2019版高考数学一轮复习 第二章 不等式学案

1、第二章 不等式第一节不等关系与不等式1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0 (nN，n2)小题体验1(教材习题改编)用不等号“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_.答案：(1)(2)(3)2.，的大小关系为_答案：3若0a0，则与的大小关系为_答案：1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，

2、如ab，bcabac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)小题纠偏1设a，b，cR，且ab，则()Aacbc B.b2 D. a3b3答案：D2“ab0”是“”的_条件答案：充分不必要题组练透1已知xR，m(x1)，n(x2x1)，则m，n的大小关系为()AmnBmnCmn Dmn答案：B2若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：3已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_解析：当q1时，3，5，所以.当q0且q1时，0，所以.综上可知.答案：谨记通法比较两实数(式)大小的2种常用

3、方法作差法其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法作商法判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤典例引领1已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定能成立的是()A.0C. D0解析：选C由cba且ac0，有c0，不一定能成立的是C.2(2018嘉兴模拟)若a，b为正实数，且a1，b1，则“ab1”是“loga2b1时，loga2logb20，所以loga2logb2.反之，取a，b2，log

4、a2b1不成立故“ab1”是“loga2b，则ac2bc2B若ababb2C若ab0，则D若ab解析：选BA选项需满足c0；取a2，b1知选项C、D错误故选B.典例引领1(2018嘉兴期末)已知1xy4,2xy3，则3x2y的取值范围是_解析：设3x2ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，所以mn3，mn2，解得m，n，所以3x2y (xy)(xy)，由1xy4，得(xy)10，由2xy3，得1(xy)，上述不等式相加得(xy)(xy)，所以 3x2y0，b0，求证：ab22()证明：ab22()(1)2(1)20，所以ab22()一抓基础，多练小题做到眼疾手快1设a，b0，)，A，B，

5、则A，B的大小关系是()AABBABCAB DAB解析：选B由题意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.2若ab B.C|a|b| Da2b2解析：选A取a2，b1，则不成立3(2018杭州二中月考)a(ab)0是1成立的()A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C1100a(ab)0，所以a(ab)0是1成立的充要条件，故选C.4(2018金华模拟)设a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aba0 B.a3b30Ca2b20 Dba0解析：选D利用赋值法，令a1，b0，排除A、B、C，选D.5b g糖水中有a g糖(ba0)，若再添m

6、g糖(m0)，则糖水变甜了试根据这一事实，提炼出一个不等式_答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定解析：选BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.M N.2若0，给出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式的序号是()A B.C D解析：选C法一：因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由0，可知ba0.中，因为ab0，所以，

7、故正确；中，因为baa0，故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确。3(2018宁波模拟)设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的()A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选A因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立4若m0，n0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm B.nmmnCmnmn Dmnnm解析：选D法一：(取特殊值法)令m3，n

8、2分别代入各选项检验即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立5设a0，bq B.pqCpq Dpq解析：选Dpq(ab).因为a0，b0，所以0，即pq，故选D.6a，bR，ab和同时成立的条件是_解析：若ab0，由ab两边同除以ab得，即；若ab0，则.ab和同时成立的条件是a0b.答案：a0b7已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_解析：1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2yaab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b，即此式无解综上可得实数

9、b的取值范围为(，1)答案：(，1)10实数x，y满足3xy28，求的取值范围解：，49，216,81又3xy28.，22,27，故的取值范围为2,27三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018合肥质检)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()A(1，) B.(0,2)C(1,3) D(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得两式相加得，024，的取值范围为(0,2)2设ab0，ma，则时，m满足的条件是_解析：由得0，因为ab0，所以0.即或m0或ma.即m满足的条件是m0或ma.答案：m0或ma3设a1，a21.(1)证明：介于a1，a2之间；(2)求a1，

10、a2中哪一个更接近.解：(1)证明：(a1)(a2)(a1)0.介于a1，a2之间(2)|a2|a1|a1|.a2比a1更接近.第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2小题体验1设集合Ax|1x4，集合Bx|x22x30，则A(RB)等于()A(1,4)B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)解析：选B由题

11、意得Bx|1x3，根据补集的定义，RBx|x3，所以ARB(3,4)2(教材习题改编)不等式x22x30的解集为_答案：3不等式ax2abxb0的解集为x|2x0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0(a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论小题纠偏1不等式0的解集为()Ax|x1或x3 B.x|1x3Cx|1x3 Dx|1x3解析：选C由0，得解得1x3.2若不等式mx22mx10的解集为R，则m的取值范围是_解析：当m0时，10显然成立当m0时，由条件知得0m1.由知0m0时，原不等式等价于2xx2，x0.综上所述，原不等式的解集为.答案：2不等式1

12、的解集为_解析：将原不等式移项通分得0，等价于解得x5或x.所以原不等式的解集为.答案：3解下列不等式：(1)(易错题)3x22x80；(2)2.解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)不等式等价于即解得x1或1a2(aR)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.锁定考向一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联

13、系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数的范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围 题点全练角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围1若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：选D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2

14、kx2kx0恒成立若f(x)0得x1，即Bx|x1，所以ABx|10的解集为x|3x2答案：x|3x24(2018金华十校联考)若不等式2x1m(x21)对满足|m|2的所有m都成立，则x的取值范围为_解析：原不等式化为(x21)m(2x1)0.令f(m)(x21)m(2x1)(2m2)则解得x，故x的取值范围为.答案：5(2018湖州五校联考)已知实数x，y满足x22y2x(2y1)，则x_，y_，2xlog2y_.解析：法一：由已知得2x24y24xy2x10，即(x1)2(x2y)20，所以解得x1，y，2xlog2y2log2211.法二：由已知得，关于x的不等式x2(2y1)x2y2

