北京市顺义区高三第二次统练(理数)

1、顺义区 2012 届高三第二次统练 高三数学（理科）试卷 2012.4 本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效.考试结束后将答题卡交回. 题号 得分 一二 1516 三 17181920 总分 一.选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项) 1. 已知集合M 0,1,3,N x| x 3a,aM,则集合M I N A.0B.0,1C. 0,3 D. 1,3 2.已知i为虚数单位，则复数i(1i)所对应点的坐标为 A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,

2、1) 3.已知p、q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算 1111 的值的一个程序框图， 判断 24620 框内应填入的条件是 A.i 20B.i 20 C.i 10D.i 10 5. 已 知 直 线l：x y 1 0和 圆C： 开始 S=0，n=2，i=1 是 否 S = S+ 1 n 输出 S 结束 x cos （为参数，R） ， y 1sin n= n +2 i= i +1 则直线l与圆C的位置关系为 A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相离D.直线与圆相交但

3、不过圆心 A. 直线与圆相切B. 直线与圆相离 6.甲乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲乙两人所选的课程中恰有1 门相同的选法有 A.12 种B.16 种C.24种D.48 种 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A.60B.80 C.100D.120 8 已知椭圆G: 4 4 2 正（主）视图 8 左视图 xy 1 (a b 0)的离 a2b2 22 3 2 3 心率为 2 ，M过椭圆G的一个顶点和一 2 个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的 俯视图 点M的个数是 A.4B.8C.12D.16 二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,把

4、答案填在答题卡上) 9.若(x)展开式中第二项与第四项的系数相等，则n _; 展开式中间一项的系数为_. * 10.已知数列 a n的前 n项和为S n ，对任意的 nN 都有Sn 2an1，则a1的值为 1 x n _，数列an的通项公式an_. 11.如图所示：圆O的直径AB 6，C为圆周上一点， D C l A O B BAC 300，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂 线，垂足为D，则CD的长为_. 12.已知O是坐标原点，点A(2,1)，若点M(x, y)为平面 x y1 0 uuu r uuuu r y1 0 区域，上的一个动点，则OAOM的最大值 x y1 0 为. x2y2

5、13.已知A、B、P是双曲线 2 2 1上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称， ab 若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB 1 ，则该双曲线的离心率e _. 2 14.已知全集为U, PU，定义集合P的特征函数为f P (x) 对于AU， BU，给出下列四个结论： 对xU，有 f A (x) f A (x) 1； U 1, xP, ， 0, xU P. 对xU，若A B，则f A (x) f B (x)； 对xU，有f AI B (x) f A (x) f B (x)； 对xU，有f AU B (x) f A (x) f B (x) 其中，正确结论的序号是_. 三解答题（本大题共 6 小

6、题，共 80 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）. 15 （本小题共 13 分） u rru r r xx 已知向量m (2cos,1)，n (cos,1)，(xR)，设函数f (x) mn. 22 ()求函数f (x)的值域； ()已知V ABC的三个内角分别为A、B、C， 若f (A) 1 ,BC 2 3, AC 3，求边长AB的值. 3 0 16. （本小题共 13 分） 如图：四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ACB 90， PA平面ABCD，PA BC 1，AB 2，F是BC的中点. () 求证：DA平面PAC； ()试在线段PD上确定一点G，使CG平面PA

7、F； （）求平面PAF与平面PCD所成 锐二面角的余弦值. 17 （本小题共 13 分） 计算机考试分理论考试与实际操作 考试两部分进行，每部分考试成绩只 记“合格”与“不合格” ，两部分考试 都“合格”者，则计算机考试“合格” 并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人 B F在理论考试中“合格”的概率依次为： P A D C 432 、，在实际操作考试中“合 543 格”的概率依次为： 125 、，所有考试是否合格相互之间没有影响. 236 （）假设甲、乙、丙 3 人同时进行理论与实际操作两项考试， 谁获得“合格证书”的可能性大； （）求这 3 人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2 人获得“合格

