北林 数字标签与射频识别 期末考试

1、 1 数字标签与射频识别 复习资料 考试题型： 简答题：2 道 - 20 分（ppt） 计算题：8 道 - 80 分（作业题） 天涯古巷 出品 2 计算题部分 第一章 矢量分析 1.1 给定两个矢量：和，求: （1） （2） （3）与的夹角 （4） 【公式】 解： （1） （2） （3） 故 （4） ! A= ! ex2+ ! ey3 ! ez4 ! B = ! ex4 ! ey5+ ! ez6 ! eA ! Ai ! B ! A ! B ! A ! B ! eA= ! A A ! Ai ! B = AxBx+ AyBy+ AzBz cos= ! Ai ! B AB ! A ! B = ! e

2、x ! ey ! ez AxAyAz BxByBz ! eA= ! A A = ! ex2+ ! ey3 ! ez4 (2)2+(3)2+(4)2 = 1 29 (!ex2+ ! ey3 ! ez4) ! Ai ! B = AxBx+ AyBy+ AzBz= 24+3(5)+(4)(6) = 31 cos= ! Ai ! B AB = 31 (2)2+(3)2+(4)2(4)2+(5)2+(6)2 = 0.656 AB=131! ! A ! B = ! ex ! ey ! ez AxAyAz BxByBz = ! exAyBz+ ! eyAzBx+ ! ezAxBy ! ezAyBx ! ey

3、AxBz ! exAzBy= ! ex2 ! ey28 ! ez22 3 1.2 给定 3 个矢量：，求： （1）和 （2）和 解： （1） （2） ! A= ! ex+ ! ey2 ! ez3 ! B = !ey4+ ! ez ! C = ! ex5 ! ez2 ! A( ! B ! C)( ! A ! B) ! C ! A( ! B ! C)( ! A ! B) ! C ! Ai( ! B ! C) = ! Ai ! ex ! ey ! ez BxByBz CxCyCz = ! Ai(!ex8+ ! ey5+ ! ez20) = (!ex+ ! ey2+ ! ez3)i(!ex8+ ! e

4、y5+ ! ez20) =18+25+(3)20 = 42 ( ! A ! B)i ! C = ! ex ! ey ! ez AxAyAz BxByBz i ! C = (!ex10 ! ey ! ez4)i ! C = (!ex10 ! ey ! ez4)i(!ex5 ! ez2) = (10)5+(1)0+(4)(2) = 42 ! A( ! B ! C) = (!ex+ ! ey2 ! ez3)(!ex8 ! ey5+ ! ez20) = ! ex ! ey ! ez 123 8520 = ! ex55 ! ey44 ! ez11 ( ! A ! B) ! C = (!ex10 ! ey

5、 ! ez4)(!ex5 ! ez2) = ! ex ! ey ! ez 1014 502 = ! ex2 ! ey40+ ! ez5 4 1.3 证明： （1）两个矢量和是相互垂直的； （2）两个矢量和是相互平行的 【公式】 和相互垂直 和相互平行 证明： （1） 和相互垂直 （2） 和相互平行 1.4 已知直角坐标系中的点 和 ，求： （1）直角坐标系中，点 和 的空间位置矢量和 （2）点 到 距离矢量的大小和方向 解： （1）， （2）点到距离矢量 大小： 方向：为的方向 ! A= ! ex9+ ! ey ! ez6 ! B = ! ex4 ! ey6+ ! ez5 ! A= ! ex2

6、+ ! ey5+ ! ez3 ! B = ! ex4+ ! ey10+ ! ez6 ! Ai ! B = 0 ! A ! B ! A ! B = 0 ! A ! B ! Ai ! B = 94+1(6)+(6)5= 0 ! A ! B ! A ! B = ! ex ! ey ! ez 253 4106 = 0 ! A ! B ! r 1 ! r2 ! r 1 = !ex3+ ! ey+ ! ez2 ! r2= ! ex2 ! ey3+ ! ez4 P 1 P 2 ! R12= ! r2 ! r 1 = ! ex5 ! ey4+ ! ez2 R12=(5)2+(4)2+(2)2=45 ! R12

7、 P 1(3,1,2) P2(2,3,4) P 1 P2 P 1 P2 5 1.8 用球坐标表示的场，求： （1）在点处的和 （2）与矢量 构成的夹角 解： （1）点的空间位置矢量 ， 又 （2） 故 ! E = ! er(25 r2 ) (3,4,5) ! EEx ! E ! B = ! ex2 ! ey2+ ! ez (3,4,5) ! r = !ex3+ ! ey4 ! ez5 r =(3)2+42+(5)2=50 ! E = ! er(25 r2 ) = ! er( 25 50 2) = ! er0.5 ! E = 0.5 ! er= ! r ! r = !ex3+ ! ey4 ! e

