第三章一维射影几何学

1、第三章 一维射影几何学,3.1 点列与线束,维的概念：平面内的点与直线都有两个坐标，平面内的点几,何学和线几何学都是二维的。,点列：动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那条定直线称为点列的底，设 ， 为定直线上二点， 为点列的动点，则：,定义1,定义2 线束：动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。,那个定点称为线束的心。,A,B,C,x =u a +v b,设,为过定点的直线,为线束的动直线,则,由代数知识,必有数,使得,所以,点列上任意一点M的坐标可表为:,的形式,当时, 可表为,的形式.为 点列的基点,3.2点列的交比,定义：设A、B、C、D为共线的四点，把 定义为这四点,(有向线

2、段，而非距离）,交比可由简比求得,定理1：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：,则,按顺序点列的交比，用符号来记,定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+,推论：设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是,则,点列的交比与四点的排列的顺序有关，四点在一直线上有4!=24种排,列，故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的，可以分为六种不同的组别，每组的值是相同的。,定理3：在点列的交比中将某两点互换，同时互换其余两点，则交 比值不变。,定理4：只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数,定理5：交换中间两点，则交比值转变为1与原值之差,则,由定理3定理5可知：24个交比一般

3、取六个不同的数值：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,讨论三种特殊情况： 令,令,若,（1）当,六组交比值分别为；1，1，0，,当,六组交比值分别为：,（2）当 六组交比值分别为-1，-1，2，,六组交比值分别为,六组交比值分别为,（3）,第一种情况,时 则,若非点A与B重合，,四点中也只当某两点重合时，六个交比值才能有等于,第二种情况,说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号，一个是内分点，一个是内外分点,定义3：当,时，则称C，D两点调和分割A，B两点,或者称为A，B两点所成的点偶与C，D两点所成的点偶,成调和共轭,例1：三角形的内角平分线与外角平分线,定

4、理6：设,0为CD的中点，则,例1：已知点A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一 条直线上，试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标，使交比 （AB，CD）=,解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合,A,B,C,D,E,作业：,1，4，5，6,3.3线束的交比,设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐标依次表示为 （a,b既代表直线，又代表它们的坐标向量）,设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：,把一线束中四直线被任一直线（不通过线束中心或顶点O）所截四点的交比，称为四直线的交比，记为（ab,cd),A,B,C

5、,D,O,a,b,定理1：四直线 的交比为,定理2：四直线 的交比,，即线束中四直线,的交比等于其相应参数之交比。,当 时，四直线为一调和线束，a和b称为对于c,d成一对调和共轭直线，c和d对于a,b也是一对调和共轭直线。,例：一个角的两边被它的内角和外角平分线调和分割。,四直线交比在初等几何的意义：,取直线中心O为正交笛氏坐标原点，取一条不与四直线a,b,c,d任一条平行的直线作为y轴，将四直线的方程写为 （i=1,2,3,4),其中取 为斜 ，由于截线可任意选取，取直线,作为截线。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x轴于M，这四,点的纵坐标为：,若以 分别表示四直线的倾角，则：,O,a,

6、b,c,d,A,B,C,D,M,x,y,1,其中 表示把直线a到c的有向转角。,例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。,证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.,例2：已知四直线a,b,c,d的方程为,求证：这四直线共点，并求（ab,cd),a,b,c,d,证明：,且,这四直线共点，这四直线的齐次方程为：,作业：,10，12,3.4一维射影坐标,定义1：若两个一维基本形 ， 的对应参数,之间满足双一次关系式：,或把 表为u的射影函数形式：,称 成射影对应，记为,由定义1知，一维射影对应具有反身性,对称性和传递性。,可以是：点列与点列，线束与线束，点列与线束。,若

7、 是u的射影函数，则u为 的射影函数。 为u的射影函数，,的射影函数，则 的射影函数。,定理1：两个一维基本形成射影对应的充要条件是对应四元素的,交比相等。,证明：设两个一维基本形为 其中,对应，设,由定义1可：,反之：设前三对对应元素是固定的，第四对对应元素为变动的且交,比相等，亦即：,令：,代入上式，整理得：,且,设 互不相等， 也不相等。,由定义1可知：它们成射影对应。,定理2（冯斯套特定理）如果已知两个一维图形中任意给定三对（各不相重）对应元素，那么就可以决定唯一的射影对应。,证明：设两个一维基本形的三对各不相同的对应元素的参数为,为任一对对应元素的参数。,由定理1知,可确定一个射,影