8、证书”的概率； （）用X表示甲、乙、丙3 人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期望EX. 18 （本小题共 14 分） a2 已知函数f (x) xln x,g(x) x,(其中a 0). x （）求曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线方程; （）若x 1是函数h(x) f (x) g(x)的极值点，求实数a的值; （）若对任意的x 1,x2 1,e， （e为自然对数的底数，e 2.718） 都有f (x 1) g(x2 )，求实数a的取值范围. 19 （本小题共 14 分） 已知动圆过点M(2,0)，且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C. （）求曲线C的方程；

9、（）过点M的直线交曲线C于A，B两点,若在x轴上存在定点P(a,0)，使PM平分 APB，求P点的坐标. 20. （本小题共 13 分） 对于定义域为A的函数f (x)，如果任意的x1,x2 A，当x1 x2时，都有f x 1 fx 2 ， 则称函数f x是 A上的严格增函数；函数f k是定义在 N *上，函数值也在N *中的严 格增函数，并且满足条件f fk 3k . （）证明：f (3k) 3f (k)； （）求f (3k1)(k N*)的值； （）是否存在 p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找 出所有的 p 值，若不存在，请说明理由. 顺义区顺义区 201

10、22012 届高三第二次统练届高三第二次统练 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准2012.42012.4 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C 二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 94,6；10.1，2n1；11, 63 3 ；123；13；14 、； 22 三解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （本小题共 13 分） u r r x 解：()f (x) mn 2cos21 cosx，_4 分 2 Q xRf (x) cosx的值域为1,1._6 分 1

11、()f (A) cos A ， 3 由余弦定理BC2 AC2 AB22AC ABcos A_8 分 12 9c223c 1 3 ，即 P c22c3 0_10 分 AB c 3._13 分 16. （本小题共 13 分） 解：分别以AC, AD,AP为x、y、z轴建立空 间直角坐标系， B C A D F 1 则A(0,0,0), C(1,0,0),B(1,1,0),D(0,1,0),F(1,0), P(0,0,1)._（建系正 2 确，坐标写对给 3 分） () 证明方法一： ：Q四边形是平行四边形，ACB DAC 900， QPA平面ABCDPA DA，又AC DA，AC I PA A，

12、DA平面PAC. _4 分 uu u r 方法二：易证DA是平面平面PAC的一个法向量，DA平面PAC._4 分 ()方法一：设PD的中点为G，在平面PAD内作GHPA于H， 1 则GH平行且等于AD，连接FH，则四边形FCGH为平行四边形，_6 分 2 GCFH，QFH平面PAE，CG平面PAE， CG平面PAE，G为PD中点时，CG平面PAE._8 分 方法二： 设G为PD上一点，使CG平面PAE， uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 令PGPD(0, ,),(02)，GCPCPG(1 , 1) u r 可求得平面PAE法向量m(1 ,2,0)， u r uuu r 1 要

13、CG平面PAE，m GC0，解得. 2 G为PD中点时，CG平面PAE. r （）可求得平面PCD法向量n(1 ,1 ,1)，_10 分 u r r u r r |m n|15 cosm ,nu r r 5 |m | n| 所求二面角的余弦值为 15 ._13分 5 17 （本小题共 13 分） 解： （）记“甲获得合格证书”为事件A， “乙获得合格证书”为事件B， “丙 获得合格证书”为事件C 412363214525550 则P(A)，P(B)，P(C ) 525904329036990 P(C )P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大. _4 分 （）设 3 人考试后恰有 2 人

14、获得“合格证书”为事件D P(D )P(A,B,C ) P(A,B,C ) P(A,B,C ) 21421531511 =._8分 52952952930 （）X0,1,2,3.， 1111 P(X0)， 54360 4111311129 P(X1)， 54354354360 43141213226 ，P(X 2) 54354354360 43224 ._10 分P(X 3) 54360 X的分布列为： 133 X0 ；EX 60 1P 60 18 （本小题共 14 分） 1 9 60 2 26 60 3 24 60 _13 分 a2a2 解： （）h(x) f (x) g(x) xln x

