2018版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列（二）学案 新人教B版必修5

1、2.2.1等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列通项公式的推广思考1已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?思考2由思考1可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？梳理等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时，d.知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？梳理在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则am_ap_.特别地，若mn2p，则

2、anam2ap.知识点三由等差数列衍生的新数列思考若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？梳理若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN)，若b32，b1012

3、，则a8等于()A0 B3 C8 D11类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华跟踪训练2某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？类型三等差数列性质的应

4、用例3已知在等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式引申探究1在例3中，不难验证a1a4a7a2a4a6，则在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN，是否有amanapaqaras?2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之这些方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练3在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值1在等差数列an中，已知a310，a820

5、，则公差d等于()A3 B6 C4 D32在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于()A32 B32 C35 D353在等差数列an中，已知a4a515，a712，则a2等于()A3 B3 C. D1等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量答案精析问题导学知识点一思考1设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n

6、1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.思考2等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d.知识点二思考利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.梳理anaq知识点三思考(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列题型探究类型一例1解因为a8a2(82)d，所以1

7、756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.跟踪训练1B类型二例2解取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.跟踪训练2解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120(n2，nN)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，

8、该公司经销这一产品将亏损类型三例3解方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2，所以an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.引申探究1解设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2. 20解析a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5