8、z5 50 = !ex 3 2 10 + ! ey 2 2 5 ! ez 2 2 ! E = ! er0.5= !ex 3 2 20 + ! ey 2 5 ! ez 2 4 Ex= 3 2 20 cos= ! Ei ! B ! E ! B = ( 3 2 20 )2+ 2 5 (2)+( 2 4 )1 0.522+22+1 = 0.8956 =153.6! 6 1.11 已知矢量，求： （1） （2）对中心在原点的一个单位立方体表面的积分 （3）验证高斯散度定理 【公式】 高斯散度定理： 解： （1） （2）对中心在原点的一个单位立方体表面的积分分别从三对面进行计算： 左面：， 右面：， 左面

9、+右面的积分： 前面：， 后面：， 前面+后面的积分： ! A= ! exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3 i ! A ! A i ! A= div ! A= Ax x + Ay y + Az z ! Aid ! S =i ! A d S i ! A= divA= Ax x + Ay y + Az z = (x2) x + (xy)2 y + (24x2y2z3) z = 2x+2x2y+72x2y2z2 ! A y = 0.5d ! S = !eydxdz ! Aid ! S = (!exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3)i(!eydxdz) =

10、(xy)2(dxdz) = 0.25x2dxdz y = 0.5d ! S = ! eydxdz ! Aid ! S = (!exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3)i(!eydxdz) = (xy)2(dxdz) = 0.25x2dxdz 0.25x2dxdz 0.5 0.5 0.5 0.5 +0.25x2dxdz = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 x = 0.5d ! S = ! exdydz ! Aid ! S = (!exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3)i(!exdydz) = (x2)(dydz) = 0.25dydz x = 0.5

11、d ! S = !exdydz ! Aid ! S = (!exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3)i(!exdydz) = (x2)(dydz) = 0.25dydz 0.25dydz 0.5 0.5 0.5 0.5 +0.25dydz = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 7 上面：， 下面：， 上面+下面的积分： 所以有： （3） 因此，高斯散度定理成立 z = 0.5d ! S = ! ezdxdy ! Aid ! S = (!exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3)i(!ezdxdy) = (24x2y2z3)(dxdy) = 3x2y2dx

12、dy z = 0.5d ! S = !ezdxdy ! Aid ! S = (!exx2+ ! ey(xy)2+ ! ez24x2y2z3)i(!ezdxdy) = (24x2y2z3)(dxdy) = 3x2y2dxdy 3x2y2dxdy 0.5 0.5 0.5 0.5 +3x2y2dxdy = 1 24 0.5 0.5 0.5 0.5 ! Aid ! S = 0+0+ 1 24 = S 1 24 i ! A d=(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz = 1 24 = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ! Aid ! S S ! 8 1.15 求下列矢量的旋度：

13、（1） （2） 【公式】 解： （1） （2） 1.16 求下列标量的梯度： （1） （2） 【公式】 解： （1） （2） ! A= ! exyz + ! eyzx+ ! ezxy ! A= ! ex(y2+ z2)+ ! ey(z2+ x2)+ ! ez(x2+ y2) rotA= ! A= exeyez x y z AxAyAz rotA= ! ex(Az y Ay z )+ ! ey(Ax z Az x )+ ! ez(Ay x Ax y ) = ! ex(x x)+ ! ey(y y)+ ! ez(z z) = 0 rotA= ! ex(Az y Ay z )+ ! ey(Ax z

14、Az x )+ ! ez(Ay x Ax y ) = ! ex(2y2z)+ ! ey(2z 2x)+ ! ez(2x2y) u = 4x2y+ y2z 4xz u = xyz x2+ y2 u = ! ex u x + ! ey u y + ! ez u z u = ! ex u x + ! ey u y + ! ez u z = ! ex(8xy4z)+ ! ey(4x2+2yz)+ ! ez(y24x) u = ! ex u x + ! ey u y + ! ez u z = ! ex(yz 2x)+ ! ey(xz +2y)+ ! ez(xy) 9 1.17 已知矢量，求： （1） （

15、2）矢量沿圆周的闭合曲线积分 （3）验证斯托克斯定理 【公式】 斯托克斯定理： 解： （1） （2）因为闭合曲线在 x0y 面内，固有： 利用消去一个自变量，积分得： （3） 因此，斯托克斯定理成立 ! A= ! exx+ ! eyxy2 ! A ! Ax 2 + y2= a2 ! A S id ! S = ! Aid!l C ! rotA= ! ex(Az y Ay z )+ ! ey(Ax z Az x )+ ! ez(Ay x Ax y )= ! ezy2 ! Aid!l = (!exx+ ! eyxy2)(!exdx+ ! eydy) = xdx+ xy2dy x2+ y2= a2 !

