2019版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用学案 理

1、第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算本节主要包括2个知识点：1.导数的运算；2.导数的几何意义.突破点(一)导数的运算 1函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .2函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af

2、(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1判断题(1)f(x0)与(f(x0)的计算结果相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(4)cos .()(5)若(ln x)，则ln x()(6)函数f(x)sin(x)的

3、导数为f(x)cos x()(7)ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2填空题(1)已知f(x)138x2x2，f(x0)4，则x0_.解析：f(x)84x，f(x0)84x04，解得x03.答案：3(2)函数y的导函数为_答案：y(3)已知f(x)2sin xx，则f_.解析：f(x)2sin xx，f(x)2cos x1，则f2cos 11.答案：1导数的运算典例(1)函数f(x)(x1)2(x3)，则其导函数f(x)()A3x22xB3x22x5C3x2xD3x2x5(2)(2018钦州模拟)已知函数f(x)xln x，则f

4、(1)f(4)的值为()A18ln 2B18ln 2C8ln 21D8ln 21(3)已知函数f(x)sin xcos cos xsin 1(0)，若f1，则的值为()A.B. C.D.解析(1)法一：因为f(x)(x1)2(x3)(x1)(x1)(x3)，所以f(x)(x1)(x1)(x3)(x1)(x1)(x3)2(x1)(x3)(x1)23x22x5.法二：f(x)(x1)2(x3)x3x25x3，则f(x)3x22x5.(2)因为f(x)ln x1，所以f(1)011，所以f(1)f(4)14ln 418ln 2.故选B.(3)因为f(x)sin xcos cos xsin 1，所以f

5、(x)cos xcos sin xsin cos(x)，因为f1，所以cos1，因为00，所以20)的一条切线的斜率为，由yx，得x3，故选A.4.(2018东城期末)若直线yx2与曲线yexa相切，则a的值为()A3B2C1D4解析：选A由于y(exa)exa，令exa1，得切点的横坐标为xa，所以切点为(a，1)，进而有(a)21，故a3.5.(2018西安一模)若曲线yex(a0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是，则a()A.B.C.D3解析：选Cyex，yex在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是，ex，由a0知，ex2，故2，故a，故选C.全国卷5年真题集中演练明规律 1(20

6、14全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0B1 C2D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.2(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：易得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点横坐标为x1，曲线yln(x1)上的切点横坐标为x2，则yln x2的切线方程为：yxln x11，yln(x1)的切线方程为：yxln(x21).根据题意，有解得x1，x2，bln x111ln 2.答案：1ln 23(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(

7、x)ln x3x，所以当x0时，f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.答案：y2x1 课时达标检测 小题对点练点点落实对点练(一)导数的运算1(2018泉州质检)设函数f(x)x(xk)(x2k)，则f(x)()A3x23kxk2Bx22kx2k2C3x26kx2k2D3x26kxk2解析：选C法一：f(x)x(xk)(x2k)，f(x)(xk)(x2k)x(xk)(x2k)(xk)(x2k)x(x2k)x(xk)3x26kx2k2，故选C.法二：因为f(x)x(xk)(x2k)x33kx22k2x，所以f(x)3x26kx2k2，故选

8、C.2(2018泰安一模)给出下列结论：若ylog2x，则y；若y，则y；若f(x)，则f(3)；若yax(a0)，则yaxln a其中正确的个数是()A1B2 C3D4解析：选D根据求导公式可知正确；若yx，则yx，所以正确；若f(x)，则f(x)2x3，所以f(3)，所以正确；若yax(a0)，则yaxln a，所以正确因此正确的结论个数是4，故选D.3若函数yxm的导函数为y6x5，则m()A4B5 C6D7解析：选C因为yxm，所以ymxm1，与y6x5相比较，可得m6.4已知函数f(x)(e是自然对数的底数)，则其导函数f(x)()A.B. C1xD1x解析：选B函数f(x)，则其导

