统计分布的数值特征.ppt

1、一些人使用统计就像喝醉酒的人使用街灯柱支撑的功能多于照明。 Andrew Lang,第五章 统计分布的数值特征,第一节 平均指标 第二节 标志变异指标,1.当代美国的平均人是女人 2.平均每个女人有2.1个孩子 3.这些女人住在平均价值为 $80000的住房中,第一节 平均指标,集中趋势 指一组数据向某一中心值靠拢的倾向,衡量集中趋势的指标,平均指标,同质总体各单位某一数量标志值在具体时间、地点、条件下达到的一般水平。 概括一组数据的一个单一数值,它位于所有数值的中心,一、平均指标概述,（一）概念,例如,2002-03第2学期会计2班管理学考试平均78分 姚明上赛季平均每场上场29分钟，平均每

2、场得分13分 2003年下半年兴达公司职工平均月收入1000元。 康隆农场2003年平均从业人员数700人 兴隆铁矿年均产量400万吨 ,“平均”,抽象性：是对总体单位数量差异的一种抽象 说明总体综合数量特征的一般水平 平均化的过程就是一个抽象化过程 平均指标则是一种抽象化的代表值。,（二）平均指标特点,（三）平均指标的种类,按反映的时间状况不同,按平均指标计 算方法不同,位置平均数,算术平均数 调和平均数 几何平均数,数值平均数,众数 中位数,静态平均指标,动态平均指标,一、算术平均数,算术平均数总体标志总量同一总体单位总数 例如：平均工资额工资总额/职工人数=6001060（元） 特点：

3、计量单位应当和标志总量的计量单位一致 分子分母为同一总体，分母是分子的承担者 数量标志能平均，品质标志不能平均,注意：平均指标与强度相对指标的区别,二、算术平均数,（一）简单算术平均数,条件：掌握了没有分组的总体各单位的标志值或已经有了 标志总量和总体总量的资料,89、88、76、99、74、60、82、60、89、86、 92、85、70、93、99、94、82、77、79、97、 78、95、84、79、63、72、87、84、79、65、 98、67、59、83、66、65、73、81、56、77,01-02第一学期会计2班40名学生市场营销学成绩抄录如下：,01-02第一学期会计2班4

4、0名学生市场营销学的平均成绩：,切尾均值,62,99,90,97,93,81,82,75,3,去掉一个最高分 去掉一个最低分,3号参赛选手的最终得分是85.71分。”,89、88、76、99、74、60、82、60、89、86、 92、85、70、93、99、94、82、77、79、97、 78、95、84、79、63、72、87、84、79、65、 98、67、59、83、66、65、73、81、56、77,如何计算 平均分数呢？,01-02第一学期会计2班市场营销学成绩,（二）加权算术平均数,条件：分组资料 特点：平均数的大小既受其变量值大小的影响，又受其次 数多少的影响,影响加权算术平均

5、数的两个因素：变量值本身大小和权数,组距式分组,X此时为组中值，因此由此计算出的平均数也近似值。,例,单项式分组,思考：若分组资料中的各组权数f均相等，即,简单算术平均数,加权算术平均数,注意公式变形,绝对权数,相对权数,思考: 绝对权数与相对权数的区别,第69分钟区楚良被符宾换下,摘自区楚良 符宾 谁更强足球俱乐部1996年9月5日第17期,从“区楚良符宾谁更强”谈权数的作用,算术平均数的性质,1、,2、,3、,4、,问题：学校的采购员从两个厂家买回一批粉笔，具体情况 如下 单价 （元） 2.5 3 金额 （元） 500 900 问：该批粉笔平均每盒的价格是多少？,三、调和平均数(H),概念

6、 是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒 数，也称倒数平均数。,（一）简单调和平均数,注意与简单算术平均数的不同,调和平均数举例1,2.50 元/kg,2.00元/kg,1.00元/kg,我各买1元的吃,苹果价格及购买情况表,求平均价格,(二)加权调和平均数,注意与加权算术平均数的不同,权数,变量,调和平均数举例2,苹果价格及购买情况表,购买数量,模拟计算,体会含义并进行比较,某种水产品早中晚价格各不相同,分别为3元/kg 、2元/kg和1元/kg (1)消费者早中晚各买一公斤时； (2)消费者早中晚各买一元时； 请计算两种情况下，消费者购买这种水产品的平均价格（元/kg）,加权算术平均,加权