16、 Aid!l C = a2 4 ! A S id ! S = ! exy2 S id ! S = a2 4 = ! Aid!l C ! 10 第二章 电磁场的基本理论 2.1 一个半径为的球内均匀分布总电量为的电荷，求球内体电荷密度。若 球内以角速度绕一个直径旋转，求球内的体电流密度。 【公式】 体电荷密度： 电流密度： 角速度与线速度互换： 解：依题意： 球内体电荷密度 球内体电流密度 2.2 一个半径为的导体带电荷量为，求球表面的面电荷密度。若球以角速 度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。 【公式】面电荷密度： 解：依题意：球面电荷运动半径 球面电荷密度 球面电流密度 a q = q

17、V ! J =!v ! v = ! ersin = q V = q 4 3 a3 = 3q 4a3 ! J =!v = ! e 3qrsin 4a3 a q S = q S r = a S= q S = q 4a2 = q 4a2 ! J =!v = ! e qrsin 4a2 = ! e qsin 4a 11 2.3 一个半径为的圆环上均匀分布着线电荷密度为的电荷，求垂直于圆环 的轴线上任一点的电场强度。 【公式】 电场总公式： 线电场：（为线电荷元， 为线长度） 解： 选用圆柱坐标系。设垂直于圆环轴线的场点电荷的坐标为，线电荷 元视为点电荷，其到场点的距离矢量 又，有 P 点的电场强度 又

18、，且 al ! E = ! eR q 40R2 ! E = ! eR 40R2 dql l dqll P(0,0,z) dql=ldl=lad ! R = ! eRR = ! ezz ! eaa R =z2+ a2 l = 2a ! eR= ! R R = ! ezz ! eaa z2+ a2 ! E = ! eR 40R2 dql l = ! ezz ! eaa 40(z2+ a2) 3 2 lad 0 2 = zla 40(z2+ a2) 3 2 ! ezd zla 40(z2+ a2) 3 2 ! ead 0 2 0 2 ! ea= ! excos + ! eysin ! ead = 0

19、 0 2 ! E = zla 40(z2+ a2) 3 2 ! ezd 0 2 = ! ez zla 20(z2+ a2) 3 2 12 2.4 两个点电荷和分别位于直角坐标系中点和点，求电 场强度点的坐标 解： 分析知，场强为的点必位于轴上，设该点坐标为 P且， 由得： 点电荷在 P 点的电场 点电荷在 P 点的电场 得方程组，解得 即：该点的坐标为 2.5 一个半径为的半圆环上均匀分布着线电荷密度为的电荷，求圆心处的 电场强度。 【公式】 电场总公式： 线电场：（为线电荷元， 为线长度） 解：做如下坐标系，线电荷元视为点电荷， 又合成后只有方向上有场强，且 ， q2q (a,0,0)(a,

20、0,0) ! E = 0 0 x(x,0,0)x0a0 ! E = ! eR q 40R2 q ! E1= ! ex q 40 x(a)2 2q ! E2= ! ex 2q 40a+(x)2 ! E = ! E1+ ! E1= ! ex q 40(x+ a)2 + ! ex 2q 40(x a)2 = 0 x2+6ax+ a2= 0 x = 3a2a 2 (3a2a 2,0,0) al ! E = ! eR q 40R2 ! E = ! eR 40R2 dql l dqll dq =ldl =ladR = a ! E = ! eR 40a2 lad 0 !ey ! Ey= ! Esin= !