9、函数f(x)，故选B.5若f(x)x22x4ln x，则f(x)0，f(x)2x2，由f(x)0，得0x2，f(x)0的解集为(0,2)，故选B.6(2018信阳模拟)已知函数f(x)aexx，若1f(0)2，则实数a的取值范围是()A.B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：选B根据题意，f(x)aexx，则f(x)(aex)xaex1，则f(0)a1，若1f(0)2，则1a12，解得0a0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0(0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间上没有单调性()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()答案：(1)

10、(2)(3)2填空题(1)函数f(x)exx的减区间为_答案：(，0)(2)函数f(x)1xsin x 在(0,2)上的单调情况是_答案：单调递增(3)已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案：3证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)f(x2)与0的大小关系来确定函数f(x)的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f(x)在定义域

11、内(或定义域的某个区间内)的单调性例1(2016山东高考节选)已知f(x)a(xln x)，aR.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减当a0时，f(x).若0a2，则 1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减若a2，则 1，在x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增若a2，则0 1，当x或x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在

12、(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a2时，f(x)在(0，)内单调递增；当a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增方法技巧导数法研究函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确定f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论求函数的单调区间例2(2018山东德州期中)已知函数f(x)x3(2m1)x23m(m2)x1，其中m为实数(1)当m1时，求函数f(x)在4,4上的最

13、大值和最小值；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)当m1时，f(x)x3x23x1，f(x)x22x3(x3)(x1)当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当3x1时，f(x)m2，即m1时，由f(x)(x3m)(xm2)0可得x3m，此时f(x)的单调递增区间为(，m2)，(3m，)当3mm2，即m0可得xm2，此时f(x)的单调递增区间为(，3m)，(m2，)综上所述：当m1时，f(x)的单调递增区间为(，)；当m1时，f(x)的单调递增区间为(，m2)，(3m，)；当m0(0(0)及f(x)0不可解先确定函数的定义域，当不等式f(x)0或f(x)0及方程f(x)0均不可解时，求导

14、并化简，根据f(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f(x)的符号，得单调区间1.(2018江西金溪一中等校联考)已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示，则函数g(x)的单调递减区间为()A(0,4)B(，1)，C.D(0,1)，(4，)解析：选Dg(x)，令g(x)0，即f(x)f(x)0，x10得，x；由F(x)0得，x0(或f(x)0(或f(x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围比较大小或解不等式例2

15、(1)(2017吉林长春三模)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1) 的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定(2)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_解析(1)设g(x)，则g(x)，由题意得g(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以ex1f(x2)e x2f(x1)(2)设F(x)f(x)x，F(x)f(x

16、)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即x(，1)(1，)答案(1)A(2)(，1)(1，)方法技巧利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).1.若函数f(x)x3ax24在区间0,2上单调递减，则()Aa3Ba3Ca

17、3D0a1f(x)，f(0)0，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex1(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，1)(0，)C(，0)(1，)D(1，)解析：选A设g(x)exf(x)ex，则g(x)exf(x)exf(x)ex.由已知f(x)1f(x)，可得g(x)0在R上恒成立，即g(x)是R上的增函数因为f(0)0，所以g(0)1，则不等式exf(x)ex1可化为g(x)g(0)，所以原不等式的解集为(0，)5.(2018四川成都模拟)已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(

18、x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，1(t，t1)或3(t，t1)或0t1或2t3.答案：(0,1)(2,3)6.(2018辽宁大连双基测试)已知函数f(x)ln x(aR)(1)若函数f(x)在区间(0,4)上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数yf(x)的图象与直线y2x相切，求a的值解：(1)f(x).函数f(x)在区间(0,4)上单调递增，f(x)0在(0,4)上恒成立，(x1)2ax0，即a2在(0,4)上恒成立x2，当且仅当x1时取等号，a4，)(2)设切点为(x0，y0)，则y02x0，f(x0)2，y0

19、ln x0，2，且2x0ln x0 .由得a(x01)2，代入，得2x0ln x0(2x01)(x01)，即ln x02xx010.令F(x)ln x2x2x1，x0，则F(x)4x10，F(x)在(0，)上单调递增F(1)0，x01，代入式得a4.全国卷5年真题集中演练明规律 1(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)解析：选D因为f(x)kxln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以00时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：选A设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，