《概率论与数理统计》经典课件+概率论2.ppt

1、2020/8/4,1,概率论与数理统计,2,概 率 论,3,第三章 多维随机变量及其分布,关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度,4,1 二维随机变量,问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的

2、弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。,5,定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。,定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。,6,分布函数 的性质,7,8,二维离散型随机变量,定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。,离散型随机变量的联合概率分布： 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。 可以用如右

3、表格表示：,9,分布律的性质,例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。,解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。,即(X,Y)的联合概率分布为：,10,11,二维连续型随机变量,12,13,例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：,14,15,例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：,16,2 边缘分布,二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数

4、。,事实上，,17,对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为,X,Y的边缘分布律为：,注意：,18,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,事实上，,同理：,X,Y的边缘概率密度为：,19,20,例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3),(2),解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,21,例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：,22,23,24,3 条件分布,正如对两事

5、件A,B，若 可以考虑条件概率一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为： 我们也可以考虑条件概率,由条件概率公式可得：,25,定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，,同样，对于固定的xi，,26,例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布率； （2）X=1时Y的条件分布率； (3) Y=0时X的条件分布率。,解：X, Y的联合分布率为,27,故在X=1的条件下，Y的分布律为：,同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：,28,例2：一射手进行射击，击中目

6、标的概率为 射击直至击中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。 解：,29,30,定义：条件分布函数,31,定义：条件概率密度,32,由定义：,事实上，,33,例3：设二维随机变量(X,Y)在区域(x,y): y x1 内均匀分布，求条件概率密度,二维均匀分布的条件 分布仍为均匀分布,解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为：,Y的边缘概率密度为：,于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：,34,35,4 相互独立的随机变量,36,例1：1例2中X和Y 是否相互独立？(X,Y)具有概率密度,连续型随机变量X,Y

7、相互独立，其密度函数有何特征？,X和Y的边缘概率密度分别为：,37,38,39,40,41,42,一般n维随机变量的一些概念和结果,43,边缘分布 如：,44,相互独立,45,定理1： 定理2：,46,5 两个随机变量的函数的分布,47,例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。,解：由卷积公式：,一般：设X,Y相互独立，,48,例2：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。,解：根据卷积公式：,易知仅当,参考图得：,49,例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度为： 求 的概率密度。,解：根据卷积公式：,50,一般的，可以证明： 若X,Y相互

8、独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为 证明：这是例3的推广，由卷积公式,由此可知：,51,52,推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：,53,54,例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； (3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为： 试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。,55,串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)

9、； 而X,Y的分布函数分别为： 故Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为：,即Z仍服从指数分布,56,并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为： 于是Z的概率密度为：,57,备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此：,58,复习思考题 3,1.设(X,Y)为二维向量， 则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？ 2.设(X,Y)为二维连续量，则PX+Y =1=0,对吗？ 3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,

10、y)为(X,Y)的联合概率密度， fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使 f(x0,y0) fX(x0)fY(y0)则X和Y不独立，对吗？,59,关键词： 数学期望 方差 协方差 相关系数,第四章 随机变量的数字特征,60,问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差

11、异 程度；,61,1 数学期望,例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。,解：计算甲的平均成绩：,计算乙的平均成绩：,所以甲的成绩好于乙的成绩。,62,定义： 定义：,数学期望简称期望，又称均值。,63,例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：,问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？,只要求出一般指数分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N).,64,例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装

12、配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,65,例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,66,例5：,67,例6：,68,69,70,例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。,71,例8

13、：,72,例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：,73,74,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,75,证明：,下面仅对连续型随机变量给予证明：,76,例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立),本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和 的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望， 这种处理方法具有一定的普遍意义。,解：引入随机变量：,77,例12：,78,2 方差,设有一批灯泡寿命

14、为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？,单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差正是体现这种意义的数学特征。,79,定义：,80,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：,81,例1：设随机变量X具有数学期望,82,例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：,83,例3： 解：,84,例4：,解：X的概率密度为：,85,例5：设随机变量X服从指数分

15、布，其概率密度为：,即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数,86,方差的性质：,87,证明：,88,例6：,例7： 解：,91,例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。,92,表1 几种常见分布的均值与方差,数学期望 方差,分布率或 密度函数,分布,93,3 协方差及相关系数,对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义：,94,协方差的性质：,95,相关系数的性质：,续,96,97,98,例1：设X,Y服从同一分布，其分布

16、律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(X = Y )=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？,99,100,续,101,续,102,103,例3：设X,Y相互独立服从同一分布， 记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？,104,4 矩、协方差矩阵,105,利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。,108,n维正态变量具有以下四条重要性质：,109,复习思考题 4,1.叙述E(X)和D(X)的定义。,110,4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望Eg(X)的两种方法。 5.设XN(,2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=2； 两种结果不一样，哪一种错？为什么？ 6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 则D(XY)=D(X)D(Y)=67=10,这与任意一个随机变量的方 差都不小于零相矛盾，为什么？,111,7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示： (1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,100, 由题意知, Xi N(50,2.52),Y=Xi ,