实数的完备性.ppt

1、第四章 实数的连续性,4.1 实数的连续性定理,4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,极限的理论问题首先是极限的存在问题. 一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且与数列所在的数集有关. 我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理是数学分析理论的基石.,4.1 实数的连续性定理,定理1.(闭区间套定理) 设有闭区间列 若: 则存在唯一数 属于所有的闭区间(即 ), 且:,一、闭区间套定理,从图上看,有一列闭线

2、段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.,注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.,非空数集 有上界,则它有无限多个上界,在这无 限多个上界之中,有一个上界 与数集 有一种特殊 关系. 定义:设 是非空数集.若 使 (1) (2) 则称是 数集 的上确界.表为,二、确界定理,定义:设 是非空数集.若 使 (1) (2) 则称是 数集 的下确界.表为,定理(可列化) 设 是非空集合，则,定理(可列化) 设 是非空集合，则,作为确界定理的应用，我们用确界定理来证明单调有界数列必有极限的公理.,设

3、 是一个区间（或开或闭）、并有开区间集 （ 的元素都是开区间、开区间的个数可有限也可 无限）. 定义：若 则称开区间集 覆盖区间 .,三、有限覆盖定理,一个开覆盖.,定理3(有限覆盖定理）若开区间集 覆盖闭 区间 ，则 中存在有限个开区间也覆盖了 闭区间 . 注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔 定理. 2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间 改为 开区间 ,定理不一定成立.例如开区间集 覆盖开区间 ，但是， 中任意有限个开区间 都不能覆盖开区间,证明 此定理的证明方法有多种这里还是运用区间套定理来证明,仍然要注意区间套的取法. 若定理不成立,也就是说 不能被 中任何有限个开区间

4、所覆盖.将区间 等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被 中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为,显然有,再将 a1, b1 等分成两个子区间, 其中至少有一个,不能被 S 中有限个开区间所覆盖. 设该区间为a2, b2 同样有,将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间,满足下列三个性质:,(iii) 对每一个闭区间 an, bn, 都不能被 S 中有限个,这就是说, aN , bN 被 S 中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.,矛盾.,四、聚点定理,证 设an为有界数列, 若an 中有无限项相等, 取,这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛,若数列an 不含有无限多个相等的项

5、, 则an 作,为点集是有界的. 由聚点原理, 可设 是an的一个聚,定理5(致密性定理) 有界数列 必有收敛子列 .,敛于 .,点 ,那么再由命题2,可知 an 中有一个子列 收,五、致密性定理,定理4 有一个非常重要的推论(致密性定理).,该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.,作为致密性定理的应用, 我们来看下面这个例题.,例3 设 在 上连续， 如果 那么存在 使,证明:因 故 有界.由致密性定理，,六、柯西收敛准则,定理6(柯西收敛准则)数列 收敛,我们在2.2定理8中己给出数列的柯西收敛准则的必要性的证明,在这里我们仅证明它的充分性.,证,.下面证明 an 以 a为极限.,因为 a

6、n 是柯西列, 所以对于任意正数,例5 用有限覆盖定理证明聚点定理.,证 设 S 是无限有界点集, 则存在 M 0, 使得,设开区间集,很明显, H 覆盖了闭区间 M, M. 根据有限覆盖,矛盾.,定理, 存在 H 中的有限子覆盖,实数完备性理论的一个重要作用就是证明闭区,明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾经在第三,4.2 闭区间连续函数性质的证明,经在第三章给出过.,一、性质的证明,二、一致连续性定理,一、性质的证明,定理1(有界性)若函数 在闭区间连 续,则函数 在闭区间 有界,即,证法 由已知条件得到函数 在 的每一 点的某个邻域有界.要将函数 在每一点的 邻域有界扩充到在闭区间 有界

7、,可应用有 限覆盖定理,从而能找到 .,证明:,(应用有限覆盖定理证明)由连续函数的局部有界性:,另一种证法 采用致密性定理.,设 f (x) 在a, b上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在,故由归结原理可得,矛盾.,写方便, 不妨假设 xn 自身收敛, 令,因为xn 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书,定理2(最值性) 若函数 在闭区间 连续, 则函数 在 取到最小值 与最大值 , 即在 上存在 与 ,使 且 证法 只给出取到最大值的证明.根据定理1,函数 在 有界.,证明 设 ,用反证法,假设 显然,函数 在 连续,且 .于是,函数 在 连续.根据定理1,存在 有即 不是数集

8、 的上确界,矛盾 .于是,定理3(零点定理)若函数 在闭区间连续，且 (即 异号), 则在开区间 内至少存在一点 ,使 .,证明因 f (x)在a, b 连续且 ,将 a, b 等分成两个区间 a, c, c, b, 若 f (c)=0,已证. 不然, 函数 f (x)在这两个区间中有一个区,间端点上的值异号, 将这个区间记为a1, b1. 再,将 a1 , b1 等分成两个区间 a1, c1 , c1 , b1, 若,f (c1) = 0, 已证. 不然同样可知函数 f (x) 在其中,个区间的端点上的值异号. 将这个过程继续进行,下去, 得到一列闭子区间 an , bn , 满足:,由区间

9、套定理, 存在惟一的,设,在某一区间连续,按照定义,也就是,在区间内每一点都连续。即对,从连续定义不难看到, 的大小，一方面与给定的 有关；另一方面与点 的位置也有关，也就是，当 暂时固定时，因点 位置的不同， 的大小也在变化.,二、一致连续性,如图,当 给定后,如在 附近,函数图象变化比较“慢”,对应的 较大;在点 附近,函数图象变化比较“快”,对应的 较小.,一致连续的否定就是非一致连续,两者对比如下,证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在,设 f (x)在a, b上不一致连续, 即存在,究(可列化方法).,下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探,定理4 (Cantor一致连续定理)若函数 f (x) 在 a ,b上连续, 则 f (x) 在a, b 上一致连续.,现分别取,因