向量组及其线性组合.ppt

1、第三章小结,矩阵的初等变换与线性方程组,矩阵的初等变换,矩阵的秩,线性方程组的解,矩阵的初等变换,初等矩阵,矩阵初等变换的应用,矩阵秩的定义,矩阵秩的求法,线性方程组解的存在性判定定理,线性方程组通解的求法,线性方程组,矩阵的初等变换,1.初等行(列)变换,3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵,4.若A可逆，则A与单位阵E等价,2. 初等矩阵的结论:,初等矩阵,推论,初等变换的应用:,（3）求XA=B,（1）求A-1,（2）求AX=B,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,矩阵的秩,最高阶非零子式,定

2、理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数,满秩矩阵,降秩矩阵,(5) A是满秩矩阵,解向量,线性方程组,A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵,线性方程组解的存在性判定定理,求解线性方程组的步骤：,写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵,用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵,根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解,如果有解，进一步化为行最简形矩阵,行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量,令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）,主要内容,向量组及其线性组合,向量组的线性相关性,向量组的秩,第四章 向量组的线性相关性,线性方程组的解的结构,向量

3、空间,n维向量、向量组的概念,向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系,向量组的线性组合,第一节 向量组及其线性组合,主要内容,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、 维向量的概念,例如,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,本书中,示列向量,向量,所讨论的向量在没有特别指明的情况,下都当作列向量.,注:,时,图像.,例如

4、,时,三维向量,空间向量;,时,二维向量,平面向量;,时,没有直观的几何图像.,由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又把三维向量的全体所组成的集合,称为点,称为三维向量空间.,成的集合,类似地,维向量的全体所组,向量的线性运算,注:,向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算.,向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同.,即有,其中,例,设,如果向量满足,求,解,由题设条件,有,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,向量组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,方程组与增广矩阵

5、的列向量组之间一一对应,线性方程组的向量形式,方程组的三种形式,线性方程组的向量形式,设线性方程组,于是,就相当于是否存在,此时,向量组的线性组合,定义 1,数,称为所给向量组的一个线性组合,称为该线性组合的系数.,定义 2,若存,例,设,由于,因此,例,都是,的线性组合.,维向量组,因为,例,零向量是任何一组向量的线性组合.,因为,例,都是此向量组的线性组合.,因为,定义,从而,第十周实验 第一次实验内容： Matlab使用简介 使用Matlab进行矩阵的计算 使用Matlab进行向量的计算 请提前预习实验内容 请带实验指导书及实验报告纸 请遵守实验指导老师的要求进行实验操作,第十周实验 实验安排： 一班 旧机