随机变量 对随机变量最好的评定方式为其数学期望（平均值），即EL = E L（y）为平均损失，该值越小，则产品质量越高 可见，要减少平均损失，需尽量减少方差和绝对偏差；减少后者相较前者容易一些,Cont,参数设计的两步法 稳健设计减少y的波动，使产品质量较为稳定 灵敏度设计寻找“调节因子”，减少偏差，使y的均值尽量向目标值靠近,参数设计的基本思想（4-1）,进行稳健设计时，需要明确两个指标，一是产品的质量特性y，二是表征y波动的指标（信噪比） 望目特性 具备望目特性的y应该是连续测定的且不为负的任意值，其目标值m是非零的有限值，且y越接近m越好 信噪比SN 本质为变异

15、系数平方的倒数，SN越大，则质量波动越小 记y1，y2，yn是y的n个观察，则SN估计值为（dB分贝）,参数设计的基本思想（4-2）,望小特性 具备望小特性的y应该是连续测定的且不为负的任意值，同时y应越接近理想值0越好 由于望小特性没有目标值，故其参数设计只有稳健设计 此时，使用m = 0的平方损失函数 其平均损失为 其信噪比为 可见，信噪比越大，则等价于平均损失越小,参数设计的基本思想（4-3）,望大特性 具备望大特性的y应该是连续测定的且不为负的任意值，同时y应取值越大越好 同样望大特性没有目标值，故其参数设计只有稳健设计 若y为望大特性，则（1/y）为望小特性，利用前页望小特性的公式，

16、也可估计出望大特性的信噪比,稳健设计,目的旨在减少y的波动，寻找使得质量波动达到最小的可控因素的水平组合 举例说明稳健设计与分析的全过程 欲设计一个电源电路，能把交流110V变为直流115V。工程中已有成熟的电路可以使用，但其中有两个电子元器件的参数需要确定 因素A（电阻） 因素B（电流放大倍数） 两因素各选5个水平，并安排11次试验,Cont,三组参数搭配可使输出为直流115V ：A=200 B=800 ：A=250 B=500 ：A=350 B=260 需要选择一组参数搭配，使得偏差和波动均较小！,Cont,寻找波动源 由专业经验与实际情况判断 A 电阻的标称值有10%的波动 B 电流放大

17、倍数的标称值有50%的波动 直观分析 当A固定在250时，y是B的线性函数 当B固定在500时，y是A的非线性函数,Cont,从上图可见，要使y波动小，电阻A应选大一些为好 综上，选择参数搭配（A=350 B=260） 注意事项 一般地，线性效应有助于将y的均值平移至目标值m；而非线性效应则有助于降低噪声的干扰 面临包含多个因素的复杂试验中，噪声因素也多种多样时，直观分析是非常困难的,Cont,一般方案借助正交设计 以参数搭配（A=200 B=800）为例，在噪声因素A和B的干扰下，取其最大干扰，形成噪声因素水平表,Cont,由y与B之间的线性效应，得出y = yA+（B-500）/20 以2

18、号试验为例 将A=180，yA = 89，B=800带入上式 ，得y = 104 估计y的均值，方差的无偏估计和信噪比SN,Cont,类似地，对参数搭配和同样可以获得相应的SN,稳健设计的基本步骤,明确参数设计的问题 确定影响质量特性y的因素 可控因素 3-8个为宜，各因素的设定为2-3个水平为宜 噪声因素 外部噪声、内部噪声、产品间噪声 内外表设计 可控因素在内，噪声因素在外 内表中的每个试验点各对应一张外表 进行试验，获得每个试验结果yij 内n外m，共nm个结果 统计分析 一个外表数据计算一个对应的信噪比 将各个信噪比放入内表，按正交设计的分析处理 验证试验,Cont,灵敏度设计,目的 在不增加y波动的前提下，设法将均值调节到目标值 适用 望目特性的y 设随机变量y的均值期望为，则其平方则为y的灵敏度 其无偏估计为 参照信噪比的做法，则y的灵敏度为,Cont,灵敏