2019版高考数学一轮复习 第6章 不等式 第4讲 基本不等式学案

1、第4讲基本不等式板块一知识梳理自主学习必备知识考点1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立)考点2基本不等式 1基本不等式成立的条件：a0，b0；2等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立；3其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数考点3利用基本不等式求最大、最小值问题1如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)2如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)必会结论常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)；(2)ab2(a，bR)；(3)2(a，bR)；(

2、4)2(a，b同号)以上不等式等号成立的条件均为ab.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cosx，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编已知a，bR，且ab1，则ab的最大值为()A1 B. C. D.答案B解析a，bR，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立3课本改编已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5答案C解析y(ab)，故选C.42018苏

3、州模拟若0x6，则f(x)的最大值为()A. B4 C. D.答案B解析0x6，8x0，f(x)4，当且仅当x8x，即x4时，等号成立故f(x)的最大值为4.5课本改编若f(x)x(x2)在xn处取得最小值，则n()A. B3 C. D4答案B解析由f(x)x(x2)24，当且仅当x20，即x3时，取得等号故选B.62018上海模拟若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_答案2解析x22y222，当且仅当xy时取“”，x22y2的最小值为2.板块二典例探究考向突破考向利用基本不等式求最值例12017山东高考若直线1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为_答案8解析直线1(a0

4、，b0)过点(1,2)，1，2ab(2ab)442 8，当且仅当，即a2，b4时，等号成立故2ab的最小值为8.本例条件不变，求ab的最小值解12，当，即a2，b4时，ab8，ab的最小值为8.若4a2b1，求2ab的最大值解4a2b22，21，2ab2，2ab的最大值为2.若log2alog2b1，求2ab的最小值解log2ab1，ab2，2ab24，当a1，b2时，2ab的最小值为4.触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的

5、形式，然后再利用基本(均值)不等式【变式训练1】(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案C解析0x0，则函数yx的最小值为_答案0解析yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.考向条件最值问题例22018大同检测若正数a，b满足abab3，求：(1)ab的取值范围；(2)ab的取值范围解(1)abab323，令t0，t22t30，(t3)(t1)0.t3即3，ab9，当且仅当ab3时取等号(2)abab3，ab32.令tab0，t24t120，(t6)(t2)0.t6即ab6，当且仅当ab3时取等号触类旁通求条件最值注意的问题(1)

6、要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化；(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法【变式训练2】(1)2018珠海模拟已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为()A2 B4 C6 D8答案C解析解法一：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，令x3yt，则t0，且t212t1080，得t6.即x3y6.解法二：x3y9xy2，()2290，(3)()0，00，b0，若a0，b0，b0，再运用基本不等式求解3“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解

7、题错误. 板块三启智培优破译高考易错警示系列8连续应用基本不等式时切记等号成立的条件2017天津高考若a，bR，ab0，则的最小值为_错因分析两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出错解析a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)，4ab，由于ab0，4ab24，故当且仅当时，的最小值为4.答案4答题启示连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等跟踪训练已知ab0，求a2的最小值解ab0，ab0.b(ab)2.

8、a2a2216.当a2且bab，即a2，b时等号成立a2的最小值为16.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018浙江模拟已知x0，y0，则“xy1”是“xy2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若xy1，由基本不等式，知xy22；反之，取x3，y1，则满足xy2，但xy31，所以“xy1”是“xy2”的充分不必要条件故选A.2当x0时，函数f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2答案B解析x0，f(x)1.故选B.32015湖南高考若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4答案C解析由2，得ab2，当且

9、仅当时取“”选C.42018人大附中模拟(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.答案B解析因为6a3，所以3a0，a60.由基本不等式，可知，当且仅当a时等号成立52018秦皇岛模拟函数y(x1)的最小值是()A22 B22 C2 D2答案A解析x1，x10，yx1x1222(当且仅当x1时取“”)选A.6设x0，y0，且x4y40，则lg xlg y的最大值是()A40 B10 C4 D2答案D解析x4y40，且x0，y0，x4y24(当且仅当x4y时取“”)，440.xy100.lg xlg ylg (xy)lg 1002.lg xlg y的最大值为2.72018山西模拟已知不等式(

10、xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析(xy)1aa1a2(1)2，当且仅当a，即ax2y2时“”成立(xy)的最小值为(1)29.a4.82017江苏高考某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_答案30解析一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2 240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小9函数y2x(x1)的最小值为_答案22解析因为y2x(x1

11、)，所以y2x2(x1)22222.当且仅当x1时取等号，故函数y2x(x1)的最小值为22.102018正定模拟若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_答案5解析由x3y5xy，可得1，所以3x4y(3x4y)2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.B级知能提升1若两个正实数x，y满足1，且不等式x0，y0，x24，min4，m23m4，解得m4.选B.2设a0，b1，若ab2，则的最小值为()A32 B6 C4 D2答案A解析由题可知ab2，ab11，(ab1)2132，当且仅当，即a2，b时等号成立故选A.32018湖北八校联考已知正数a，b满足2a2b23，则a的最大值为_答案解析aa(2a2b21)(31)，当且仅当a，且2a2b23，即a21，b21时，等号成立故a的最大值为.42018郑州模拟若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)因为a0，b0，且，所以2 ，所以ab2，当且仅当ab时取等号因为a3b3224，当且仅当ab时取等号，所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)可知，2a3b2246，故不存在a，b，使得2a3b6成立5已知lg (3x)lg ylg (xy1