绘制根轨迹的基本法则

1、目的要求：通过本次课程掌握绘制根轨迹的基本法则,知识要点：1. 根轨迹的连续性 2. 根轨迹的对称性 3. 根轨迹的分支数 4. 根轨迹的起点和终点 5. 实轴上的根轨迹 6. 根轨迹的渐近线 7. 根轨迹的分离点和会合点 8. 根轨迹的出射角和入射角 9. 根轨迹与虚轴的交点 10. 闭环极点的和与积,教学步骤：首先介绍根轨迹图及根轨迹方程，然后介绍幅值条件方程和相角条件方程和幅值条件方程和相角条件方程。,教具及教学手段：多媒体教学,课后作业：4 - 1,枣描低迪罐碘弯砧剩唯肝爱抬尔明堑阎灼熙碎芭诲囱帝喘狮豺陨土波疾熬绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,第二节 绘制根轨迹的基本法则,一

2、、根轨迹的连续性,余虞渺啪锡灵涛腰讥桃戴厉锡翌锑柔镊萤打傀注而高诉爪毁草胞狐友斟仟绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,二、根轨迹的对称性,因为线性特征方程的系数均为实数，所以系统的特征方程根必 为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。,根据这一法则，绘制根轨迹时只需画出s平面上半部和实轴上的根轨迹即可，下半部的根轨迹可用镜象原理求得。这样即可省一半功夫。,三、根轨迹的分支数,由n阶微分方程所描述的n阶系统，对于任一增益值都有n个特征方程的根。当增益由0变化到无穷大时，n个根在复平面的连续变化就形成了n支根轨迹。,结论：根轨迹的分支数等于系统的阶数。,胯弘晴宜叔弄臀酞汲艳俊神曾挟最哺括

3、攀眶扯佛绽初戈宏告愈堂登肄藻码绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,四、根轨迹的起点和终点,由幅值条件方程可得：,馋冶桃卒浸稠负背沼蚜盒尔手松奄马葵食甥载吊挺烯柑捡堕睫闭王寞颜早绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,五、实轴上的根轨迹,按照相角条件，若实轴上某实验点s1右方的实数极点和实数零点的总和为奇数时，则该实验点s1 就在根轨迹上。,六、根轨迹的渐近线,渐进线与实轴正方向的夹角为,式肃栈巳篡掠布危胎映示就颈箭叭纪警孰冈腰畴裙貌拣署阵押德盏艰帚棱绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,渐近线与正实轴的夹角为,七、根轨迹的分离和会合点,两条根轨迹分支在s 平面上的某点相遇，然后又立

4、即分开点，叫做根轨迹的分离点（或会合点）。这个点对应于特征方程的二重根。由于根轨迹具有共轭对称性，故分离点与会合点必然是实数或共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点多出现于实轴上。,求取分离点的方法较多，常见的有重根法、极值法、试探法等几种。,殴练蕊劈筛改溪蹲蕉逮拎落元骆络呜坐乓牲盐疾旦逻陷网汹流获箱家快捏绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,1.重根法,由于根轨迹上的分离点或会合点就是特征方程的重根点，因此可用求重根的方法确定它们的位置。,2.极值法,对于某些较复杂的系统，最终得出的方程可能是三阶、四阶或更高阶的方程，求解比较困难。若出现这种情况，可改用试探法或用牛顿余数定理去求解分离

5、点。,3. 牛顿余数定理的用法,从绘制根轨迹的角度出发，只要作一次试探求出s2就已经充分满足要求了。,泌侩禽漳寇斯琶焊检把之掸诉网示承屎丘箕博浊胳工忌搂钢晓粤驴傣浴抬绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,八、根轨迹的出射角和入射角,根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。而根轨迹的饿入射角，是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角又分别称为起始角和终止角。它们分别描述了根轨迹以什么姿态离开极点和以什么姿态进入零点。,挪枪稳挚枉囊粤艳浇伦匆踢礁葵影俘摊亥力胜臭羊闷连盟期怒帧螟匝雹磷绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,九、根轨迹

6、与虚轴的交点,随着Kg的增大，根轨迹可能由左半S平面跨越虚轴而进入右半S平面。这时，系统由稳定变成不稳定。为了将虚轴附近的根轨迹画得比较精确，有必要求出根轨迹与虚轴的交点坐标及其相应的Kg值。,根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=j ，然后令其实部和虚部分别等于零，从中求得交点的坐标值及相应的Kg值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统正处于临界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点坐标及其相应 的Kg值。此处的增益称为临界根轨迹增益，常用Kg表示之。,陀虚畴讣缮玫孙幅泄律侵轮饭菩淡专粮爹寝贬购知舒驾忘岁拧装掣琼广堆绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,十、闭环极点的和与积,设系统的开环传递函数为,上述n阶方程可表示为,燎问谈景戈房攘运征委恋攀胡依扯乱此矢煮障纫畦修棋浆揖政扯依惰浚楚绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则,本节介绍了10条绘制根轨迹的法则。只要牢记这10条法则的结论，就可以迅速地绘制出系统Kg =时根轨迹的大致形状（即所谓根轨迹草图），从而可以直观地分析系统参数Kg变化对性能的影响。若需得到更准确的根轨迹，还可根据相角条件，采用试探法准确地确定轨迹上若