1.2.1排列ppt课件（27张） 高中数学 人教A版 选修2-3.ppt

1、排列组合综合应用问题,排列组合综合问题,把12 人分成两组,一组7人,一组5人与把12人分成甲、乙两组,甲组7人,乙组5人,实质上是一样的,都必须分成两步： 第一步:从12 人中选出7人组成一组(或甲组) 有C127种方法； 第二步:剩余的5人组成一组(或乙组) 有C55种方法. 所以总的分配种数为C127.C55种。 所以(1)、(2)分配种数都为C127.C55,例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人； (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人；,把12 人分为甲、乙两组,一组7人,一组 5人,与(1)(2)比较,有何相同和不同地方?,相同

2、地方都是分成甲乙两组,一组7 人,一组5 人,有C127.C55种；所不同的是一组7人,一组5人,并没有指明甲、乙两组谁是7人,谁是5人,要考虑甲乙的顺序,所以要再乘以A22 ， 所以(3)总的种数为C127.C55.A22.,例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (3)分为甲、乙两组,一组7人,一组5人；,排列组合综合问题,点评：上述问题是非平均分组问题, (1)没有指出组名；(2)给出了组名,而且指明了谁是几个人.这在非平均分配中是一样的.而 (3)虽然给出了组名,却没有指明谁是几个人,所以这时必须考虑顺序问题.,必须注意到：题目中具体指明甲乙与没有具体指明是有区别的,若在

3、解题过程中不加以区别,就会出现“重复”与“遗漏”问题,这是解决排列组合时要特别注意的.,排列组合综合问题,把12个人分为甲、乙两组,每组6人,可分成两步, 第一步：从12人中抽出6人给甲组,有C126种， 第二步：余下的6人给乙组,有C66种， 所以,共有C126.C66种.,例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (4)分为甲、乙两组,每组6人；,排列组合综合问题,把12个人分为两组,每组6人,与把12个人分为甲、乙两组,每组6人,相比较,显然分成甲、乙两组,这里有顺序关系,如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的,但作为分成两组却是一样的,所以把 12个人分为两

4、组,每组 6人的种数为C126.C66 / A22种.,点评：上述(4)(5)属于平均分组问题,必须注意,在平均分组问题中如果没有给出组名,一定要除以组数的阶乘！,例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (5)分为两组,每组6人.,排列组合综合问题,分为三组,一组5人,一组4人,一组3人；,分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人；,分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人；,分为甲、乙、丙三组,每组4人；,分为三组,每组4人.,练习1 有12 人,按照下列要求分配,求不同的分法种数.,答案,C125.C74.C33, C125.C74.C33, C125.C74

5、.C33.A33,C124.C84.C44,分成三组,其中一组2人,另外两组都是 5人.,排列组合综合问题,点评:例1与练习1说明了非平均分组、平均分组以 及部分平均分组问题。,非平均分组问题中，没有给出组名与给出组名是 一样的，但若给出了组名而没指明谁是几个，这时 又有顺序问题，所以必须乘以组数的全排列数.,平均分组问题中，若没给出组名，一定要除以组数的全 排列数.,部分平均分组问题中，先考虑不平均分组，剩下的就是 平均分组。这样分组问题就解决了.,排列组合综合问题,练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,

6、从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,解: (1),(2),例2 求不同的排法种数. (1)6男2女排成一排,2女相邻；,(1)由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列,有A77.A22种.“捆绑法”,排列组合综合问题,例2 求不同的排法种数. (2)6男2女排成一排,2女不能相邻；,用“插空法”直接求解：先把6男全排列,再在6男相邻的7个空位中排2女, 所以共有A66.A72种.,排列组合综合问题,例2 求不同的排法种数. (3)4男4女排成一排,同性者相邻；,排列组合综合问题,4男4女排成一列,同性者相邻,把4男、4女 捆绑成一个排列,然后同性者之间再全排列,所以共有A22

7、.A44.A44种“捆绑法”,解：（1）先把男生全排列,再选择必须插空的位置总排列数为 A44.A43.A21 （2）同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位,女偶数位,或者对调.总排列数为A22.A44.A44种.,排列组合综合问题,例2 求不同的排法种数. (4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.,练习2 某乒乓球队有8男7女共15名队员,现进行混合双打训练,两边都必须要1男1女,共有多少种不同的搭配方法.,分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出 2男2女，有C82.C72种；,然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？,男女-男女, Aa-Bb, Ab-Ba, Bb-Aa, Ba-Ab,显然

8、： 与； 与在搭配 上是一样的。所以只有2种方法， 所以总的搭配方法有2 C82.C72种。,排列组合综合问题,练习3 高二某班要从7名运动员出4名组成4100米接力队,参加校运会,其中甲,乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？,从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四棒这个事，一定与组合和排列有关，这里对甲、乙又有特殊的要求，这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先不考虑谁跑哪棒，先考虑4人的选取有几类？,分三类：第1类,没有甲、乙,有C54种； 第2类,有甲无乙或有乙无甲,有2C53种； 第3类,既有甲又有乙,有C52种。,排列组合综合问题,(1)无甲乙：可把4人全排列,有A44 种；

