初三代数上学期难题集及解析

1、初三代数上学期难题集粹初三代数上学期难题集粹 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 1414 小题）小题） 1 （2011衢州）如图， OP 平分 MON，PAON 于点 A，点Q 是射线 OM 上的一个动点， 若 PA=2，则 PQ 的最小值为（） A1B2C3D4 考点： 角平分线的性质；垂线段最短。 分析： 根据题意点 Q 是射线 OM 上的一个动点，要求 PQ 的最小值，需要找出满足题意的点 Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P 作 PQ 垂直 OM，此时的 PQ 最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可 得 PA

2、=PQ，利用已知的 PA的值即可求出 PQ 的最小值 解答： 解：过点 P 作 PQOM，垂足为 Q，则 PQ 为最短距离， OP 平分 MON，PAON，PQOM， PA=PQ=2， 故选 B 点评： 此题主要考查了角平分线的性质， 本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接 的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q 的位置 2 （2011恩施州）如图，AD 是 ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DE=DG， ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39，则 EDF 的面积为（） A11B5.5C7D3.5 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。 专题： 计算题。

3、 分析： 作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DNAC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形 EDF 的面积转化为三角形 DNM 的面积来求 解答： 解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DNAC， DE=DG， DM=DG， AD 是 ABC 的角平分线，DFAB， DF=DN， DEF DNM（HL） ， ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39， S MDG=S ADGS ADM=5039=11， S DNM=S DEF= S MDG= 故选 B =5.5 点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质， 解题的关键是正确地作出辅 助线，将所求的三角形的面积

4、转化为另外的三角形的面积来求 3如图，PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E，且 PA平分 BAC，则 APD 与 APE 全等的理由是（） ASASBAASCSSSDASA 考点： 直角三角形全等的判定；角平分线的性质。 分析： 根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法， 本题中有两角及一角的对边对应相 等，所以应选择 AAS，比较简单 解答： 解：由已知得，AP=AP， DAP= EAP， ADP= AEP 所以符合 AAS 判定 故选 B 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、 ASA、AAS、HL结合已知条件在图形上的位置选择判定方法

5、4在 Rt ABC 中，如图所示， C=90， CAB=60，AD 平分 CAB，点 D 到 AB 的距 离 DE=3.8cm，则 BC 等于（） A3.8cmB7.6cmC11.4cmD11.2cm 考点： 角平分线的性质。 分析： 由 C=90， CAB=60，可得 B 的度数，故 BD=2DE=7.6，又 AD 平分 CAB， 故 DC=DE=3.8，由 BC=BD+DC 求解 解答： 解： C=90， CAB=60， B=30，在 Rt BDE 中，BD=2DE=7.6， 又 AD 平分 CAB， DC=DE=3.8， BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4 故选 C 点评： 本题

6、主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D 到 AB 的距离 DE 即为 CD 长，是 解题的关键 5如图，AB=AC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE，CF 交于 D，则以下结论： ABE ACF； BDF CDE；点 D 在 BAC 的平分线上正确的是（） ABCD 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定。 分析： 从已知条件进行分析， 首先可得 ABE ACF 得到角相等， 边相等， 运用这些结论， 进而得到跟多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案 解答： 解： BEAC 于 E，CFAB 于 F AEB= AFC=90， AB=AC， A= A， ABE A

7、CF（第一个正确） AE=AF， BF=CE， BEAC 于 E，CFAB 于 F， BDF= CDE， BDF CDE（第二个正确） DF=DE， 连接 AD AE=AF，DE=DF，AD=AD， AED AFD， FAD= EAD， 即点 D 在 BAC 的平分线上（第三个正确） 故选 D 点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运 用，做题时要由易到难，不重不漏 6如图， ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC，AB 于点 D，E，AE=3cm， ADC 的 周长为 9cm，则 ABC 的周长是（） A10cmC15cmD17cm 考点： 线段

8、垂直平分线的性质。 分析： 要求 ABC 的周长，知道AE=3cm，则 AB=6cm，只要求得 BC+AC 即可，根据线段 垂直平分线的性质得 AD=BD，于是 BC+AC 等于 ADC 的周长，答案可得 解答： 解： AB 的垂直平分 AB， AE=BE，BD=AD AE=3cm， ADC 的周长为 9cm ABC 的周长是 9+2 3=15cm 故选 C 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等对线段进行等效转移时解答本题的关键 7直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（） A形内B形外C斜边的中点D不能确实 考点： 线段垂直平分

9、线的性质。 分析： 垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点 解答： 解： 直角三角形的外接圆圆心在斜边中点 可得直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点 故选 C B12cm 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识， 线段的垂直平分线上的点到线段 的两个端点的距离相等 8 （2005 南通）如图，在ABC 中，BC=8cm ，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交边 AC 于点 E，BCE 的周长等于 18cm ，则 AC 的长等于（） A 6cmB8cmC10cmD 12cm 考点： 线段垂直平分线的性质。 专题： 计算题。 分析： A