21、eRsin 40a2 lad 0 ! eR= !ey ! E = ! Ey= !eysin 40a2 lad 0 = !ey l 20a 13 2.6 一个点电荷，位于处；另一个点电荷，位于 处，求处的电场强度。 解：依题意 点电荷，点的空间位置矢量分别为 ， 点电荷到点的距离 点电荷到点的距离 由公式得 点电荷在点的场强 点电荷在点的场强 处的电场强度 q1=8Cz = 4q2= 4Cy = 4 (4,0,0) q1q2(4,0,0) ! r 1 = ! ez4 ! r2= ! ey4 ! r3= ! ex4 q1(4,0,0) R1=(04)2+(00)2+(40)2= 4 2 ! eR

22、1 = ! R1 R1 = ! r3 ! r 1 4 2 = ! ex4 ! ez4 4 2 = ! ex ! ez 2 q2(4,0,0) R2=(04)2+(40)2+(00)2= 4 2 ! eR 2 = ! R2 R2 = ! r3 ! r2 4 2 = ! ex4 ! ey4 4 2 = ! ex ! ey 2 ! E = ! eR q 40R2 q1(4,0,0) ! E1= ! ex ! ez 2 8 40(4 2)2 = (!ex ! ez) 1 1602 q2(4,0,0) ! E2= ! ex ! ey 2 4 40(4 2)2 = (!ex ! ey) 1 3202 (4

23、,0,0) ! E = ! E1+ ! E2= ! ex( 1 1602 + 1 3202 )+ ! ey(0+ 1 3202 )+ ! ez( 1 1602 +0) = ! ex+ ! ey2!ez 3202 14 2.7 真空中一个半径为的球内均匀分布着体电荷密度为的电荷，求球内、 外任意一点的电场强度。 【公式】 高斯定理： 解：采用球坐标系。电场具有球对称性，即，由于球内和球外电荷分 布不一样，所以两个区域分别计算电场。 采用高斯定理求解电场，高斯面 S 是半径为 r 的同心球面。 球内： 由高斯定理得： 故： 球外： 由高斯定理得： 故： a ! Eid ! S S = q 0 !

24、E = ! eRE r a ! Eid ! S S = ! eREi ! eRdS S =EdS S = 4r2E q =d =4r2dr = 4 3 0 r r3 E = q 4r20 = 4 3 r3 4r20 = r 30 ! E = ! eRE = ! eR r 30 r a ! Eid ! S S = ! eREi ! eRdS S =EdS S = 4r2E q =d =4r2dr = 4 3 0 a a3 E = q 4r20 = 4 3 a3 4r20 = a3 30r2 ! E = ! eRE = ! eR a3 30r2 15 2.8 一个半径为 b 的球内均匀分布着体电荷

25、密度为的电荷，求球内、 外任意一点的电场强度。 【公式】 高斯定理： 解：采用球坐标系。电场具有球对称性，即，由于球内和球外电荷分 布不一样，所以两个区域分别计算电场。 采用高斯定理求解电场，高斯面 S 是半径为 b 的同心球面。 球内： 由高斯定理得： 故： 球外： 由高斯定理得： 故： = b2r2 ! Eid ! S S = q 0 ! E = ! eRE r b ! Eid ! S S = ! eREi ! eRdS S =EdS S = 4r2E q =d=(b2r2) 0 r 4r2dr = 4(b 2r3 3 r5 5 ) E = q 4r20 = 4(b 2r3 3 r5 5

26、) 4r20 = b2r 30 r3 50 ! E = ! eRE = ! eR( b2r 30 r3 50 ) r b ! Eid ! S S = ! eREi ! eRdS S =EdS S = 4r2E q =d=(b2r2) 0 b 4r2dr = 8b5 15 E = q 4r20 = 8b5 15 4r20 = 2b5 15r20 ! E = ! eRE = ! eR 2b5 15r20 16 2.9 半径为的球中充满密度为的电荷，已知电场为 求电荷密度 【公式】 介质中的高斯定理： 电通密度：（为极化强度） 散度公式 在直角坐标系： 在球坐标系： 解：采用球坐标系。由于球内和球外

27、电场不一样，所以两个区域分别计算。 球内： 由介质中的高斯定理得： 球外： 由介质中的高斯定理得： a(r) E = r3+ Ar2r a (a5+ Aa4) r2 r a (r) i ! D = ! D =0 ! E + ! P = ! E ! P i ! A= Ax x + Ay y + Az z i ! A= 1 r2 r r2A r a = i ! D = i0 ! E =0 1 r2 r r2(r3+ Ar2)=0(5r2+4Ar) r a = i ! D = i0 ! E =0 1 r2 r r2( a5+ Aa4 r2 )= 0 17 2.10 已知圆柱形区域 0ra 内的电场强