9、 (2)甲乙只有一人：甲或乙先考虑有A21种余下的三人全排列有A33种； (3)甲乙都在：先考虑甲乙有A22种,余下的有A22种.,所以,第一类有C54.A44种,第二类有2C53.A21.A32种,第三类有C52.A22.A22种。 由加法原理；总的安排方法有 N= C54.A44+ 2C53.A21.A32+ C52.A22.A22（种）,注意：排列给合综合题在求解中的分类十分重要,大家要认真体会,理解其思路和方法.,排列组合综合问题,在每一类中要如何安排棒数？,有条件限制的排列问题,例35个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (1)a,e必须排在首位或末位,有多少种排法？,分两

10、步完成,把a,e排在首末两端有A22种， 再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种. 由乘法原理,共有A22. A33=12(种)排法.,点评：问题(1)是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置的问题,处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先考虑 .(优限法),有条件限制的排列问题,例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (2)a,e既不在首位也不在末位,有多少种排法？,思路1) 先从b,c,d三个选其中两个排在首末两位, 有A32种,然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有A33种, 由乘法原理: 共有A32. A33=36(种)排列.,点评：上述运用了“优限法”

11、,既有条件限制的位置优先考虑的原则,这种解法是直接法.,思路2)从反面考虑“排除法”,既间接法.,A55是5 个元素的全排列数,减去a,e分别在排头、排尾的4种情况有4A44种.但A55- 4A44=24种.,分析：减去a,e分别在排头、排尾的4种情况用图示表示既：,由图看出：四种情况中a排头e排尾； e 排头a排尾各多减了一次.(遗漏)必须补回,既加上2A33种.,所以,正确答案为：A55- 4A44+2A33(种)排法.,说明：在解题过程中,有时用“排一排”会使思路更清楚.“具体排”是一种好方法,它是把抽象转化为具体的一种思维方法,上述解法哪个对,哪个错？错在哪里？,有条件限制的排列问题,

12、思路) a,e排在一起，可以将a,e看成一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列,有A44种； a,e两个元素的全排列数为A22种, 由乘法原理共有A44. A22(种)排列.,说明：相邻元素排在一起,相当捆绑起来,既“捆绑法”,捆绑的元素还必须进行全排列.,例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (3)a,e排在一起多少种排法？,有条件限制的排列问题,思路) a,e不相邻的反面是a,e相邻,反面明了,可利用“排除法”,即用5个元素的全排列数A55,扣除a,e排在一起排列数A44. A22,则a,e不相邻的排列总数为A55- A44. A22(种)排法.,对不相邻元素的排列问

13、题,一般的还可以利用“插空法”解决.即把a,e以外的三个元素全排列有A32种,再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种,由乘法原理共有A32. A42 (种),例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (4)a,e不相邻有多少种排法？,说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插空法”对反面明了的,可用“排除法”,有条件限制的排列问题,思路) a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺序,但a,e间的排列数为A22,所以,可把5个元素全排列得排列数A55,然后再除以a,e的排列数A22.所以共有排列总数为A55 / A22(种).,注意：若是3个元素按一定顺序,

14、 则必须除以排列数 A33.,点评：排列应用题是实际问题的一种,其指导思想：弄清题意,联系实际,合理设计,调动相关知识和方法.本例是排列的典型问题,解题方法可借鉴.排列问题思考比较抽象,“具体排”是一种把抽象转化具体的好方法.,例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (5)a在e的左边(可不相邻)有多少种排法？,有条件限制的排列问题,例4 已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,9求含有5个元素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数.,有条件限制的组合问题,法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： 2个偶数,3个奇数；3个偶数,2个奇数； 4个偶数,1个奇数. 所以共有子

15、集个数为C42.C53+C43.C52+C44.C51=105(个),法2：从反面考虑,全部子集个数为C95,而不符合条件的有两类： 5个都是奇数；4个奇数,1个偶数. 所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105,下面解法错在哪里?,至少有两个偶数,可先由4个偶数中取2个偶数,然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至少有2个是偶数. 所以共有子集C42.C73=210(个),用“具体排”来看一看是否重复.如C42中的一种选法是：选4个偶数中的2,4,又C73中选剩下的3个元素6,1,3组成集合2,4,6,1,3；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中的4,6,又C7

16、3中选剩下的3个元素不2,1,3组成集合4,6, 2,1,3.显然这是两个相同和子集,所以重复了.重复的原因是分类不独立.,例4 已知集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,9求含有5个元素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数.,有条件限制的组合问题,排列组合混合问题,例5 从6名男同学和4名女同学中,选出3名男同学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5项工作,一共有多少种分配方案.,解1：分三步完成,(1)选3名男同学有C63种, (2)选2名女同学有C42种,(3)对选出的5人分配5种不同的工作有A55种， 根据乘法原理共有C63.C42. A55=14400(种).,那么下列的解法错在

17、哪里?,从6名男的选出3名排列有A63种,又从4名女的选出2名排列,有A42种,所以有A63. A42=1440(种).显然少了,错在哪?,错在A63中排在哪3个位置,不明确.同理A42中排在哪2位亦不明确,所以产生了遗漏现象.,解2：把工作当作元素,同学看作位置,(1)从5种 工作中任选3种(组合问题)分给6个男同学中的3人(排列问题)有C53.A63种,(2)将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有C52 . A42.A63=14400(种).,点评:对排列组合的混合问题,解题的关键是要合理分步：在分步时一般先组合后排列,这样才能做到不重不漏.,排列