初高中数学衔接知识点专题(七)

1、初高中数学衔接知识点专题（七） 专题七专题七不不 等等 式式 【要点回顾】【要点回顾】 1 1一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 11定义：形如定义：形如为关于为关于x的一元二次不等式的一元二次不等式 22一一元元二二次次不不等等式式ax bx c 0(或 0)与与二二次次函函数数y ax bxc (a 0)及及一一元元二二次次方方程程 22 ax2bxc 0的关系 的关系( (简称：三个二次简称：三个二次) ) （）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1)(1)

2、将二次项系数先化为正数； (2)(2) 观测相应的二次函数图象 如果图象与 x轴有两个交点(x 1,0),( x2 ,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根 x 1,x2 (也可由根的判别式 0来判断) 则 如果图象与x轴只有一个 交点( b ,0)，此时对应的一元 二次方程有两个相等的 实数根 2a x x x 2 b (也可由根的判别式 0来判断) 则： 2a 如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式 0来判 断) 则： （）解一元二次不等式的步骤是：（）解一元二次不等式的步骤是： (1)(1) 化二次项系数为正；化二次项系数为正； (2)(2)

3、 若若二二次次三三项项式式能能分分解解成成两两个个一一次次因因式式的的积积，则则求求出出两两根根x 1,x2 那那么么“ “0” ”型型的的解解为为 x x 1或x x2 ( (俗称两根之外俗称两根之外) )；“ “0” ”型的解为型的解为x 1 x x 2 ( (俗称两根之间俗称两根之间) )； b 2 4acb2 ) (3)(3) 否则，否则，对二次三项式进行配方，对二次三项式进行配方，变成变成ax bxc a(x，结合完全平方式为非结合完全平方式为非 2a4a 2 负数的性质求解负数的性质求解 2 2简单分式不等式的解法简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行

4、等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不 为零为零. . 3 3含有字母系数的一元一次不等式含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为ax b的形式 1当a 0时，不等式的解为：x b ； a b ； a 3当a 0时，不等式化为：0 x b； 若b 0，则不等式的解是全体实数； 若b0，则不等式无解 2当a 0时，不等式的解为：x 【例题选讲】【例题选讲】 2 例例 1 1解下列不等式：(1)x x6 0(2)(x1)(x2) (x2)(2x1) x3 0 解解 法 法 一一 ： 原 不

5、等 式 可 以 化 为 ：(x3)(x2) 0， 于 是 ：或 x2 0 x3 0 x 3 x 3 x 3或x 2所以，原不等式的解是x 3或x 2或 x2 0 x 2x 2 2 解法二：解法二：解相应的方程x x6 0得：x 1 3, x 2 2，所以原不等式的解是x 3或x 2 2 (2) 解法一解法一：原不等式可化为：x 4x 0，即x 4x 0 x(x4) 0于是： 2 x 0 x 0 或 x 0或x 4，所以原不等式的解是x 0或x 4 x4 0 x4 0 222 解解法法二二：原不等式可化为：x 4x 0，即x 4x 0，解相应方程x 4x 0，得 x 1 0, x 2 4，所以原

6、不等式的解是x 0或x 4 说明：说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不 等式的解 例例 2 2解下列不等式：(1) x 2x8 0 (2) x 4x4 0 (3) x x2 0 2 例例 3 3已知对于任意实数x，kx 2xk恒为正数，求实数k的取值范围 例例 4 4解下列不等式： (1) 222 2x3 0 x1 (2) 1 3 x2 2 例例 5 5求关于x的不等式m x2 2mxm的解 解：解：原不等式可化为：m(m2)x m2 (1) 当m2 0即m 2时，mx 1，不等式的解为x (2) 当m2 0即m 2时，mx 1 0 m 2时

7、，不等式的解为x m 0时，不等式的解为x 1 ； m 1 ； m 1 ； m m 0时，不等式的解为全体实数 (3) 当m2 0即m 2时，不等式无解 综上所述：当m 0或m 2时，不等式的解为x 11 ；当0 m 2时，不等式的解为x ；当m 0 mm 时，不等式的解为全体实数；当m 2时，不等式无解 【巩固练习巩固练习】 1解下列不等式： (1)2x x 0 2 (3)x x 3x1 2解下列不等式： 2 (2)x 3x18 0 2 (4)x(x9) 3(x3) x1 (1) 0 x1 3x12 (2) 2 (3) 1 2x1x 2x2 x1 0 (4) 2x1 3解下列不等式： (1)

8、 x 2x 2x 2 22 (2) 1 2 11 x x 0 235 4解关于x的不等式(m2)x 1m 2 5已知关于x的不等式mx xm 0的解是一切实数，求m的取值范围 6若不等式 x2x3 1 2 的解是x 3，求k的值 kk 2 7a取何值时，代数式(a1) 2(a2)2的值不小于 0？ 专题七不等式答案专题七不等式答案 例例 2 2 解：解：(1) 不等式可化为(x2)(x4) 0 不等式的解是2 x 4 17 0 24 k 0 k 0 k 0 例例 3 3 解：解：显然k 0不合题意，于是： 2 k 1 22k 1或k 1(2) 4k 0k 1 0 2 (2) 不等式可化为(x2

9、) 0 不等式的解是x 2；(3) 不等式可化为(x) 2 例例 4 4 分析：分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或 者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数 (式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求 解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 33 2x3 02x3 0 x 3x 或 解：解：(1) 解法(一)原不等式可化为： 2 或 2 1 x 2 x1 0 x1 0 x 1x 1 3 解法(二) 原不等式可化为：(2x3)(x1) 0 1 x 2 (3x5)(x2) 0 13x53x5 (2) 解：解：原不等式可化为：3 0 0 0 x2x2x2 x2 0 5 x 2或x 3 说明：说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 【巩固练习巩固练习】 x2 0 x2 0 1 3或 x2 3(x2) 13(x2) 1 1 x 0 (2) 3 x 6 (3)x 1