28、度为，在此区域外的 ，求体电荷密度。 【公式】 介质中的高斯定理： 电通密度：（为极化强度） 散度公式 在直角坐标系： 在球坐标系： 在圆柱坐标系： 解：采用圆柱坐标系。由于内和外电场不一样，所以两个区域分别计算 时： 时： ! E = ! er E0r3 a3 ! E = 0 i ! D = ! D =0 ! E + ! P = ! E ! P i ! A= Ax x + Ay y + Az z i ! A= 1 r2 r r2A i ! A= 1 s s (sA)+ 1 s A + Az z r a = i ! D = i0 ! E =01 r r (r E0r3 a3 )+ 1 r E

29、+ Ez z =01 r r (r E0r3 a3 )= 40E0 a3 r2 ra = i ! D = i0 ! E = 0 18 2.12 如图，平行板电容器的极板面积为 S，极板间距为 d，外加电压，中间 的介质一半是玻璃（） ，一半是空气， 求： （1）玻璃和空气中的电场强度； （2）极板上的面电荷密度； （3）电容器的电容。 【公式】 介质中的高斯定理： 电通密度：（为极化强度） 解： （1）依题意： 玻璃：空气 = 7：1 故： 玻璃 ，玻璃 空气 ，空气 玻璃 空气 （2）由介质中的高斯定理得： 上极板： 下极板： （3） U0 r= 7 E = U d i ! D = ! D

30、=0 ! E + ! P = ! E ! P C = q U U= 1 8U0 d= 1 2 d U= 7 8 U0d= 1 2 d E= 1 8U0 1 2 d = U0 4d E= 7 8 U0 1 2 d = 7U0 4d = i ! D = i0 ! E =0 7U0 4d = 70U0 4d C = q U = 70S 4d 19 2.19 证明同轴线单位长度的静电储能为，其中，为单位长度的电 荷，C 为单位长度的电容。 【公式】 高斯定理： 证明：由高斯定理求得同轴线内、外导体间的电场强度为： 内外导体间的电压为： 则同轴线单位长度的电容为： 同轴线单位长度的静电储能为： 得证 W

31、e= ql 2 2C ql ! Eid ! S S = q 0 E() = ql 2 U =E a b d= ql 2 a b d= ql 2 ln( b a ) C = q U = 2 ln( b a ) We= 1 2 E2dV = V 1 2 ( ql 2 )22d= a b 1 2 ql 2 2 ln( b a ) = ql 2 2C 20 第三章 时变电磁场 3.1 如图所示，平行双导线与一矩形回路共面。设， 电流，求回路中的感应电动势。 【公式】 安培环路定理： 感应电动势： 解：依题意： 先求出平行双线在回路中的磁感应强度 由得： 左导线磁感应强度： 右导线磁感应强度： 又 由得

32、 a = 0.2mb= c = d = 0.1m i =1.0cos(2107t)A ! Bid!l =0I C = d dt ! Bid!l =0I C ! BL= 0i 2r ! BR= 0i 2(b+c+ d r) ! B = ! BL+ ! BR ! BLd ! S = 0i 2r adr = b b+c s 0ia 2 ln(b+c c ) ! BRd ! S = 0i 2(b+c+ d r) adr = d c+d s 0ia 2 ln(b+c c ) = d dt = d dt = d dt ! Bd ! S S = d dt 2 0ia 2 ln(b+c c ) = d dt

33、0a ln(b+c c )1.0cos(2107t) = 41070.2 ln(0.1+0.1 0.1 )2107sin(2107t) = 3.484sin(2107t) 21 3.5 已知空气中，求磁场和坡印廷矢量的瞬时值 【公式】 磁场： 空气中： 坡印廷矢量： 解： 又且 由得 ! E = ! eyE0cos(t x) ! H ! S ! H = 1 ( ! E)dt =0 ! S = ! E ! H ! E = ! ex ! ey ! ez x y z 0Ey0 = 0+0+ ! ez x Ey00 ! ex z Ey = ! ez x E0cos(t x) ! ex z E0cos(

34、t x)= ! ezE0sin(t x) ! H = 1 ( ! E)dt =0 ! H = 1 ( ! E)dt = 1 0 (!ezE0sin(t x)dt = ! ez 0 E0cos(t x) ! S = ! E ! H ! S = ! E ! H = ! ex ! ey ! ez 0Ey0 00Hz = ! exEyHz= ! ex 0 E02cos2(t x) 22 3.7 将下列复数形式的场矢量变换成瞬时表达式，或做相反的变换 【变换法则】 （1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） （3） （4） cos(t z +) e jz+ j ! E = ! exe jz +

