2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 空间向量与空间角学案 新人教A版选修2-1

1、会话3空间矢量和空间角度1.用矢量法求直线、直线、面的角度。(重点，困难)2.准确区分矢量角度与所需直线角度和面角度之间的关系。(错误的点)基础初探教材整理空间角的矢量句法。阅读教材P106P110的内容，完成以下问题。角度分类向量球面法范围由两条双线L1和L2形成的角度如果将L1和L2的方向向量设定为a，b，则cos=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _线性l和平面的角度如果将l的方向向量设定为a，将平面的法线向量设定为n，则sin =_ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _二面角 l 的平面角度

2、平面，的法线向量为n1，N2时| cos|=_ _ _ _ _ _ _=0，回答 | cos a，b | | cos a，n | | cos n1，N2 |已知向量m，n分别是线l和平面的方向向量，法线向量，如果cos =-，则l和的角度为()A.30 B.60 C.150 D.120如果将解析 L和的角度设定为，则必须选取sin =| cos m，n，n |=，=60，b。回答 b组合作求双线的角度。如图3220所示，在金字塔VABC中，顶点c位于空间正交坐标系的原点，顶点a、b和v分别位于x、y和z轴上，d是线段AB的中点，AC=BC=2，VDC=.图3220精彩的电话 AC=BC=2，D

3、是AB的中点所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)。=为时，RtVCD上的CD=， v (0，0，)，=(-2，0，0)，=(1，1，-)，cos =-。异质直线AC和VD角度的馀弦为：1.在几何上求双线的角度时，需要制作平行线，将双线的角度转换为平面角度，然后求解三角形的过程相当复杂。用矢量法求双线的角度，可以避免复杂的几何和论证过程。只需计算相应的矢量。2.两个二面角的范围是，两个矢量角度的范围是0，因此必须有cos =| cos |，解释时要特别注意。再练习一个问题1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，它被称为DA=DC=4，DD1=3，求出反面线A

4、1B和B1C夹角的馀弦。使用d作为坐标原点，分别为X、Y和Z轴设置空间直角坐标系(具有DA、DC和DD1牙齿的直线)。如图所示，A1(4，0，3)、B (4，4，0)、B(4，4，0)获得=(0，4，-3)，=(-4，0，-3)。如果的角度设定为，则cos=、所以夹角的馀弦，也就是说，双面线A1B和B1C的角度的馀弦是。求仙面角如图3221所示，在金字塔PABC中，PA-平面ABC、AB-AC、PA=AC=AB、N是AB的最后一点，AB=4an、M、S分别是PB、BC的中点图3221(1)证明书：cmsn；道学号：(2)找到SN和平面CMN之间的角度大小。漂亮的拨号 (1)如何设置坐标系？(2

5、)满足向量和什么关系时，CMSN牙齿成立吗？(3)的坐标是多少？如何查找平面CMN的法向矢量？平面CMN与法线向量的角度是SN与平面CMN的角度吗？自适应解 PA=1，A作为原点，光线AB、AC、AP分别设置X、Y和Z轴设置正空间直角坐标系(如图所示)。P(0，0，1)、C(0，1，0)、B(2，0，0)、an=ab、m和s分别是PB和BC的中点。n、m、s、(1)证明：=，=，=0，所以cmsn。将(2)=，a=(x，y，z)设定为平面CMN的法线向量。a=0，a=0。那么采用Y=1，a=(2，1，-2)。Cos a，=-。=。因此，SN和平面CMN的角度为-=。1.在牙齿主题图中，善意方向

6、向量与平面的法线向量a之间的角度不是所需的线面角度，而是sin =| cos ，a |。2.如果线L和平面的角度为，则使用法向矢量计算的步骤如下：再练习一个问题2.在直三角棱镜ABCA1B1C1中，ab=AC=aa1=2，BAC=90，e，f是C1C，BC的中点。尝试A1B和平面AEF之间角度的正弦值。道学号：图3222以a为原点设置空间正交坐标系，如图所示。A(0，0，0)、A1(0，0，2)、B(2，0，0)、E(0，2，1)、f (1，1，贤德如果A=1，则得到n=(1，-1，2)。将A1B和平面AEF之间的角度设定为。因此，sin =| cos n，|=，即A1B和平面AEF之间角度的

7、正弦值为.共同研究型探索求二面角探讨用矢量求二面角大小的方法。提示在轻松创建空间直角坐标系(具有特殊的位置关系)的情况下，用矢量方法求解二面角就不需要二面角了。只要平面的法向矢量，就可以通过简单的计算得到。有时，两个法线向量的角度大小是二面角的大小(相等或互补)，但二面角是二面角如图3223所示，在直三角棱镜ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB。图3223(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦。精彩的一点 (1)你能用平行于线的判定定理解答吗？(2)如何设置空间正交坐标系，以确定平面DA1C和平面A1CE的法向矢量，并使用公式求

