随机变量的函数的分布.ppt

1、2.6 随机变量函数的分布,问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布?,例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .,当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量.,将g(xi) 一一列出, 再将相等的值合并即可.,2.6.1 离散随机变量函数的分布,2.6.2 连续随机变量函数的分布,定理2.6.1 设 X pX(x)，取值范围为c, d; y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为:,1. 公式法,例2.6.1 设 X ,求 Y

2、=eX 的分布.,y = ex 单调可导,反函数 x = h(y) = lny,所以当 y 0 时,由此得,解：,正态变量的线性不变性,定理2.6.2 设 X N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b N (a +b, a22).,由此得： 若 X N (, 2)， 则 Y = (X )/ N(0, 1).,例2.6.2 (1) 设 X N (10, 22)，求 Y = 3X+5 的分布; (2) 设 X N (0, 22)，求 Y = -X 的分布.,对数正态分布,定理2.6.3 设 X N (, 2)，则 Y = e X 的服从,伽玛分布的有用结论,定理2.6.4 设 X Ga

3、(, )，则当k 0 时， Y = kX Ga (, /k).,2. 分布函数法,步骤： 1、由X的取值范围确定Y =g(X)的取值范围； 2、由分布函数的定义求Y=g(X)的分布函数： FY(y)=PYy=Pg(X) y； 3、由分布函数与密度函数的关系求得Y=g(X)的概率密度。,均匀分布的有用结论,定理2.6.5 设 X FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).,例2.6.3 设随机变量XN(0,1) ,求随机变量 Y=X2的概率密度函数。,例2.6.4 设X的概率密度函数为,2.7 分布的其它特征数,矩、变异系数、分位数、中位数,2.

4、7.1 k 阶原点矩和中心矩,k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, .,注意: 1 = E(X).,k 阶中心矩：k = EXE(X)k ， k = 1, 2, .,注意: 2 = Var(X).,定义2.7.1,2.7.2 变异系数,方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。,原因有二：,（1）方差（或标准差）是有量纲的；,（2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。,定义2.7.2,为 X 的变异系数.,作用：,称,CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.,2.

5、7.3 分位数,P( X xp ) = F(xp) = p,定义2.7.3,设 0 p 1，,若 xp 满足,则称 xp 为此分布 p - 分位数，,亦称 xp 为下侧 p - 分位数.,注 意 点,(1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p .,(2) 对离散分布不一定存在 p - 分位数.,(3),上侧 p - 分位数,若记 xp 为上侧 p - 分位数，即,则,P(X xp ) = p,2.7.4 中位数,定义2.7.4,称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.,中位数是反映随机变量位置的特征数，即随机变量取值的中心.,

6、中位数与均值,相同点：都是反映随机变量的位置特征.,不同点：,含义不同.,有时中位数比均值更能说明问题. 若分布是对称的，则中位数=均值.,统计中常用的 p - 分位数,(1) N(0, 1)： Z , U,(2) 2(n)：,(3) t (n)：,(4) F (n, m)：,2.7.5 偏度系数,定义2.7.5,设 随机变量X的三阶矩存在，则称,为X的分布的 偏度系数，简称偏度.,正态分布N（，2）的偏度 1=0.,2.7.5 峰度系数,定义2.7.5,设 随机变量X的四阶矩存在，则称,为X的分布的 峰度系数，简称峰度.,正态分布N（，2）的峰度 2=0.,偏度与峰度,相同点：都是反映分布的

7、形态特征.,不同点：,含义不同.,偏度刻画的是分布的对称性，峰度刻画的是分布的峰峭性.,习题讲解,例1 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。 (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律； (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解 (1)由题意，XB(6,1/3)，故X的分布律为：,例2 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解 由题意,例3 设随机变量XU1, 6 ，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。,解 当

8、=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,另解,例4 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。,解 设A乘客候车时间超过10分钟， X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用XN(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来

9、承包较为合理？,解 （1）工程资方掌握资金3亿元。,若委托甲公司承包,若委托乙公司承包,标准正态分布表,=0.6554,(2)请自己完成。,委托甲公司承包较为合理。,例6一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,其中,故,解 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数，则 Yb(3, p),例7 设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y0时，,当0y1时,当y1时,解,例8 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？,解 由题意可知X的密度函数为,设每年出口该商品y吨，(2000y4000)，则收益,可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大。,P115 习题 2.5,#10 某种设备的使用寿命X(以年计)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利