10、C=AE+EC=BE+EC，根据已知条件易求 解答： 解：DE 是边 AB 的垂直平分线， AE=BE BCE 的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18 又BC=8 ， AC=10 （cm ） 故选 C 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识 线段的垂直平分线上的点到线段 的两个端点的距离相等 9 （2010 益阳） 如图， 已知ABC ， 求作一点 P， 使 P 到A 的两边的距离相等， 且 PA=PB ， 下列确定 P 点的方法正确的是（） A P 是A 与B 两角平分线的交点 BP 为A 的角平分线与 AB 的垂直平分线的交点 CP 为 AC 、AB 两

11、边上的高的交点 D P 为 AC 、AB 两边的垂直平分线的交点 考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质。 分析： 根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答 解答： 解：点 P 到A 的两边的距离相等， 点 P 在A 的角平分线上； 又PA=PB ， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 即 P 为 A 的角平分线与 AB 的垂直平分线的交点 故选 B 点评： 本题考查了角平分线及线段垂直平分线的判定定理 到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 到一条线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 10 （2009荆门）如图，Rt ABC 中， ACB=90， A=50，将其

12、折叠，使点A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则 ADB=（） 302010A40BCD 考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题） 。 分析： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ADB= CAD B，又 折叠前后图形的形状和大小不变， CAD= A=50，易求 B=90 A=40，从而 求出 ADB 的度数 解答： 解： Rt ABC 中， ACB=90， A=50， B=9050=40， 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则 CAD= A， CAD 是 ABD 的外角， ADB= CAD B=5040=10 故选 D 点

13、评： 本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质关键是要理解折叠是一种对称变换， 它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变 化解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等 11如图，将书页斜折过去，使角的顶点A 落在 A处，BC 为折痕，BD 为 ABE 的平分 线，则 CBD=（） 135120A45CD 考点： 角的计算；翻折变换（折叠问题） 。 专题： 计算题。 分析： 根据折叠得出 ABC= CBA= ABA，根据角平分线，得出 ABD= ABE， 90B 求出 CBA+ ABD= （ ABA+ ABE）=90，即可得出答案 解答： 解： 将书页

14、斜折过去，使角的顶点A 落在 A处，BC 为折痕， ABC= CBA= ABA， BD 为 ABE 的平分线， ABD= ABE， CBA+ ABD= （ ABA+ ABE）= 180=90， 即 CBD=90 故选 B 点评： 本题考查了角的计算和翻折变换的应用，关键是求出 CBA+ ABD= （ ABA+ ABE） 12 如图， ABC 中， AEBC 于 E， AD 是 ABC 的角平分线， 若 ACB=40， BAE=30， 则 DAB 等于（） 4035A55CD 考点： 三角形内角和定理；角平分线的性质。 专题： 计算题。 分析： 根据三角形内角和定理求出 B 的度数， 然后再利用

15、三角形内角和定理求出 BAC 的 度数，再利用 AD 是 BAC 的平分线，即可求出 DAB 的度数 解答： 解： AEBC， AEB= AEC=90， BAE=30， B=90 BAE=9030=60， 又 ACB=40， BAC=180 B ACB=1806040=80， 又 AD 是 BAC 的平分线， 50B DAB= BAC= 80=40 故选 C 点评： 此题主要考查学生对三角形内角和定理和角平分线的性质的理解和掌握，难度不大， 属于基础题 13 如图， 在 ABC 中， A： B： C=3：5：10， 又 MNC ABC，则 BCM： BCN 等于（） A1：2C2：3D1：4

16、考点： 全等三角形的性质。 分析： 利用三角形的三角的比， 求出三角的度数， 再进一步根据各角之间的关系求出 BCM、 BCN 的度数可求出结果 解答： 解：在 ABC 中， A： B： C=3：5：10 设 A=3x，则 ABC=5x， ACB=10 x 3x+5x+10 x=180 解得 x=10 则 A=30， ABC=50， ACB=100 BCN=180100=80 又 MNC ABC ACB= MCN=100 B1：3 BCM= NCM BCN=10080=20 BCM： BCN=20：80=1：4 故选 D 点评： 本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大

17、小是很重要 的方法，要注意掌握 14 （2003烟台）如图， ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于 F， 若 BF=AC，则 ABC 的大小是（） 50A40CD60 考点： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形。 分析： 先利用AAS判定 BDF ADC， 从而得出BD=DA， 即 ABD为等腰直角三角形 所 以得出 ABC=45 解答： 解： ADBC 于 D，BEAC 于 E BEA= ADC=90 FBD+ BFD=90， AFE+ FAE=90， BFD= AFE B45 FBD= FAE BDF= ADC=90，BF=AC BDF