8、出二面角的正弦值？自主回答 (1)证明：AC1连接，如果将A1C交给点F，则F是AC1的中点。另外，D是AB的重点，如果连接DF，则为BC1-DF。Df平面A1CD、BC1平面A1CD、所以BC1平面A1CD。(2) AC=CB=ab，获得ACBC。设置空间正交坐标系Cxyz，其中c作为坐标原点，的方向分别是x、y和z轴的正方向，如图所示。设定ca=2会设定D(1，1，0)、E(0，2，1)将N=(x1，y1，Z1)设定为平面A1CD的法线向量。也就是说所需的n=(1，-1，-1)。同样，将m=(x2，y2，z2)设定为平面A1CE的法线向量。也就是说所需的m=(2，1，-2)。所以cos =

9、，所以sin =。也就是说，二面角DA1CE的正弦值是。利用矢量方法求出二面角的大小，可以避免二面角的平面二面角的困难，通过以下解决步骤转换为计算二面角的平面法线向量的角度问题。(1)建立空间直角座标系统。(2)分别获得具有二面角的两个半平面的平面的法线矢量。(3)寻找两个法线向量的角度。(4)判断二面角的平面角度是预压印还是钝压印。(5)确定二面角的大小。再练习一个问题在图3224中，空间直角坐标系Cxyz中，AB求出半圆O的直径，AC=BC=2，DC=EB，DC=EB，Tan=EAB=，二面角DCEB的馀弦。道学号：图3224解释问题表明：ab=4，tan eab=，CD=EB=1，d(0

10、，0，1)，e (0，2，1)，E(0将平面DAE的法线向量设定为n1=(x1，y1，Z1)。也就是说y1=0，x1=1时，Z1=2，平面DAE的一个法线向量为n1=(1，0，2)。将平面ABE的法线向量设定为N2=(x2，y2，z2)。也就是说z2=0，x2=1，y2=1，平面ABE的法线向量之一是N2=(1，1，0)。cos =。在图中，可以通过钝角确定二面角DAEB。二面角DAEB的馀弦为-。1.在立方体ABCDA1B1C1D1上，e是C1C的中点，线BE和平面B1BD角度的正弦值为()A.-b.c.-D .设定空间直角座标系统，将正方形的边设定为2、D(0，0，0)、B(2，2，0)、

11、B1(2，2，2)、e (0)，如图所示=(-2，-2，0)，=(0，0，2)，=(-2，0，1)。将平面B1BD的法线向量设定为n=(x，y，z)。n、n、如果Y=1，则n=(-1，1，0)。cos =，如果将线BE和平面B1BD的角度设定为，则sin =| cos |=。回答 b2.在图3225中，如果正方形柱ABCDA1B1C1D1上的AA1=2AB，则反面线A1B和AD1的角度的馀弦为()道学号：图3225A.b.c.d .将d设定为座标原点，将DA，DC，DD1牙齿的线设定为X、Y和Z轴，设定空间直角座标系统Dxyz(插图)，将AB=1设定为。B(1，1，0)、A1(1，0，2)、A

12、(1，0，0)、D1(0，0，2)、=(0，1)Cos =-，双面线A1B和AD1牙齿的角度的馀弦为。回答 d3.二面角的两个面都与二面角垂直的两个向量分别为(0，-1，3)、(2，2，4)，二面角的馀弦为_ _ _ _ _ _ _。求解 a=(0，-1，3)，b=(2，2，4)，cos =，并且两个向量的角度等于或互补于二面角的馀弦回答4.在图3226中，在金字塔PABQ中，Pb平面ABQ，ba=BP=BQ，d，c，e，f分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=；图3226(1)认证：abGH；(2)找到二面角DGHE的馀弦。解释 (1)证明：D、C、E和F分别是AQ、BQ、AP和BP的重点，因此EF-AB、DC-AB和EF-DC。Ef平面PCD、DC平面PCD、所以ef平面PCD。EF平面EFQ，平面EFQ平面PCD=GH所以ef-GH。另外，因为ef-ab，ab-GH。(2)在ABQ中，AQ=2bd，ad=dq，所以ABQ=90。因为PB平面ABQ所以BA，BQ，BP是两个垂直的。设置空间正交坐标系，将B点作为坐标原点，将BA、BQ和BP所在的直线作为X、Y和Z轴，如图所示。设定Ba=BP