2019版高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第32讲 不等关系与不等学案

1、第32讲不等关系与不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用.2016北京卷，52016浙江卷，82016江苏卷，5利用作差、作商法比较大小；利用不等式的性质判断关于不等式的命题真假.分值：5分1两个实数比较大小的方法(1)作差法：(2)作商法：2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab_ba_传递性ab，bc_ac_可加性ab_acbc_可乘性_acbc_注意c的符号_acbc_同向可加性_acbd_同向同正可乘性_acbd0_可乘方性ab0_anbn_(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0_(nN，n2

2、)3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0_.a0b_.ab0,0cd_.0axb或axb0_.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则：；(bm0)；(bm0)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab三种关系中的一种()(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(4)同向不等式具有可加和可乘性()(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母()解析 (1)正确两个实数a，b之间的大小关系只有三种(2)错误同乘以一个负数或0时不等号改变(3)错误如24.(5)正确当这个比值中的

3、分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母2下列四个结论，正确的是(D)ab，cdacbd；ab0，cd0acbd；ab0；ab0.ABCD解析 利用不等式的同向可加性可知正确；对根据不等式的性质可知acbd，故不正确；因为函数yx是单调递增的，所以正确；对由ab0可知a2b20，所以，所以不正确，故选D3若ab0，cd0，则一定有(D)ABCD解析 因为cd0，所以cd0.即得0，又ab0，得，从而有.4设a，b，cR，且ab，则(D)AacbcBCa2b2Da3b3解析 yx3在(，)上为增函数，所以a3b3.5下列各组代数式的判断正确的是_.x25x62x25x

4、9； (x3)2(x2)(x4)；当x1时，x3x2x1；x2y212(xy1)解析 2x25x9x25x6x230；所以x25x62x25x9，故正确(x3)2(x2)(x4)1，所以(x3)2(x2)(x4)，故错误当x1时，x3(x2x1)(x1)(x21)0，所以当x1时， x3x2x1，故正确x2y212(xy1)(x1)2(y1)210，所以x2y212(xy1)，故正确一比较两个数(式)的大小比较大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论用作差法比较大小的关键是变形，将差式变成乘积的形式，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法(2)作商法：

5、即判断商与1的关系，得出结论要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小【例1】 (1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是(B)AMNBMNCMND不确定(2)对于0a1，给出下列四个不等式：loga(1a)loga；loga(1a)loga；a1aa1；a1aa1.其中成立的是(D)A与B与C与D与(3)若a，b，则a与b的大小关系为_ab_.解析 (1)MNa1a2(a

6、1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.MN.(2)当0a1时，(1a)0，则1a1，因此成立(3)a0，b0，1，ab.二不等式的性质及应用(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等【例2】 (1)已知a，b，c，d为实数，则“ab且cd

7、”是“acbdbcad”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)若0，则下列不等式：abab；ab；abb2中，正确的不等式有(C)ABCD解析 (1)因为cd，所以cd0.又ab，所以两边同时乘以(cd)，得a(cd)b(cd)，即acbdbcad.若acbdbcad，则a(cd)b(cd)，所以可能ab且cd，也可能ab且cd，所以“ab且cd”是“acbdbcad”的充分不必要条件(2)因为0，所以ba0，ab0，ab0，所以abab，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb2.因此正确的是.三利用不等式的性质求范围应用不等式性质求范围问题的注意点

8、应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解【例3】 已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解析 f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.由题意，得设m(ab)n(ab)4a2b，则解得故f(2)3(ab)(ab)33(ab)6,2ab4，53(ab)(ab)10，即5f(2)10，f(2)的取值范围是 5,101若a，b

9、R且ab，则下列不等式恒成立的是(C)Aa2b2B1C2a2bDlg(ab)0解析 A项，当a1且b2时，显然满足ab，但不满足a2b2，故错误；B项，当a1且b2时，显然满足ab，但，故错误；C项，由指数函数的单调性可知当ab时，2a2b，故正确；D项，当a1且b2时，显然满足ab，但lg(ab)lg 10，故错误，故选C2已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为(B)A(1，)B(0,2)C(1,3)D(0,3)解析 由已知及三角形的三边关系得两式相加得，024，的取值范围为(0,2)，故选B3下列命题中正确的是(C)A若ab，cd，则acbdB若acbc，则ab

10、C若，则abD若ab，cd，则acbd解析 由不等式的性质知C项正确，故选C4已知3045，30230，求54的取值范围解析 易求得542()3(2)，3045，30230，3054180.易错点不等式的变形不等价错因分析：乱去分母；忘掉分母可正、可负、不可以为零【例1】 若集合Ax|12x13，Bx，则AB_.解析 Ax|1x1由1得0，解得x0或x1，Bx|x0或x1因此ABx|1x0或x1答案 x|1x0或x1【跟踪训练1】 已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是(C)A若ab，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则解析 当c0时，可知A项不正确；当

11、c0时，可知B项不正确；对于C项，由a3b3且ab0知a0且b0，所以成立，C项正确；当a0且b0时，可知D项不正确课时达标第32讲解密考纲主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等一、选择题1设a，b为实数，则“a或b”是“0ab1”的(D)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 可通过举反例说明，当ab10时，a，b，但ab1001，所以不是充分条件；反之，当a1，b时，0ab1，但a，b，所以不是必要条件综上可知“a或b”是“0ab1”的既不充分也不必要条件2若0，则下列结论不正确的是(D)Aa2b2Ba

12、bb2Cab|ab|解析 令a1，b2代入选项验证可知D项错误，故选D3(2018浙江富阳模拟)如果a，b，c满足cba，且acacBbcacCcb2ab2Dac(ac)y0时，xy，即xyy0y0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B项错误；xy0xy1ln(xy)0ln xln y0，故D项错误5(2016浙江卷)已知a0，b0且a1，b1，若logab1，则(D)A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0解析 讨论a的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a与b的关系，再判断即可a0，b0且a1，b1，当a1，即a10时，不等式logab1可化为logablogaa，b

13、a1，(a1)(ab)0，(b1)(ba)0.当0a1，即a11可化为logablogaa，即0ba1，(a1)(ab)0，(b1)(ba)0.故选D6(2018陕西西安检测)设，那么2的取值范围是(D)ABC(0，)D解析 由题设得02，0，0，2.二、填空题7(2018山西四校联考)已知ab0，则与的大小关系是_.解析 (ab).因为ab0，(ab)20，所以0，所以.8设x，y为实数，满足3xy28,49，则的最大值是_27_.解析 由49，得1681.又3xy28，227.的最大值是27.9(2018贵州遵义模拟)已知下列结论：若a|b|，则a2b2；若ab，则b，则a3b3；若a0，1ba.其中正确的是_(只填序号即可)解析 对于，因为a|b|0，所以a2b2，即正确；对于，当a2，b1时，显然不正确；对于，显然正确；对于，因为a0，1b0，ab2aa(b21)0，所以ab2a，即正确三、解答题10若实数a1，比较a2与的大小解析 a2，a2a120，当a1时，a2；当a1时，a2.11已知x，y为正实数，满足1lg xy2,3lg4，求lg(x4y2)