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文档简介

1、我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,不完全归纳,猜：四毛！,完全归纳,？,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有 什么启示？,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,数学归纳法.,2.3数学归纳法,多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的

2、相似性。,多米诺骨牌游戏原理,（1）当n=1时，猜想成立,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。,通项公式为 的证明方法,证明:,(1)当,猜想成立。,(2),那么,当,根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立。,见书P93,1.验证第一个命题成立(即nn0第一个命题对应的n的值，如n01)； 2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k1时命题也成立.,(归纳奠基）,数学归纳法:,关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：,由(1)、(2)知，对于一切nn0的自然数n都成立！,(归纳递推）,注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可.,证明：,（

3、1）当n=1时，,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k时等式成立,即,那么,当n=k+1时,即当n=k+1等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,凑出目标,用到假设,例1. 用数学归纳法证明,见书P94例1,证明: (1) 当n=1时,左1，右121 n=1时，等式成立 (2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,错误！,错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明

4、,例2. 试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确?,那么，当n=k+1时,即当n=k+1时等式也成立,可知等式对任何 都成立.,那么，当n=k+1时,证明:(1)当n=1时,左边=20=1, 右边=21 1=1,等式成立,（2）假设n=k时，等式成立，即,即当n=k+1时等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,错误原因：由证明n=k+1等式成立时没有用到n=k命题成立的归纳假设,错误！,例3.已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明.,然后用数学归纳法证明猜想 ,见书P94例2（略）,小结：,一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”的方法 数学

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