北京朝阳上学期期末高三数学(文科)

1、北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题（文史类）2013.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项. 1.设集合Ax 0 x 2，集合B x log2x 0，则AI B等于 Ax| x 2 Bx| x 0 Cx|0 x 2 Dx|1 x 2 2已知i是虚数单位，若复数(1ai)(2i)是纯虚数，则实数a等于 A2 B 1 2 C 1 D2 2 22 开始 3.“k 1”是“直线x yk 0与圆x y 1相交”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必

2、要条件 4. 执行如图所示的程序框图若输入x 3，则输出k的值是 A3 B4 C5 D6 5. 已知x 0，y 0，且2x y 1，则xy的最大值是 输入x k 0 x x5 k k 1 11 B. C.4 D.8 48 6.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图 A. 如图所示，则其侧视图的面积为 x 23? 是 输出k 否 33 A B 42 3 结束 3 C D1 4 1 正视图 e xa,x 0, 7. 已知函数f (x) （aR R），若函数f (x)在R R上有两个零点，则a的取值范围是 2x1,x 0 A,1B,0 C1,0 D1,0 俯视图 8. 在棱长为1的正

3、方体ABCD A 1B1C1D1 中，P 1， P 2 分别为线段AB，BD 1 （不包括端点）上的动点，且 线段P 1 P 2 平行于平面A 1 ADD 1 ，则四面体PP 12 AB 1 的体积的最大值是 A 11 B 2412 C 11 D 62 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,a,9是等比数列，数列1,b 1,b2 ,9是等差数列，则 a 的值为 . b 1 b 2 222 10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b c a bc，则A= x y1 0, 11.若关于x，y的不等式组x1 0,（a为

4、常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 . ax y1 0 12.已知双曲线中心在原点， 一个焦点为F 1( 5,0) ，点 P 在双曲线上，且线段PF 1 的中点坐标为（0，2）， 则此双曲线的方程是，离心率是 . 1313.在直角三角形ABC中，ACB 90，AC BC 2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则 uuu r uuu ruuu r uuu r CPCBCPCA 14. 将连续整数1,2,L ,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到 右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明

5、，演算步骤或证明过程. 15.15. （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) sin xxx coscos21. 222 （）求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间； （）求函数f (x)在 , 上的最小值. E C B 16. （本小题满分 14 分） 在长方体ABCD-A 1B1C1D1 中，AA 1=AD=2 ，E是棱CD上的一点 （）求证：AD 1 平面A 1B1D ； （）求证：B 1E AD1 ； （）若E是棱CD的中点，在棱AA 1 上是否存在点P， 使得DP平面B 1 AE？若存在，求出线段AP的长； 若不存在，请说明理由 A1 D1 A D C1 B1 17. （本

6、小题满分 13 分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中 抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100 分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部 污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表频率分布表 频率 频率分布直方图频率分布直方图 组距 组别分组频数频率 0.040 0.1x 第 1 组50，60）8 6 第 2 组60，70）a 0.4 第 3 组70，80）20 0 0.008 0.0y 第 4 组80，90） 8 5060708090100 成绩（分） （） 第 5 组90，1002b 写出

7、合计 a,b,x, y的值； （）在选取的样本中，从竞赛成绩是80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取2 名同学到广场参加环保知 识的志愿宣传活动. （）求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率； （）求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 1 18. （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) a(x )2ln x (aR R) x （）若a 2，求曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程；（）求函数f (x)的单调区间. 19. （本小题满分 14 分） x2y2 1t 0相交于E,F两点，与x轴相交于点B，且 已知直线l : x my 1(mR R

8、)与椭圆C : 9t 当m 0时，EF 8 . 3 （）求椭圆C的方程；（）设点A的坐标为(3,0)，直线AE，AF与直线x 3分别交于M， N两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B?并请说明理由. 20. （本小题满分 13 分） 将正整数1,2,3,4,L ,n（n 2）任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任 意两个数a,b（a b）的比值 2 a ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. b （）当n 2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”； （）若a ij 表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1i n，1 j n），且满足 i( ji1

9、)n，i j, 请分别写出n 3,4,5时数表的 “特征值” ， 并由此归纳此类数表的 “特 aij i(ni j1)n，i j, 征值”（不必证明）； （）对于由正整数1,2,3,4,L ,n排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合 2 n2n1,n2n2,L ,n2，记其“特征值”为 ，求证： n1. n 北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题答案（文史类）数学测试题答案（文史类）2013.1 一、选择题： 题号 答案 二、填空题： 题号 答案 91011121314 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 C 7 D 8

10、 A 3 10 3 3 y2 x 1；5 4 2 445；85 （注：两空的填空，第一空3 分，第一空 2 分） 三、解答题： 15、（本小题满分 13 分） 解：（）f (x) sin xx1cosx111 2 分 cos1 sin xcosx 222222 21 sin(x). 4 分 242 所以函数 f (x)的最小正周期为2. 6 分 35 x 2k ，kZ Z，则2k x 2k . 24244 5 ，kZ Z.9 分则函数 f (x)单调减区间是2k,2k 44 7 ()由 x ，得 x .11 分 244 由2k 则当x 2 135 ，即x 时，f (x)取得最小值. 13 分