35、 ! eye jz+ j 2 ! E = ! excos(t z)+ ! eysin(t z +) ! E = ! eysin( a z)cos(t x) ! E = ! exsin( a z)e jy ! E = ! excos(t +z)+ ! eycos(t z + 2 ) = ! excos(t +z) ! eysin(t z) ! E = ! excos(t z) ! eycos(t z +)= ! exe jz ! eye jz+ j ! E = ! eysin( a z)e jx ! E = ! exsin( a z)cos(t +y) 23 3.8 已知某电磁波的复数形式为，其

36、中， ，求： （1）点 z 为 0，处坡印廷矢量的瞬时值 （2）上述各坡印廷矢量的平均值 【公式】 坡印廷矢量瞬时值： 坡印廷矢量平均值： （注：Re 表示取实部） 解： （1） 由得： 当 z=0 时， 当 z=时， 当 z=时， （2） 即：上述各坡印廷矢量的平均值均为 0 ! E = ! exjE0sinkz ! H = ! ey 0 0 E0coskz k = 2 8 4 ! S(!r,t) = ! E(!r,t) ! H(!r,t) ! Sav= 1 2 Re( ! E ! H) ! E(!r,t) = Re( ! Ee jt) ! E(!r,t) = Re( ! Ee jt) =

37、Re(! exjE0sinkz)e jt=! exE0sinkzcos(t + 2 ) = !exE0sinkzsint ! H(!r,t) = Re( ! He jt) = Re(! ey 0 0 E0coskz)e jt=! ey 0 0 E0coskzcost ! S(!r,t) = ! E(!r,t) ! H(!r,t) ! S(!r,t) = !ez 1 4 0 0 E02sin2kzsin2t = !ez 1 4 0 0 E02sin 4 zsin2t ! S(!r,t) = 0 8 ! S(!r,t) = !ez 1 4 0 0 E02sin 4 8 sin2t = !ez 1

38、4 0 0 E02sin2t 4 ! S(!r,t) = 0 ! E ! H = ! ex ! ey ! ez Ex00 0Hy0 = ! ezExHy= ! ezjE02 0 0 sinkzcoskz ! Sav= 1 2 Re( ! E ! H) = 0 24 第四章 平面电磁波 4.1 在自由空间传播的均匀平面波，其电场强度是 式中，是角频率，是相位常数。当、时，电场强度等于振幅值， 求： （1）在、（）时各点场强的瞬时值，并在 z 轴上画 出正弦曲线。 （2）在、（）时各点场强的瞬时值，并在 z 轴上 画出正弦曲线，说明波的传播方向。 【公式】 相位常数： 周期： 解： 当、时，电场强

39、度等于振幅值 （1）当、（）时， ，又 所以各点的瞬时值分别为： 、0、0、 ! E(z,t) = ! ey2105sin(t + kz +)V / m kt = 0z = 0 t = 0z = n 8 n =1,2,8 t = T 8 z = n 8 n =1,2,8 k = 2 T = 2 t = 0z = 0 ! E(0,0) = ! ey2105sin() = ! ey2105 sin() =1= 2 t = 0z = n 8 n =1,2,8 ! E = ! ey2105sin(kn 8 + 2 ) = ! ey2105cos(kn 8 )k = 2 E = ! E ! ey = 2

40、105cos(kn 8 ) = 2105cos(2 n 8 ) = 2105cos(n 4 ) n =1,2,8 1.41051.410521051.41051.41052105 25 （2）当、（）时， 又， 所以各点的瞬时值分别为： 0、0、 波沿-z 方向传播 t = T 8 z = n 8 n =1,2,8 ! E = ! ey2105sin(T 8 + kn 8 + 2 ) = ! ey2105cos(T 8 + kn 8 ) k = 2 T = 2 E = ! E ! ey = 2105cos(T 8 + kn 8 ) = 2105cos( 2 8 + 2 n 8 ) = 2105

41、cos( 4 + n 4 ) n =1,2,8 1.410521051.41051.410521051.4105 26 4.2 在自由空间传播的均匀平面波，其电场强度是 求： （1）频率、相位常数、波长和波阻抗 （2）求磁场强度的瞬时值 （3）此平面波是均匀平面波吗？说明波的传播方向 【公式】相位常数： 周期： 波长公式： 波阻抗：（自由空间中，即） 磁场强度： 解： （1）依题意： ， （2）由（1）得：且 （3）是，波沿-x 方向传播 ! E(z,t) = ! ey4105sin(3108t + kx)V / m fk ! H k = 2 T = 2 f = c = k = 4107H /

