2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 文

1、31任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类 (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ(4)相关结论象限角轴线角2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3任意角的三角函数 诊断自测1概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位()(3)，则t

2、ansin.()(4)为第一象限角，则sincos1.()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A4P9T5)直径为4的圆中，36的圆心角所对的弧长是()A. B. C. D.答案B解析3636 rad rad，36的圆心角所对的弧长为l2.故选B.(2)(必修A4P21T9)设是第三象限角，且cos，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析由在第三象限，所以2k2k(kZ)，所以kk(kZ)又cos0，故选B.3小题热身(1)(2017石家庄模拟)已知角的终边在直线yx上，且cos0，则tan_.答案1解析如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上

3、任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan1.(2)(2018黄浦模拟)如图，已知扇形OAB和OA1B1，A1为OA的中点，若扇形OA1B1的面积为1，则扇形OAB的面积为_答案4解析设AOB，则S扇形OA1B1OA1，S扇形OABOA2，OA2OA1，S扇形OAB(2OA1)24.题型1象限角及终边相同的角设集合M，N，判断两集合的关系()AMN BMNCNM DMN将描述法表示的集合变为列举法表示答案B解析由于M18045，kZ，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN.已知角2k(kZ)，若角与角终边相同，则y的值为_找的终边，

4、利用终边定号法答案1解析由2k(kZ)及终边相同角的概念知，的终边在第四象限，又与的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin0，tan0.因此，y1111.方法技巧象限角的两种判断方法1图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角2转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180可得角180的终边，类推可知k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角冲关针对训练1(2017潍坊模拟)集合kk，kZ中的角所表示的范

5、围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n， 此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样故选C.2若sin，且sin0，则所在象限是()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案C解析sin0，2sincos0.又sin，cos0.故在第二象限，且2k2k(kZ)4k0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R22.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.方法技巧应用弧度制解决问题的方法1利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度见典例(1)2求扇形面积最大值的问题时，常

6、转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决见典例(3)3在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形提醒：弧度制下l|r，Slr，此时为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系冲关针对训练(2018大连模拟)一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积是()A. B.R2sin1cos1C.R2(2sin1cos1) DR2(1sin1cos1)答案D解析设圆心角为，由题知2RR4R，得2，所以S弓S扇S三角形2RRR2sin2R2R2sin2R2R2(1sin1cos1)故选D.题型3任意角三角函数的定义及应用角度1利

7、用三角函数定义求值已知角的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴若角终边经过点P(，y)，且siny(y0)，则判断角所在的象限，并求cos和tan的值定义法解依题意，P到原点O的距离为|PO| ，siny.y0，93y216，y2，y.点P在第二或第三象限当P在第二象限时，y，cos，tan.当P在第三象限时，y，cos，tan.角度2利用三角函数线比较大小，解不等式sin1，cos1，tan1的大小关系是()Asin1cos1tan1 Bsin1tan1cos1Ctan1sin1cos1 Dtan1cos1sin1单位圆定义法答案C解析作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP，余弦线OB，正切线AT

8、，可得tan1sin1cos1.故选C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解2利用单位圆解三角不等式的步骤(1)确定区域的边界(注意边界的虚实)；(2)确定区域；(3)写出解集3三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin，cos，tan)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)冲关针对训练1设x，asinx，bcosx，ct

9、anx，则()Aabc Bcba Cbca Dbac答案B解析x，sinx1，cosx0，tanx1.cb0)，且cosx, 求sin的值解角的终边经过点P(x，)(x0)r，cosx，可得x.则r2.sin，tan.那么sin.1(2017商丘期末)已知点P(，y)为角的终边上的一点，且sin，则y的值为()A B. C D2答案B解析由题意可得：|OP|，所以sin，所以y，又因为sin，所以y0，所以y.故选B.2(2018东莞月考)角的终边上有一点P(m，m)，其中m0，则sincos的值为()A. B C0 D.或答案C解析角的终边上有一点P(m，m)，其中m0，r|OP|m|，当m

10、0时，cos，sin，sincos0；当m0)是角终边上的一点，则2sincos_.答案解析|OP| 5|m|5m(m0)，sin，cos，2sincos2. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析中是第三象限角，故错中，从而是第三象限角，故正确中40036040，从而正确中31536045，从而正确故选C.2sin2cos3tan4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在答案A解析2340，cos30.sin2cos3tan40.故选A.3已知扇形的周长是

11、6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长是l，则解得或从而4或1.故选C.4若costan BcostansinCsintancos Dtansincos答案D解析1，sincossin.，00，sincos.故选D.5在ABC中，若sinAcosBtanC0.sinAcosBtanC0，cosBtanC0.B，C中必定有一个钝角ABC是钝角三角形故选B.6(2018永昌县期末)已知角的终边经过点(3a,4a)(a0)，则sincos的值为()A. B C D答案C解析角的终边经过点(3a,4a)(a0)，当a0时

12、，r5a，sin，cos，sincos；当asin，那么下列命题成立的是()A若，是第一象限的角，则coscosB若，是第二象限的角，则tantanC若，是第三象限的角，则coscosD若，是第四象限的角，则tantan答案D解析由三角函数线可知，选D.8已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin2 C. D2sin1答案C解析如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而弧AB的长为l|r.故选C.9若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asincos0 Btans

13、in0Ccostan0 Dtansin0答案B解析是第三象限角，sin0，cos0，则可排除A，C，D.故选B.10(2018江西模拟)已知角的终边经过点(，)，若，则m的值为()A27 B. C9 D.答案B解析角的终边经过点(，)，若，则tantanm，则m.故选B.二、填空题11(2017广州模拟)若角的终边经过点P(，m)(m0)且sinm，则cos的值为_答案解析点P(，m)是角终边上一点，由三角函数定义可知sin.又sinm，m.又m0，m25，cos.12(2018济南校级期末)已知，且lg cos有意义，则所在象限为第_象限答案四解析由可知，sin0，是第一或第四象限角或终边在

14、x轴的非负半轴上的角，综上可知角是第四象限角13若角的终边在直线y3x上，则10sin_.答案0解析设角终边上任一点为P(k，3k)(k0)，则r|k|.当k0时，rk.sin，.10sin330.当k0时，rk.sin，.10sin330.综上，10sin0.14如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正方向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_答案(2sin2,1cos2)解析因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点B，过C作PA的垂线，垂足为D，则PCD2，|PD|sincos2，|CD|cossin2，所以P点坐标为(2sin2,1cos2)，即的坐标为(2sin2,1cos2)三、解答题15已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)24