15、x 2 2xln x xx 定义域0,_1 分 a212x2 xa2 h (x) 2 2 ，_3 分 2 xxx 法一：令h(1) 0，解得a21， 又a 0，a 1，_4 分 经验证a 1符合条件. _5 分 2x2 xa2 222 0 2x xa 0 18a 1法二：令h (x) ， 2 x 1 18a21 18a2 x 1,2 ，Qx 0，x 为极值点， 44 1 18a2 x 1，解得a21，又a 0，a 1， 4 （）对任意的x 1,x2 1,e都有f (x 1) g(x2 )成立， 等价于对任意的x1,e都有f max (x) g min (x)成立，_7 分 当x1,e，f(x)

16、 1 1x1 0，f (x)在1,e上单调递增， xx f max (x) f (e) e1._8 分 a2(xa)(xa) Qg (x) 1 2 ，x1,e，a 0 xx2 a2x2a2(xa)(xa) 0，（1）若0 a 1，g (x) 1 2 xx2x2 a2 g(x) x在1,e单调递增， x g min (x) g(1)1 a2，1a2 e1，解得e2 a 1._10 分 （2）若1 a e (xa)(xa) 0 x2 (xa)(xa) 当a x e，则g(x) 0 2 x 当1 x a，则g(x) g(x)在1,a递减，在a,e递增，g min (x) g(a) 2a f max

17、(x) e1， a e1 ，又1 a e，a1,e_12 分 2 (xa)(xa) 0，g(x)在1,e递减， 2 x （3）当a e时g(x) a2 g min (x) g(e) e f max (x) e1，a2 e恒成立. _13 分 e 综上所述a e2,._14 分 19 （本小题共 14 分） （）解：设动圆圆心的坐标为(x, y). 依题意，有22 x (x 2)2 y2，化简得y2 4x. 所以动圆圆心的轨迹方程为y2 4x._5 分 （）解法 1：设A(x 1, y1) ，B(x 2 , y 2 )，直线AB的方程为x my 2. 将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得

18、：y24my 8 0. 所以y 1 y 2 4m，y 1 y 2 8._7 分 2 若PM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA k PB 0. QP(a,0)，则有 y 1 y 2 0._10 分 x 1 ax 2 a 2my 1 y 2 (2a)(y 1 y 2 ) 0， (my 1 2a)(my 2 2a) 将x 1 my 1 2，x 2 my 2 2代入上式，整理得 所以2my 1 y 2 (2 a)(y 1 y 2 ) 0. 将y 1 y 2 4m，y 1 y 2 8代入上式， 得(a2)m 0对任意实数m都成立， 所以a 2.故定点P的坐标为(2,0)._14 分

19、解法 2：设A(x 1, y1) ，B(x 2 , y 2 )， 当过点M(2,0)的直线斜率不存在，则l AB ：x 2， ，A,B两点关于x轴对称， x轴上任意一点P(a,0) (a 2)均满足PM平分APB,不合题意. _6 分 当过点M(2,0)的斜率k存在时(k 0)，设l AB ：y k(x2)， y k(x2) 联立 2 ，消去y得k2x24(k21)x4k2 0 y 4x 4k24 ,x 1x2 4，_7 分 32k 16 0，x 1 x 2 k2 2 QPM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，k PA k PB 0. QP(a,0)，(a 2),则有 y 1 y 2 0._10 分 x 1 ax 2 a 将y 1 k(x 1 2) y 2 k(x 2 2)代入上式， 整理得 k(x 1 2)(x 2 a)k(x 2 2)(x 1 a) 0, (x 1 a)(x 2 a) k(x 1 2)(x 2 a)k(x 2 2)(x 1 a) 0 4k24 ,x 1x2 4代入化简得整理得2x 1x2 (x 1