1.4§1.4 向量和距阵的范数_第1页
1.4§1.4 向量和距阵的范数_第2页
1.4§1.4 向量和距阵的范数_第3页
1.4§1.4 向量和距阵的范数_第4页
1.4§1.4 向量和距阵的范数_第5页
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文档简介

1、1.4 向量和矩阵的范数,在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。,定义1.5如果向量 的某个实值函数 满足： （1）正定性： ，且 当且仅当x=0； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 （3）三角不等式：对任意x，y ，都有 则称 为 上的一个向量范数。,1.4.1 向量的范数,在 中，记 ，常用的向量范数有： （1）向量的 范数： （2）向量的1范数： （3）向量的2范数：,容易验证，向量的 范

2、数和1范数满足定义1.5中的条件。对于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的 Cauchy-Schwarz不等式可以验证。更一般的，有如下向量的p范数： 其中 。由 我们得出如下定理。,定理1.2,定理1.4 上的所有向量范数是彼此等价的，即对 上的任意两种向量范数 和 存在常数 ，使得对任意x，有,从而对 有,而x=0时上式自然成立，定理得证。,由于向量范数之间具有等价性，对于范数的极限性质，我们只需要对一种范数进行讨论，其余范数也都具有相似的结论。比如，若向量序列在一种范数下收敛，则在其他范数下也收敛。事实上，显然有,1.4.2 矩阵的范数,由定义可得,现在验证满足条件（3）和（4）。,由常用的向量范数，可以导出与其相容的矩阵算子范数。,定理1.5 设 ，记 则,（1） ， 称之为矩阵A的行范数。,（2） ，称之为矩阵A的列范数。,取向量 ，其中,解,定理1.6 设 ，则有,例1.12 设矩阵A与矩阵B是对称的，求证,类似

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