8、对应T。,设还存在另一个射影对应,，使,所以如果已知三对各不相同的对应元素，则可以唯一地确定一个射影对应。,例1：设两个一维基本形都是点列，并且所用的参数就是最常用的笛,卡尔坐标,。试用齐次笛氏坐标表示这两个点列之间的射,影对应式。,解：由定理1知：,改写为：,代入上式得：,所以两点列之间的射影对应式为：,例2：圆周上的点和其上二定点相连所得的两个线束，如果把两线束,中交于圆周上的两直线叫对应直线。试证这样的对应为射影对应。,解：设,为圆周上的两定点。A,B,C,D为圆周上任意四点。,A,S,B,C,D,例3：设两点列同府。求一射影对应使0，1，,解：设第四对对应点为,。由定理2可决定唯一的一

9、个射,影对应。又由定理1得：,故所求的射影对应为：,作业：,16，21,3.5 透视对应,定理1：,设点s不在点列p+uq上，那么这点与点列上任意一点联线，所作成的线束与点列成射影对应。,证明：,设点列的基底以矢量P和q表达，动点以p+uq 表达（如图1）.,ps, qs, (p+uq )s= (ps)+u (qs),设,P,ps,qs,S,q,p+uq,ps+u (qs),图1,将以知点S到这些点联线，这些直线的坐标分别是,这是射影函数,所以线束的坐标为 ，可见点列中动点的坐标为p+uq ，而线束中对应直线的坐标 为 ，参数间的关系为 .,的特例：, 点列与线束成射影对应,设直线s不通过线束

10、p+uq的中心，那么这直线截这线束所得的点列与线束成射影对应。（如图2）,点列和线束成射影对应对应线通过对应点的（对 应点在对应线上的），这种特殊的射影对应称为透视对应。这时两个一维几何形式（点列与线束）称为互成透视状态或处于透视位置。,定义1,射影对应的符号: , 透视对应的符号:,定理 ：,p,p+uq,q,ps,ps+u (qs),qs,s,图2,o,例:,点列(A,B,C, )和线束(a,b,c, )成透视对应,记为:(A,B,C) (a,b,c),如果两个点列和同一个线束成透视对应,则称两个点列成透视对应（如图3）。,定义2:,几何特征: 两点列中对应点的联线共点,透视中心,图3,定

11、义3:,如果两个线束和同一点列成透视对应,则称两线束成透视对应（如图4）。,几何特征: 两线束中对应线的交点共线,两点列成透视对应:(A,B,C,D) ( ),两线束成透视对应: (a,b,c,d) ( ),透视轴,图4,定理2:,两个射影点列成透视的充要条件是:两点列的 公共点自对应,定理 :,两个射影线束成透视的充要条件是:两线束的公共线自对应,证明定理2:,必要性:,设直线l上的点列A,B,C, 与直线 上的点列 成透视.透视心为s.设P为l与 的交点.这一点看作l上一点,其在 上的对应点 显然是这一点自身.,充分性:,设l 与 有两射影点列:,且l与 的交点自对应,即P .下面来证明这

12、两点列实际上成透视,即是说任意一对对应点的联 线 通过一定点.,( A,B,C, ) ( ),联接A, ;B, 所得的直线相交于S,并设S与l上任意一点M的联线交 于 ,于是交比,由射影对应的假设,又有, , 任意一对对应点的联线 通过一定点.,l,P,C,A,B,M,S,( A,B,C,） （ ）, 两点列成透视,定理3:,对于两个不共底且不成透视的射影对应点列,用两回透视对应就可以使第一点列转换为第二点列.换言之,这时的射影对应是由两回透视对应组成的,证明:,设A,B,C, 是以l 为底的 点列, 是以 为底的 点列 （如图5） .两者成射影对应:,联接与第一点列上诸点,得一与之成射影对应