18、 ADC（ASA） BD=AD ABC= BAD=45 故选 B 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、 SSA、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参 与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 二填空题（共二填空题（共 2 2 小题）小题） 15如图所示，已知 O=35，CD 为 OA 的垂直平分线，则 ACB 的度数为70 考点： 线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质。 专题： 计算题。 分析： 根据线段垂直平分线得出AC=OC，求出 A=35，代入 ACB= A+ O 求出即可 解答：

19、 解： O=35，CD 为 OA 的垂直平分线， AC=OC， A= O=35， ACB= A+ O=70， 故答案为：70 点评： 本题考查了三角形的外角性质和线段垂直平分线的应用，关键是求出 A 的度数，题 目比较典型，难度适中 16 （2009黄冈）在 ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到 锐角为 50，则 B 等于70或 20 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。 专题： 分类讨论。 分析： 此题根据 ABC 中 A 为锐角与钝角分为两种情况， 当 A 为锐角时， B 等于 70， 当 A 为钝角时， B 等于 20 度 解答： 解：当

20、A 为锐角时， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为50， A=40， B=70； 当 A 为钝角时， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为50， 1=40， BAC=140， B= C=20 故填 70或 20 点评： 此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质； 分类讨论的应用是正确解答 本题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 7 小题）小题） 17已知 x+ =4，求 x 的值 考点： 完全平方公式。 分析： 把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x ）2的形式 并代入数据计算，然后进行开方运算 解答： 解：， x2+ =

21、14， 2=12， ， （x ）2=x2+ x = 点评： 本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常 数是解题的关键 18 （2006湖北）如图，点 A、E、F、C 在同一条直线上，现有下面四个关系： （1）AD=BC， （2）AE=CF， （3） B= D， （4）AD BC，请用其中三个作为条件，余下 的一个作为结论编一道数学证明题，写出已知，求证并加以证明 考点： 全等三角形的判定与性质。 专题： 证明题；开放型。 分析： 根据全等三角形的判定定理，选择符合条件的SAS，AAS，ASA，SSS，来选择条件 和结论 解答： 解：已知：如图，点 A、E、F、

22、C 在同一直线上，AE=CF， B= D，AD BC， 求证：AD=BC 证明如下： AD BC， DAC= BCA AE=CF， AF=CE 又 B= D， ADF CBE （AAS） AD=BC 点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理这是一道考查三角形全等的开放性题目，答 案可有多种 19如图，在 ABC 中，AC=BC， C=90，AD 是 ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 E （1）已知 CD=4cm，求 AC 的长； （2）求证：AB=AC+CD 考点： 勾股定理；直角三角形全等的判定；角平分线的性质。 专题： 计算题；证明题。 分析： （1）根据角平分线的性质可知CD=DE

23、=4cm，由于 C=90，故 B= BDE=45， BDE 是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC 的值 （2） 由 （1） 可知： ACD AED， AC=AE， BE=DE=CD， 故 AB=AE+BE=AC+CD 解答： 解： （1） AD 是 ABC 的角平分线，DCAC，DEAB， DE=CD=4cm， 又 AC=BC， B= BAC， 又 C=90， B= BDE=45， BE=DE=4cm 在等腰直角三角形 BDE 中，由勾股定理得，BD=cm， AC=BC=CD+BD=4+（cm） （2） AD 是 ABC 的角平分线，DCAC，DEAB， ADE= ADC， AC=AE

24、， 又 BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD 点评： 本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，比较简单 20已知：如图， CEAB，BFAC，CE 与 BF 相交于 D，且BD=CD求证：D 在 BAC 的平分线上 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。 专题： 证明题。 分析： 首先根据已知条件易证Rt BDE Rt CDF（AAS） ，则DE=DF，再由角平分线性质 的逆定理可得 D 在 BAC 的平分线上 解答： 证明：在 Rt BDE 和 Rt CDF 中 ， Rt BDE Rt CDF（AAS） ， DE=DF， 又 CEAB，BFAC， D 在 BA

25、C 的平分线上 点评： 此题主要考查角平分线性质的逆定理，首先证明Rt BDE Rt CDF，是关键 21在Rt ABC 中， C=90，D 是 BC 边上一点，且BD=AD=10， ADC=60，求 ABC 的面积 考点： 含 30 度角的直角三角形。 分析： 根据已知可得 CAD 为 30，根据直角三角形中 30 度角所对的边是斜边的一半可求 得 DC，AC 的长，从而可得到 BC 的长，最后利用三角形的面积公式求解即可 解答： 解： C=90， ADC=60， CAD=30， BD=AD=10， DC=5，AC=5， BC=BD+CD=15， ABC 的面积= 515= 点评： 此题主要考查含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边 等于斜边的一半 22 （2003湘潭）如图， 107 国道 OA 和 302 国道 OB 在甲市相交于点 O，在 AOB 的内部 有工厂 C 和 D，现要修建一个货站P，使