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文档简介

1、第三节 初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘幂 ab 与幂函数,四、三角函数和双曲函数,五、反三角函数和反双曲函数,六、小结与思考,2,一、指数函数,1.指数函数的定义:,1.定义：对任意复变量z=x+iy,定义,为指数函数。,注： （没有幂的含义，只是一记号） 当x=0时即为欧拉公式 当y=0时和实函数一致,3,3). 在 z平面上解析，且,注： 一般不成立,4). 是以 为基本周期的周期函数.,2.指数函数的性质:,1).,2).,例:,4,例1,解,5,6,例2,解,求出下列复数的辐角主值:,7,8,9,例3,解,10,二、对数函数,2. 表示式,1. 定义,11,其余各值为,特

2、殊地,12,例4,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,13,例5,解,14,例6,解,15,16,2. 性质,17,证 (3),证毕,18,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂的定义,注意:,19,20,特殊情况:,21,22,例7,解,答案,课堂练习,23,例8,解,24,2. 幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,25,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,26,四、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,27,28,例9

3、,解,29,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,30,(注意：这是与实变函数完全不同的),31,其他复变数三角函数的定义,32,例10,解,33,例11,解,34,例12,解,35,36,2. 双曲函数的定义,37,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,38,例13,解,39,五、反三角函数和反双曲函数,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,40,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,2. 反双曲函数的定义,41,例14,解,42,六、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,2. 负数无对数的结论不再成立,3. 三角正弦与余弦不再具有有界性,4. 双曲正弦与余弦都是周期函数,43,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,44,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的

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