11、2424 16、（本小题满分 14 分） 解：（）在长方体ABCD-A 1B1C1D1 中，因为A 1B1 面A 1D1DA ， 所以A 1B1 AD 1 2 分 在矩形A 1D1DA 中，因为AA 1=AD=2 ，所以AD 1 A 1D 4 分 所以AD 1 面A 1B1D .5 分 （）因为ECD，所以B 1E 面A 1B1CD ， 由（）可知，AD 1 面A 1B1CD ，7 分 所以B 1E AD1 8 分 （）当点P是棱AA 1 的中点时，有DP平面B 1 AE 9 分 理由如下： 在AB 1 上取中点M，连接PM,ME 因为P是棱AA 1 的中点，M是AB 1 的中点， 所以PMA

12、 1B1 ，且PM 又DEA 1B1 ，且DE D E C 1 A 1B1 10 分 2 AB 1 A 1B1 2 所以PMDE，且PM DE， 所以四边形PMED是平行四边形， 所以DPME11 分 又DP 面B 1 AE，ME 面B 1 AE， P M D1C1 A1 B1 所以DP平面B 1 AE 13 分 此时，AP 1 A 1 A 1 14 分 2 17、（本小题满分 13 分） 解：（）由题意可知，a 16,b 0.04,x 0.032, y 0.0044 分 （）（）由题意可知，第4 组共有 4 人，记为A,B,C,D，第 5 组共有 2 人，记为X,Y 从竞赛成绩是 80 分以

13、上（含 80 分）的同学中随机抽取2 名同学有AB, AC, AD,BC,BD,CD, AX, AY， BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY 共 15 种情况6 分 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件E， 7 分 有AX, AY，BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY共 9 种情况8 分 所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是P(E) 答：随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率 93 155 3 .10 分 5 （）设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件F，有AB, AC, AD,BC,BD,C

14、D, XY共 7 种情 况11 分 所以P(F) 7 15 7 13 分 15 答：随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 18、（本小题满分 13 分） 12ax22x a 解：f (x) a(1 2 )，1 分 xxx2 令h(x) ax2 2x a 112 （）当a 2时，函数f (x) 2(x )2ln x，f (1) 0，f (x) 2(1 2) xxx 曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率为f (1) 22 分 从而曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程为y 0 2(x 1)，即2x y 2 04 分 （）函数f (x)的定义域为(0,) 设h(x)

15、ax2 2x a， （1）当a 0时，h(x) ax2 2x a 0在(0,)上恒成立， 则f (x) 0在(0,)上恒成立，此时f (x)在(0,)上单调递减6 分 （2）当a 0时， 44a， （）若0 a 1， 2 1 1a21 1a2 由f (x) 0，即h(x) 0，得0 x 或x ；8 分 aa 1 1a21 1a2 x 由f (x) 0，即h(x) 0，得9 分 aa 1 1a21 1a2 )和(,)， 所以函数f (x)的单调递增区间为(0, aa 1 1a21 1a2 ,) 11 分单调递减区间为( aa （）若a 1，h(x) 0在(0,)上恒成立，则f (x) 0在(0,

16、)上恒成立，此时f (x)在(0,)上单 调递增 13 分 19、（本小题满分 14 分） 解：（）当m 0时，直线l的方程为x 1，设点E在x轴上方， x 2y2 2 2t2 2t1, E(1,),F(1,). 由 9解得t 33 x 1 所以EF 4 2t8 ，解得t 2.3 分 33 x2y2 1. 4 分所以椭圆C的方程为 92 x 2y2 1, 22 （）由 9得(2m 9)y 4my 16 0，显然mR.5 分2 x my1 设E(x 1, y1),F(x2 , y 2 ),则y 1 y 2 4m16 .6 分, y y 12 222m 92m 9 y 1(x3)， x 1 3 x

17、 1 my 1 1,x 2 my 2 1. 又直线AE的方程为y y 1 y (x3), 6y 1 6y 2 x 3M(3,)N(3,). 解得，同理得 1 x 1 3x 2 3 x 3 uuuu rr 6y 1 uuu 6y 2),BN (2,), 9 分 所以BM (2, x 1 3x 2 3 uuuu r uuu r 6y 1 6y 2 36y 1 y 2 36y 1 y 2)(2,) 4 4 又因为BM BN (2, x 1 3x 2 3(x 1 3)(x 2 3)(my 1 4)(my 2 4) 4(my 1 4)(my 2 4)36y 1 y 2 16(4m236)164m2164(2m29) 32m216(2m29)m2y 1 y 2 4m(y 1 y 2 )16 64m257664m2128m2576 0.13 分 9 uuuu ruuu r 所以BM BN,所以以MN为直径的圆过点B. 14 分 20、（本小题满分 13 分） 证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变. 可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是 （）当n 3时，数表为 此时，数表的“特征值”为. 当n 4时,数表为 34 或.3 分 23 714 582 369 4 4 分