15、0(*)有解，所以(2y1)240，即(2y1)20，所以2y10，即y，此时不等式(*)可化为x22x10，即(x1)20，所以x1,2xlog2y2log2211.答案：11二保高考，全练题型做到高考达标1已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于()A3B1C1 D3解析：选A由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3.2(2018丽水五校联考)不等式x2的解集是()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析：选A法一：x2x20

16、0x(x1)(x1)0 1x0或x1.故原不等式的解集为(1,0)(1，)法二：验证，x2，不满足不等式，排除B、C、D.3(2018丽水五校联考)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A(，31，) B.3，1C3，1(0，) D3，)解析：选C因为f(4)f(0)，所以当x0时，f(x)的对称轴为x2，又f(2)0，则f(x)不等式f(x)1的解为3，1(0，)，故选C.4(2018宁波四校联考)设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)0，则f(m1)的值为()A正数B负数C非负数D正数、负数和零都有可能解析：选A设f(x)x2xa0的两

17、个根为，由f(m)0，则m0，则|0，故选A.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B.4,3C1,3 D1,3解析：选B原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.6不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a0(a，bR)的解集为，若关于x的不等式x2axb0(a，bR)的解集为，所以x2axb20，那么不等式x2axbc，即2c，所以c0，所以x，又mx0；(2)若不等式f(x

18、)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，等价于解得10关于x的不等式的整数解的集合为2，求实数k的取值范围解：由x2x20可得x1或x2.的整数解为x2，又方程2x2(2k5)x5k0的两根为k和.若k，则不等式组的整数解集合就不可能为2；若k，则应有2k3.3k2.综上，所求k的取值范围为3,2)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，

19、则实数a的取值范围是()A(，2) B.(2，)C(6，) D(，6)解析：选A不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.2设f(x)ax2bxc，若f(1)，问是否存在a，b，cR，使得不等式x2f(x)2x22x对一切实数x都成立，证明你的结论解：由f(1)，得abc.令x22x22x，解得x1.由f(x)2x22x推得f(1)，由f(x)x2推得f(1)，f(1).abc.故ac且b1.f(x)ax2xa.依题意ax2xax2对一切xR都成立，即(a1)x2x2a0对一切xR都成立a1且14(a1

20、)(2a)0.即(2a3)20，(2a3)20，由a10得a.f(x) x2x1.证明如下：x2x12x22xx2x(x1)20.x2x12x22x对xR都成立x2x1x2x2x(x1)20，x2x2x1对xR都成立存在实数a，b1，c1，使得不等式x2f(x)2x22x对一切xR都成立第三节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c(c0)和

21、|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.小题体验1不等式|2x1|3的解集为_答案：x|x1或x22不等式|x1|x2|1的解集为_答案：3函数y|x4|x4|的最小值为_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函数y的最小值为8.答案：81对形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽视等号成立的条件如|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立，其他类似推导小题纠偏1设a，b为满足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解

22、析：选Bab|ab|.2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4题组练透1若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案：22解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：当x时，原不等式转化为4x6x；当x时，原不等式转化为26，恒成立；当x时，原不等式转化为4x6x1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x

23、3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.谨记通法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解典例引领已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a

24、，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|a恒成立f(x)mina.即时应用(2018浙江七校联考)已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，x.(2)(mn)114，当且仅当mn时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0a.所以实

25、数a的取值范围是.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若不等式|ax2|6的解集为(1,2)，则实数a等于()A8B2C4 D8解析：选C因为不等式|ax2|6的解集为(1,2)，所以1,2是方程|ax2|6，代入得解得a4，故选C.2若|xa|h，|ya|h，则下列不等式一定成立的是()A|xy|h B.|xy|h D|xy| 2h解析：选B2h|xa|ya|xa(ya)|xy|，故选B.3不等式|x2|的解集是()A(3，2) B.(2,0)C(0,2) D(，3)(2，)解析：选D不等式即为5(x2)3x14或5(x2)2或x3，故选D.4不等式|x1|x5|2的解集为_解析：不等式|x1|

26、x5|2等价于或或即或或故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x4答案：x|xx(x2)的解集为_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x2二保高考，全练题型做到高考达标1(2018台州联考)不等式(1x)(1|x|)0的解集是()Ax|0x1 B.x|x0且x1Cx|1x1 Dx|x1且x1解析：选D不等式等价于或解得0x1或x0且x1.故选D.2如果x，y是实数，那么“xy0”是“|xy|x|y|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：选A因为“xy0”可以推出“|xy|x|y|”成立，反过来若“|

27、xy|x|y|”成立，但是xy有可能等于0，所以“xy0”是“|xy|x|y|”的充分不必要条件，故选A.3不等式|x5|x3|10的解集是()A5,7 B.4,6C. (，57，) D (，46，)解析：选D当x3时，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.当3x5时，|x5|x3|5xx3810，不成立，无解当x5时，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.综上可知，不等式的解集为(，46，)4不等式x2|x1|10的解集为()Ax|2x1 B.x|1x2Cx|1x2 Dx|1x1解析：选A当x10时，原不等式化为x2x0，解得0x1.x1；当x10时，原不等式化为x2x20，解得2x1.2x1.综上，2x1.所