7、调和平均, 当m=xf时： 加权调和平均数公式就变成加权算术平均数公式,结论是:调和平均与算术平均的计算只是由于资料不同而出现的差异,其经济含义完全一致.,注意,算术平均数与调和平均数的其他应用,某行业产值和利润情况表,问题：请计算该行业一季度和二季度的平均产值利润率,一季度的平均产值润率,二季度的平均产值利润率,四、几何平均数,某产品的完整生产包括三个流水作业的连续工序。三道工序的产品合格率分别为：80%、90%、95%，那么： 1.该产品的合格率是多少？ 2.三道工序的平均合格率是多少？,（一）简单几何平均数,表示几何平均数；x表示变量值；n表示变量值个数。,适用于计算平均比率和平均速度,

8、是n个比率乘积的n次方根,几何平均数举例,若已知条件中使用的利率为2%、5%、8% 注意应把基数1（100%）考虑在内对于本利率、发展速度类的计算。,我们根据假设连续三年的银行利率求平均利率。,（二）加权几何平均数,我们假设连续10年的银行利率，求平均利率。,G=(x1+x2+xn)/n=xi/n G=(f1x1+f2x2+fnxn)/(f1+f2+fn) =fixi/fi,几何平均数(算例),【例10】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-1=3

9、.84%,概念：是一组数据中出现次数最多的变量值 确定方法：随所掌握的资料不同而不同,五、众数Mo (mode),五、众数(概念要点),集中趋势的测度值之一 出现次数最多的变量值 不受极端值的影响 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据,众数(众数的不唯一性),无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42,定类数据的众数(算例),【例】根据第三章表3-1中的数据，计算众数,解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所

10、调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即 Mo商品广告,定序数据的众数(算例),【例】根据第三章表3-2中的数据，计算众数,解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,某鞋厂市场需求调查情况,众数MO 24 结论：根据定义确定单项式分布数列的众数,数值型分组数据单项式数列确定众数,组距式数列的众数,1. 众数的值与相邻两组频数的分布有关,4. 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布,2. 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值

11、即为众数,3. 相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,数值型分组数据的众数(算例),【例1】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数,六、中位数(概念要点),集中趋势的测度值之一 排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数(位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据的中位数(计算公式),定序数据的中位数(算例),【例2】根据第三章表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的中位数,解：中位数的位置为： 300/2150 从累计频数看，中位

12、数的在“一般”这一组别中。因此 Me一般,数值型未分组数据的中位数 (5个数据的算例),原始数据: 24 22 21 26 20 排 序: 20 21 22 24 26 位 置: 1 2 3 4 5,中位数 22,数值型未分组数据的中位数 (6个数据的算例),原始数据: 10 5 9 12 6 8 排 序: 5 6 8 9 10 12 位 置: 1 2 3 4 5 6,数值型分组数据的中位数(要点及计算公式),根据位置公式确定中位数所在的组 采用下列近似公式计算：,一家洗衣机服务公司想为其运货车队确定一个新的 总站。 服务的区域包括9个汽车道上的城镇： 城镇 A B C D E F G H I

13、 离A点距离 0 5 10 15 20 25 40 50 60 经理希望用从A开始的平均值来确定他的选择，他的助手建议选择中位数城镇更好。,问题,1. 这两个人分别指定哪个城镇？ 2.对两项作为可能的总站提议分别计算9个城镇的平均 距离。 3.根据手头的所有信息阐明你认为总站应选址在哪里？,助理：中位数所在镇是第5镇，即E镇,经理：平均数所在镇与A镇的距离为 （0+5+10+15+20+25+40+50+60)/9=25 ，即为F镇,解答,中位数的重要性质,好有用吆！,七、其他分位数,1四分位数（Q) 将序列化的数列等分为四等分的3个临界点数值,数列项数 奇数,数列项数偶数时,2十分位数（D）

14、,概念：将全部总体单位按标志值的大小等分为十个部分 的九个临界点数值,1/10分位数 2/10分位数 3/10分位数 4/10分位数 5/10分位数，也即中位数 6/10分位数 7/10分位数 8/10分位数 9/10分位数,八、位置平均数与算术平均数的关系,(对称分布),正偏态分布（右）,负偏态分布(左）,在偏斜不大时,数据类型与集中趋势测度值,想一想?,假设你在政府的运输部门工作,你在计算26条公路的平均投资额时,具体情况是这样的: 一条新公路的投资额最大为2200万美元, 另外的25条公路,每项投资在20万与100万之间.总的中位数是25万,均值是100万,众数是20万. 你会选择哪一种

