《名师伴你行》人教A版数学必修五第二章学案5+等比数列的前n项和.ppt

1、开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.等比数列的前n项和公式 当q1时，Sn= 或 ；当q=1时，Sn= . 2.等比数列的前n项和公式的推导方法 设Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,则qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+ a1qn,两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时， ,这一方法通常称为 .,乘公比错位相减法,学点一 等比数列前n项和公式,【解析】（1）解法一：a1=1,q=2,a5=a1q4=1 24=16，a10=a1q9=129=512. a5+a6+a10=1 008. 解法二：由a1=1,q=2,可求得a5=16,a10=512.,（1）求

2、等比数列1,2,4,从第5项到第10项的和； （2）在等比数列an中，已知a3= ,S3= ，求a1与q.,【分析】利用前n项和公式.,a5+a6+a10=S10-S5+a5= =1 008. 解法三：由题意知a1=1,q=2, a5+a6+a10=S10-S4 = =1 023-15=1 008. （2）a3= ,S3= , 当q=1时，a1=a3= ,S3=3a1=3 = ,【评析】在等比数列an中，若已知五个量a1,an,q,n,Sn中的三个量，则应用等比数列的通项公式和前n项和公式可以求出其他两个量.,符合题意; 当q1时，由通项公式及前n项和公式得 综上知：a1= ，q=1或a1=6

3、,q=- .,在等比数列an中，a1+an=66，a2an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.,解:a1an=a2an-1=128,又a1+an=66, a1, an可看作方程x2-66x+128=0的两根，解方程得 x1=2,x2=64， a1=2, an =64或a1=64, an =2. 若a1=2, an =64,显然q1，由 =126,得2-64q =126-126q, q=2. 由an =a1qn-1,得2n-1=32, n=6. 若a1=64,an=2,同理可求得q= ,n=6. 综上所述，n的值为6，公比为2或 .,学点二用乘公比错位相减法求和,求数列1,3a,

4、5a2,7a3,(2n-1)an-1（a0)的前n项和.,【分析】讨论a是否为1.当a=1时，数列为等差数列，当a1时，数列较复杂，利用乘公比错位相减法求Sn.,【解析】当a=1时，数列变为1,3,5,7,(2n-1), 则 当a1时，有 Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1, aSn=a+3a2+5a3+7a4+(2n-1)an, ,-得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an, (1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+an-1) =1-(2n-1)an+2 =1-(2n-1)an+ 又1-a0, .,【评析】（1）一般地，如果数

5、列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用本题解法乘公比错位相减法. 要善于识别题目类型，特别是当等比数列公比为负数的情形更值得注意. （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. （3）应用等比数列求和公式时，必须注意公比q1这一前提条件.如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.,设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. （1）求an,bn的通项公式； （2）求数列 的前n项和Sn.,解：,

6、学点三灵活运用前n项和公式,an为首项是正数的等比数列，前n项和Sn=80,前2n项和S2n=6 560，在前n项中数值最大的项为54，求通项an.,【分析】若求an，必先求a1和公比q，这样就需列出关于a1和q的两个方程.题目中所给条件中，“前n项和中数值最大者为54”如何利用？这就要考虑an这个数列究竟是递增数列、递减数列，还是常数数列或摆动数列.以下结论可供我们解题过程参考运用. 在等比数列中,【解析】,【评析】各项均为正数的等比数列,当公比大于1时,最大项在末位；当公比在0与1之间时，则最大项为首项.,设正项等比数列an的首项a1= ，前n项和为Sn，且210S30-（210+1）S2

7、0+S10=0. （1）求an的通项； （2）求nSn的前n项和Tn.,解：（1）由210S30-（210+1）S20+S10=0,得 210（S30-S20）=S20-S10， 即210(a21+a22+a30)=a11+a12+a20, 可得210q10(a11+a12+a20)=a11+a12+a20. an0，210q10=1, 解得q= ， 因而an=a1qn-1= ,n=1,2,.,学点四 实际应用,某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（精确到个位）？ 【分析】本题主要考查运用等比数列前n项和公式解决实际问题

8、的能力.,【解析】根据题意，每年产量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列an, 其中a1=5,q=1+10%=1.1,Sn=30,【评析】解这类问题关键要抓住题目的特点，抽象出“比”的信息，将实际问题化为等比数列问题，利用等比数列有关知识解题.,于是得到 ， 整理后得1.1n=1.6. 两边同时取对数,得nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得 5（年）. 答：约5年内可以使总产量达到30万吨.,某林场原有森林木材量为a,木材每年以25%的增长率生长,而每年可砍伐的木材量为x，为使第20年末木材存有量翻两番,求每年砍伐量x（取lg2=0.3）.,解：依题意得各

9、年木材存有量如下：,学点五综合问题,【分析】利用an=Sn-Sn-1(n2)求出an与an-1的递推关系式，用定义加以判断.,设数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式：3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t为正常数，n=2，3，4，）. （1）求证：数列an是等比数列； （2）设数列an的公比为f(t),作数列bn，使b1=1,bn= (n=2,3,),求数列bn的通项bn.,【解析】（1）证明：由S1=a1=1,S2=1+a2,得 3t(1+a2)-(2t+3)=3t, a2= .,又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(n2) , 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(n3)

10、. -得3tan-(2t+3)an-1=0, , an是以a1=1为首项,以 为公比的等比数列. （2）由（1）知， , . bn是以b1=1为首项， 为公差的等差数列， .,【评析】综合利用定义、通项公式、前n项和公式解题，要抓住a1,q,n,an,Sn之间的相互关系，灵活选用公式.,在数列an中，a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*, （1）证明：数列an-n是等比数列； （2）求数列an的前n项和Sn; （3）证明：不等式Sn+14Sn对任意nN*均成立.,解：(1)证明：由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-(n+1)=4(an-n)，nN*. 又a1-1=1,数列an

11、-n是首项为1，且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知an-n=4n-1，于是数列an的通项公式为an=4n-1+n.,数列an的前n项和 （3）证明： 对任意的nN*，Sn+1-4Sn= =-(3n2+n-4)0. 不等式Sn+14Sn对任意nN*均成立.,1.等比数列的前n项和公式的两种形式有何特点？,或 这两种形式的公式本质是相同的，只不过第一种形式中所含的四个量为Sn,n,a1,q，第二种形式中所含的量为Sn,n,q,a1,an. 无论等比数列的前n项和公式以哪种表现形式出现，在Sn,n,a1,an,q这五个量中，只要给出其中的三个量便可以求出另外的两个量.,无论以两种表现形式中的

12、哪一种形式出现，当q=1时，等比数列的前n项和都是一种形式Sn=na1.因为当q=1时，这个等比数列是各项均为a1的常数列. 在弄不清一个等比数列的公比q是不是等于1时，要分两种情况分别讨论，这种情况经常发生在公比q用字母表示的情况. 当q=1时，不能用Sn=及Sn= 的公式求和;当q1时,也不能用Sn=na1的公式求和.,2.等比数列前n项和公式的推导思想是怎样的？,Sn=a1+a1q+a1qn-2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn . 式-式，有(1-q)Sn=a1-a1qn, 当q1时， . 我们把这种求和的方法叫做乘公比错位相减法.很明 显,这种方法可以给我们求某些数列的和带来很大的方便,因此我们在某种意义上来讲，这种求和的方法比这个结果的公式更重要.此公式还有其他推导方法，如,当q1时， , 整理得 .,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn，其中首项a1和公比q为基本