42、 m=120= 377 ! H = ! en 1 ! E T = 2 = 2 3108 = 2 3108 f = 1 T =1.5108Hz= c f = 3108 1.5108 = 2m k = 2 = 2 2 = 3.14rad / m = k = (3108)(4107) =120= 377 ! E(z,t) = ! ey4105sin(3108t +3.14x) ! en= !ex ! H = ! ex 1 ! E = (!ex 1 120 )(!eyEy) = ! ex ! ey ! ez 1 120 00 0Ey0 = 0+0+ ! ez 1 120 Ey000 = !ez1.11

43、07sin(3108t +3.14x) 27 4.3 在空气中沿+y 方向传播的均匀平面波，其磁场强度是 求： （1）相位常数 （2）在时，的位置 （3）电场强度的瞬间值 【公式】相位常数： 周期： 波长公式： 波阻抗：（自由空间中，即） 磁场强度： 注：（叉乘交换有个负号） 解： （1）， ， （2）在时，欲使 则： 即： 故位置为： （3）由，且平面波沿+y 方向传播，即，得： ! H = ! ex1105cos(107t ky+ 4 )A/ m k t = 3msHx= 0 ! E k = 2 T = 2 f = c = k = 4107H / m=120= 377 ! H = ! en

44、 1 ! E ! E = ! en() ! H T = 2 = 2 107 = 2 107 f = 1 T = 0.5107Hz = c f = 3108 0.5107 = 60mk = 2 = 0.105rad / m t = 3msHx=1105cos(0.003107 30 y+ 4 ) = 0 cos(0.003107 30 y+ 4 ) cos( 30 y+ 4 ) = 0 30 y+ 4 = 2 + n y = 22.530n y = 22.530n m ! H = ! en 1 ! E=120 ! en= ! ey ! E = ! en() ! H = ! ez3.77103co

45、s(107t 0.105y+ 4 ) ! E = ! en ! H = ! ey() ! H = ! ey(120) ! exHx= ! ex ! ey ! ez 01200 Hx00 = 0+0+0 ! ez(120Hx)00 28 4.4 在自由空间传播的均匀平面波，其电场强度的复矢量为： 求： （1）频率 （2）电磁波的极化方式 （3）磁场强度的复矢量 （4）坡印廷矢量平均值 【公式】 相位常数： 波长公式： 波阻抗：（自由空间中，即） 磁场强度： () 电场强度复矢量表达： 坡印廷矢量平均值： （注：Re 表示取实部） 解： （1）由电场强度复矢量表达式可知：，又、 得： （2）左旋圆

46、极化 （3）依题意：，分析得 ! E = ! ex104e j20z+ ! ey104e j20ze j 2 f ! H k = 2 f = c = k = 4107H / m=120= 377 ! H = ! en 1 ! E ! en= ! excos+ ! eycos+ ! ezcos ! E = Em(!exA+ ! eyB+ ! ezC)e jkz ! Sav= 1 2 Re( ! E ! H) k = 20k = 2 f = c f = 3108 2 k = 3108 2 20 = 3109Hz =120 ! en= ! ez ! H = ! ez 1 ! E = (!ez 1 1

47、20 )(!exEx+ ! eyEy) = ! ex ! ey ! ez 00 1 120 ExEy0 = 0+ ! ey 1 120 Ex+000 ! ex 1 120 Ey = ! ey 1 120 104e j20z ! ex 1 120 104e j20ze j 2 = ! ey2.7107e j20z ! ex2.7107e j20ze j 2 29 （4） 故：坡印廷矢量平均值为 ! Sav= 1 2 Re( ! E ! H) = 1 2 Re( ! ex ! ey ! ez ExEy0 HxHy0 ) = 1 2 Re(0+0+ ! ezExHy ! ezEyHx00) = 1

48、2 Re!ez(ExHy EyHx)= 1 2 !ez(1042.7107104(2.7107)= ! ez(2.71011) 2.71011W / m2 30 4.6 在自由空间中，某均匀平面电磁波的波长为 0.2m。当该波进入理想介质 后，波长变为 0.09m。设，求： （1） （2）电磁波在该介质中的传播速度 【公式】波长公式： 传播速度： 解：依题意：自由空间中，由得 该电磁波的频率 由得： 该电磁波在理想介质的传播速度 由得： 4.9 证明任何椭圆极化波可以分解为两个旋向相反的圆极化波。 证明： 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可以表示为： 式中取 显然，和分别表示沿+z 方向