15、平均数来代表每一条高速公路从政府获得的投资呢?你选择的这种平均数的缺点是什么?,第二节 分布的离散程度,变量取值在平均数周围分布的密集程度 例 第一组 5 5 6 4 5 平均值=5 比较集中 第二组 2 3 9 7 4 平均值=5 比较分散,离散程度(离中趋势),一、极差（也称全距）R,极差：就是总体单位中最大值与最小值之差，它说明标 志值的变动范围 例 第一组 R=6-4=2 第二组 R=9-2=7 优点：计算简便、易懂 缺点：1受极端值影响较大； 2不能全面反映各单位标值差异 。,二、分位差（对极差指标的改进）,四分位差、八分位差、十分位差等 四分位间距 Q.R=Q3-Q1 四分位差 Q

16、.D=Q.R/2=(Q3-Q1)/2 = (Q3-Me)+(Me-Q1) /2 例：2 34 5 5 6 6 6 7 8,n=10,Q3=Q 8.25=60.75+7 0.25=6.25 Q1=Q 2.75=3 0.25+4 0.75=3.75 Q.R=6.25-3.75=2.5 Q.D=2.5/2=1.25,三、平均差A.D,概念：是总体各单位的标志值与算术平均数的离差绝对值的平均。,未分组资料,分组资料,优点：1分析意义完整； 2反映各标志值差异。 缺点：不便于数学处理,平均差 (例题分析),平均差 (例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差17台,统计函数AVEDEV,四

17、、方差和标准差(variance and standard deviation),数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差，记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差，记为s2(s),总体标准差的计算,未分组数据： 分组数据：,例1 单项式资料,例2 组距式资料,样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,自由度 (degree of freedom),自由度是指附加给独立的观测值的约

18、束或限制的个数 从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值 按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k,自由度 (degree of freedom),样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 为什么样本方差的自由度是n-1呢？因为在计算离差平方和

19、时，必须先求出样本均值x ，而x则是附加给离差平方和的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,样本标准差 (例题分析),样本标准差 (例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台,统计函数STDEV,五、相对离散程度：变异系数,概念：用来说明变量取值之间差异的 相对程度的变异指标,适用：不同计量单位或不同平均水平的总体之间变异状况的比较,问题：有三组数据资料如下 1、年龄（岁） 14 15 15 16 16 1

20、6 17 19 2、零件数（个） 14 15 15 16 16 16 17 19 3、工资额（元） 1400 1500 1500 1600 1600 1600 1600 1700 1900 三组数据的均值分别为 16岁 16个 1600元 三组数据的方差分别为 2 2 20000 标准差分别为 1.414岁 1.414个 141.4元,变异系数(coefficient of variation),1.标准差与其相应的均值之比 2.对数据相对离散程度的测度 3.消除了数据水平高低和计量单位的影响 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为：,【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其

21、产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数 (例题分析),结论： 计算结果表明，v1v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,六、 是非标志的平均数和标准差,是非标志：反映总体单位的某一种属性，标志的表现 只有两种情况，具体体现在各总体单位 要么具有该种属性，要么不具有该种属性。 例：性别 男性 女性 x 1 0 设总体中共有n各个体，其中取值为1的单位数为 n1个，取值为0的个体有n0个,P是一种特殊的平均数,七、相对位置的度量：标准分数,标准分数(standard score),1. 也称标准化值 2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3.可用于判断一

22、组数据是否有离群点(outlier) 4.用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为,标准分数(性质),均值等于0 2.方差等于1,标准分数(性质),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1,例3 标准化成绩的计算,承上例,2.经验法则,当一组数据对称分布时 有68.27的数据将分布在平均数加减1个标准差的范围之内。 有95.45的数据将分布在平均数加减2个标准差的范围之内。 有99.73的数据将分布在平均数加减3个标准差的范围之内。,课堂小练习,一个独自生活的老年人每月在食品上的支出额的样本

23、具有近似对称、钟型频数分布的特点，样本均值是150美元，标准差为20美元。使用经验法则： 1.大约68%月度食品支出分布在哪两个值之间？ 2.大约95%月度食品支出分布在哪两个值之间？ 3.几乎全部的月度食品支出分布在哪两个值之间？,1.一家公司在招收职员时，首先要通过两项能力测试。在A项测试中，其平均数是100分，标准差是15分；在B项测试中，其平均分是400分，标准差是50分，一位应试者在A项测试中得了115分，在B项测试中的了425分。与平均分数相比，该位应试者哪一项测试更为理想？ 2.一条成品生产线平均每天的产量为3700件，标准差为50件。如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落入正负两个标准差的范围之外，就认为该生产线“失去控制”。下面是一周内各天的产量，该生产线哪几天失去了控制？,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality ),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用 切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少” 对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数,切比