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文档简介

1、李晓萍制作,第五章 边值问题,静电场问题求解,解析法,数值法,分离变量法,复位函数法,保角变换法,有限差分法,有限单元法,其它,其它,5-1 分离变量法,分离变量法就是将偏微分方程变量分离得到通解，利用边界条件得到其定解的过程。,为一足够长（忽略边缘效应）的方形金属槽，边宽为1m，除顶盖电位为 外，其它三方的电位均为零，求槽内电位的分布。,变量的分离:,1、,2、,式中 均为任意常数,3、,方程的通解的三种情况,方程的通解,解的函数形式和任意常数的确定,根据边界条件,由,由,由,由,方程的唯一解:,分离变量法实际是根据边界条件的特征，将偏微分方程进行变量分离，形成独立坐标的微分方程，并得到通解

2、，再根据边界条件得到通解的函数形式和任意常数。,5-1 复位变量法,复位函数法-某种解析的复位函数的实部和虚部所表达的函数曲线(正交)分别与某种特定二维静电场的等位线和电力线相吻合，则求解该静电场转化为对应的解析函数实部和虚部的求解,例: 复位函数,将复变数在极坐标表示,两函数的等值线如图所示,(E通量函数),结合边界条件可得到均匀带电长直导线的场的分布,实际问题:,因此,对应的复位函数:,解:,（常数）,即,电位确定值:,5-3 保角变换法,例：研究解析函数,保角变换法的一般过程,保角变换的一般理论,由Z平面变换到W平面，两条曲线的夹角保持不变,5-4 均匀媒质中的有限差分法,数值计算法的基

3、本思想-将整体连续的场域划分为若干个细小区域，一般称之为网格或单元（见图5-11），然后用所求的网格交点（一般称为节点或离散点）的数值解，来代替整个场域的真实解。 数值解，即是所求场域离散点的解。虽然数值解是一种近似解法，但当划分的网格或单元愈密时，离散点数目也愈多，近似解（数值解）也就愈逼近于真实解。,，,设图所示场域中的位函数为 ，任取一网格节点 矢量磁位为,场域的剖分，网格节点及步长,场域的剖分(场域的离散化)-将场域剖分为若干个网格或单元。,差分与微分,步骤：,差分-用差商近似代替偏微商，或者说用差分代替微分，从而把偏微分方程转化为差分方程,根据图示网格,0点与相邻的四点的的差分如下,

4、均匀媒质中泊松与拉普拉斯方程的差分离散格式,第三步：解代数方程组,当内点较少时，可直接用代元消去法或列式法、张弛法等进行手算；当内点较多时，即内点数不是几个，十几个，而是成百个，上千个时，手算几乎不可能，这就必须借助计算机进行计算。求解高阶方程组的方法有赛德尔迭代法及超松驰代法等等。,5-5 有限元方法简介,方法原理,泛函,场域剖分与单元分析,过程：将连续场域进行剖分离散，将整个场域分割为限个单元体，并在每一个单元体上作近似能量积分，然后再进行求和来进行求解,场域剖分后其相应变分表达式,-单元剖分体,-单元体个数，,-单元体电位函数,一般形式：,与坐标有关的形函数,其中,-单元三角形的面积；,-三角形单元线性插值基函数,场域节点为n时：,总体系数（刚度）矩阵的形式,矩阵方程,刚度（总体系数）矩阵,刚度矩阵是一

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