49、传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 r=1 r f = c v =f r= ( v1 v2 )2 = 0.2mf = c f = 3108 0.2 =1.5109Hz v =f v =f = 0.091.5109=1.35108m/ s r= ( v1 v2 )2 r= ( c v )2= ( 3108 1.35108 )2= 4.94 ! E = (!exEx+ ! eyjEy)e jz= ! E1+ ! E2 ! E1= 1 2 !ex(Ex+ Ey)+ ! eyj(Ex+ Ey)e jz ! E2= 1 2 !ex(Ex Ey) ! eyj(Ex Ey)e jz ! E1 ! E2 31

50、 4.12 已知海水的，求频率、 、时，电磁波在海水中的波长、衰减常数、相 速度和波阻抗。 【公式】 角速度： 波长： 相速度： () 媒质参数： () 判断条件：、 良导体： 良介质： 衰减常数 衰减常数 波阻抗 波阻抗 解： （1）当频率时： 海水可视为良导体，此时： ， r=81r=1= 4S / m10kHz100kHz 1MHz10MHz100MHz1GHz = 2f= 2 v = =0r0= 1 36109 F / m =0r0= 4107H / m 1 1 1 1 f 2 c(1+ j) f 1+ 1 8 ( )2 c 1 3 8 ( )2+ j 2 = 2f0r = 4 2 f

51、 1 36109 81 = 8.8108 f f =10kHz = 8.8108 10103 =8.81041 f=f0r=(10103)141074 = 0.396Np/ m = 2 = 2 0.396 =15.9mv = = 2f 0.396 = 210103 0.396 =1.6105m/ s c(1+ j) f = (1+ j) f0r = (1+ j) 10414107 4 = 0.1(1+ j) 32 （2）当频率时：同（1） ， ， （3）当频率时：同（1） ， ， （4）当频率时：同（1） ， ， （5）当频率时：不再满足的条件 【公式】不满足及条件时： 、 由、 得， ， （

52、6）当频率时：同（5） ， ， f =100kHz =1.3Np/ m=5m v =5105m/ s c= 0.314(1+ j) f =1MHz = 4Np/ m=1.6m v =1.6106m/ s c=1.0(1+ j) f =10MHz =12.6Np/ m= 0.5m v =5106m/ s c= 3.1(1+ j) f =100MHz = 8.8108 100106 =8.81 1 1 = 37.6Np/ m= 42.1rad / m = 2 = 2 42.1 = 0.1mv = = 2f 42.1 = 2100106 42.1 =1.0107m/ s c= 42 1 j8.9 f

53、 =100MHz = 69.1Np/ m= 203.58rad / m = 0.03mv = 3107m/ s c= 42 1 j0.89 33 第五章 传输线理论 5.2 传输线的长度为 10cm，信号频率为 9400MHz，此传输线是长线还是短 线？传输线的长度为 10m，信号频率为 9400Hz，此传输线是长线还是短线？ 【公式】 长线：波长几何长度 短线：波长几何长度 波长公式： 解：由得： （1）10cm 的传输线： 为长线 （2）10m 的传输线： 为短线 f = c f = c = c f = 3108 9400106 = 3 94 0.1 = c f = 3108 9400 =

54、 3 94 10610 34 5.7 何谓反射系数？它如何表征传输线上波的反射特性？求下图各电路输出端 的反射系数（假设传输线无耗） 。 【公式】 反射系数：指传输线上某点的反射电压（或反射电流）与入射电压（或入 射电流）之比。 驻波比： 解： （1）反射系数：指传输线上某点的反射电压（或反射电流）与入射电压（或入 射电流）之比。 （2）传输线上波的反射特性的表征： 驻波电压的波腹（最大值） Umax 与波节（最小值）Umin 之比被定义为 驻波比，记作。对无损耗传输线来说，驻波比与电压终端反射系数具有下列 关系： ，式中称为电压终端反射系数，它表达了传输线的负载阻 抗 ZL 与传输线特性阻抗 ZC 的匹配程度 = 1+ i 1 i = 1+ i 1 i i 35 5.20 已知，求第一个电压波腹点和第一个电压波谷点到负载的距 离。 【公式】 复数除法运算： （n=0，1，2，） （n=0，1，2，） （注：用计算器计算反三角记得角度换弧度） 解： 分析得： ! z l = 0.4+ j0.8 ! z l = zl z0 2= zl z0 zl+ z0 zl= Rl jXl Zma