分析力学基础第一章12节.ppt

1、第一章 分析力学基础,分析力学基础,分析力学 从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系 特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析,分析力学基础,分析力学的两个基本原理 达朗贝尔原理 利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时问题 虚位移原理 利用虚位移原理处理静力学的问题 在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日第二类方程,分析力学基础,实际中遇到的问题： 汽车减震问题,结构设计的CAD,分析力学基础,航天器飞行的姿态动力学问题,分析力学基础,结构特点 -研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体） -结构复杂 运动特点 -刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动 实验手段的特点 -不仅有物理实验

2、还有计算机仿真实验 研究方法的特点 -多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）, 1-1 自由度和广义坐标,广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数,自 由 度：广义坐标的数目 在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目,N自由度数,S完整约束数,坐标：用来表示某个点的空间位置, 1-1 自由度和广义坐标,确定系统的自由度数,两个约束方程：, 1-1 自由度和广义坐标, 1-1 自由度和广义坐标,确定系统的自由度数, 1-1 自由度和广义坐标,考虑由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束,为系统的一组广义坐标,各质点坐标表示为：,由等时变分运算确定第 i 个质点的虚位移：,广义虚位

3、移： 为广义坐标 的变分，称为广义虚位移,坐标数：2*2=4个,自由度数：1个,广义坐标，可选为,完整约束数：3个,坐标数：2*2=4个,自由度数：1个,广义坐标，可选为,完整约束数：3个,思考：OA杆不垂直,自由度数：1个,广义坐标，可选为,完整约束数：3个,则：,思考：最多可以选取多少个普通坐标描述系统位置，坐标的数量和选取方法不同是否影响广义坐标的数量和形式？,自由度数：1个,广义坐标，可选为, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,主动力所作虚功的和为：,变换求和顺序,考虑功是力与位移的乘积， 因此称 Qk为对应于广义坐标qk的广义力。 Qk的量纲, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条

4、件,根据虚功原理：对于具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，主动力系在质点系的任意虚位移中所作虚功之和等于零。,具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，对应于每个广义坐标的广义力都等于零。, 结 论,系统所受约束越多，广义坐标数越少，求解方便。, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,求广义力的方法：,法一：解析法,将主动力系的各力Fi的作用点的坐标xi，yi，zi写成广义坐标qk（k=1，2，N）的函数，对qk求偏导数后代入上式，即可求得广义力，这种方法即解析法。,求广义力的方法：,法二：几何法, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,可单一求某个广义力，如

5、Q1，给质点系一组特殊的虚位移，其中只令广义坐标中Q1变更，而其余的广义坐标保持不变， 即令 这样就可以求出所有主动力相应于广义虚位移 所作的虚功之和，,用同样的方法可求出, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,例：匀质杆OA和AB用铰链A连接，铰链O固定。两杆的长度分别为l1和l2，重量为P1和P2，在杆的AB的B端受一水平力F作用，求平衡时两杆与铅垂直线所成的夹角和。 OA=l1 AB=l2,解：本系统有两个自由度，选角 和 为广义坐标。, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解：本系统有两个自由度，选角 和 为广义坐标。,（1）解析法：,OA=l1 AB=l2,对上面三式取变分：,

6、1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,将它们代入下式并整理：, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,由,可见，对应于广义坐标 和 的广义力为,由用广义力表示的质点系的平衡条件可知：, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解析法的另一解法：,求出上式各项，并令Q Q等于零，得：, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,用几何法求解：,求广义力QB：, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,求广义力Q：,得：,作业：习题1-1，1-3,广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数,自 由 度：广义坐标的数目,各质点坐标表示为：,由等时变分运算确定第 i 个质点的虚位移：,广义虚位移： 为广义坐标

7、 的变分，称为广义虚位移,作业：习题1-1，1-3,考虑功是力与位移的乘积，因此称Qk为对应于广义坐标qk的广义力。,求广义力的方法：,法一：解析法,法二：几何法,作业：习题1-1，1-3, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,例：匀质杆AB长为l，重为P，被约束在一固定光滑的圆柱容器中，在铅直面内平衡，设圆柱的半径为R，求平衡位置。,解一：系统只有一个自由度。 取杆质心纵坐标yC为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：,但 ，故必须, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,因为 ，故必须 ，得：,即杆在水平位置保持平衡。 当 ，即杆在下水平位置时， 稳定平衡 当 ，即杆在上水平位置时， 不稳定平

8、衡,思考: 是广义虚位移吗？P 是广义力吗？, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解二：系统只有一个自由度。 取 为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：,即,因为 ，故必须 ，得：,必须,得, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,保守系的平衡条件,质点在有势力作用下，当由一位置 M 经任意轨迹运动到某一选定位置（M0）时，该有势力所作的功称为质点在 M 处的势能，即,在微小的实位移dr中，势能的微小增量为,因为是保守系统，实位移是虚位移中的一个，将实位移换成虚位移，得, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,对于由n个质点所组成的保守系统，,而,结论：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条

9、件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。,系统平衡, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,保守系统,而,因系统的势能V仅与质点系的各质点的位置有关，是位置的函数，若用广义坐标 描述, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,其变分有, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,对于保守系统，其广义力等于质点系的势能对应于广义坐标的一次偏导数冠以负号。,在保守系统情形下，质点系平衡的充分必要条件Qj=0等价于, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡 势能极小 势能不变 势能极大,一个自由度系统,平衡时,可求出平衡位置,为极小值，平衡是稳定的,为极大值，平衡是不稳定的, 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,例：一个倒置的摆，摆锤重为P，摆杆长度为l，在摆杆的点A连有一刚度系数为k的水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。设OA=a，摆杆重量