13、的线束记为 .同样联接A与第二点列上诸点,得一与之成射影对应的线束 .由射影对应的传递性得,C,A,B,图5,a,b,c,L,l,( A,B,C, ) ( ) A( ), A ( ), A ( ),由两线束成透视对应,则对应线的交点 在同一直线 上, ( A,B,C, ) ( ), 这两线束的公共线 是自对应的,以 和A作透视心,经过两回透视第一点列转换成第二点列.,定理4:,设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应,那么用三回透视就可以彼此转换.换言之这时的射影对应是由三回透视组成.,例1:,解:,证明：,已知一直线l上三点A,B,C求作第四点D使交比(AB,CD)=,过C点任作一直线,

14、在其上任取一点 , 并在其上作出一点 使有向线段之比 (若 0则 与 在C 的同侧若 0 则在异侧).以S表示 与 的交点,过S作 的 平行线交AB于所求点D,设直线 上的无穷远点为 ， 有,A,B,C,A,B,C,S,D,S,D,（ A,B,C,D ）,（ AB,CD ）= =,例2：,试证明巴卜斯定理：在平面内直线 l上有三个相异点 A, B, C，另一直线 上也有三个相异点 ，而P, Q, R分别是 与 , 与 , 与 的交点，则P,Q,R在同一直线上,证明:,如图,设 与 交于D点, 与 交于E点, AB 与 交于点O,则,C,B,A,O,P,R,Q,由于这两个射影对应的点列中有一对对

15、应点（ ）重合。,D,E,由定义可知：AD, PR, EC交于一点。即PR要过AD, EC的交点Q。, P, Q, R共线,作业：,P55 3.12、3.22、3.25, 3.6对合对应,同底的两点列或两个线束，称为重叠的两个一维几何形式.,本形式到其自身的射影对应，则称为射影变换。,一维基本形的射影变换一般有两个自身对应元素。,定义2：,定义1：,两个重叠的一维基本形式的射影对应，也就是一个一维基,定理1：,证明：,重叠而又成射影对应的两个一维形式中，以 u 和 表示,的一对对应元素的参数，则它们之间有一个双一次关系式：,所谓自身对应的元素。指的是这样一个数 s代表的元素：当u,等于s时，

16、也等于s . 数s是下式的根:,当a=0，b+c=0，d=0时， （2）是一个恒等式。则s可以为任,何数。 每一个元素都是自对应的。这时的射影变换（1）为,恒同变换。（幺变换）,除1 外，（2）式是一个一元二次方程。有两个根 和 .,有两个自身对应元素,当a 0时两根之一趋于无穷大,把射影变换（1）进行分类：,若自对应元素为两个互异的实元素，这时的射影变换叫双曲型的。,若自对应元素为两个重合的实元素，这时的射影变换叫抛物型的。,若自对应元素为两个共轭复元素，这时的射影变换叫椭圆型。,定义3,设有集合M，使得M的任何元素都不变的变换叫M的恒等,变换。,例：,设有两个重叠的点列，以 ， 作为一对对

17、应点A， 的,的笛氏坐标。先看一个平移变换：,；,反射变换：,（2）充分性：设一维射影变换为T：,一维射影变换为对合的充要条件是它有一对不同的元素交,定理3：,都交互对应，则称为对合对应。（简称：对合）,定义4：,非恒等的一维基本形射影变换，若满足任何一对对应元素,（1）必要性：由定义可知必要性显然成立。,互对应。,证明：,是一 对不同的交互对应的参数。则T非恒等，且有：,，,(1),(2),（1）-（2）得,T的表达式为 ：,(3),（3）式中 是对称的。,T为一对合。,3式为对合的表达式。,设,是两对不同的交互对应元素的参数。,则,消去a,b,c得,定理3：,对合由两对不同的交互对应元素唯一确定。,证明：,因为对合对应的表达式表面上有三个参数a,b,c.实则只有它,们的两个相互比值才是最重要的。所以两个条件就足以,确定一个对合。,推论2：在同一对应下，三对对应元素,成为对合对,应的充要条件为：,定理5：一维射影变换T为对合的充要条件是T有两个不同的自,对应元素，且这两个元素调和分割T的任一对对应元素。,证明：设T为对合，则其表达式可为：,则T的自对 应元素S为方程,的根。,所以,所以方程恒有两根。,所以T有两个不同的自对应元素，其参数设为,所以对合是射影变换，所以交比相等。,或,将导致u与,重合。,这与对合不是恒同变换的假设矛盾,所以这两个不同的自对应元