1.1.3四种命题间的相互关系

1、1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,问题1:若原命题为“若p,则q”的形式,则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式? 答案:原命题:“若p,则q”则: 逆命题:“若q,则p”. 否命题:“若非p,则非q”. 逆否命题:“非q,则非p”. 梳理(1)互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ,这样的两个命题叫做互逆命题,把其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的 .,四种命题的概念,结论和条件,逆命题,(2)互否命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 . ,这样的两个命题叫做互否命题,把其中一个命题叫做原

2、命题,另一个叫做原命题的 . (3)互为逆否命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 . ,这样的两个命题叫做互为逆否命题,把其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的 .,条件的否定,和结论的否定,否命题,结论的否,定和条件的否定,逆否命题,知识点二,问题2:原命题为真,它的逆否命题的真假性如何? 答案:原命题为真,它的逆否命题一定为真. 梳理四种命题的相互关系如图所示.,四种命题的相互关系,若q,则p,若p,则q,若q,则p,知识点三,问题3:四种命题中,真命题的个数可能为多少? 答案:0或2或4. 梳理一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:,四种命题的真假性,真,真,假,真

3、,真,假,假,假,题型一,命题的改写,课堂探究 素养提升,规范解答:(1)原命题:“若a是正数,则a的平方根不等于0”. 逆命题:“若a的平方根不等于0,则a是正数”. 否命题:“若a不是正数,则a的平方根等于0”. 逆否命题:“若a的平方根等于0,则a不是正数”.,【例1】 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0;,规范解答:(2)原命题:“若x=2,则x2+x-6=0”. 逆命题:“若x2+x-6=0,则x=2”. 否命题:“若x2,则x2+x-60”. 逆否命题:“若x2+x-60,则x2”. (3)原命题:“若两个角是对顶

4、角,则它们相等”. 逆命题:“若两个角相等,则它们是对顶角”. 否命题:“若两个角不是对顶角,则它们不相等”. 逆否命题:“若两个角不相等,则它们不是对顶角”.,(2)当x=2时,x2+x-6=0; (3)对顶角相等.,方法技巧 写出一个命题的其他三种命题的步骤 (1)分析命题的条件和结论; (2)将命题写成“若p,则q”的形式; (3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.,解:(1)逆命题:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线; 否命题:如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于这个平面; 逆否命题:如果一条直线不垂

5、直于一个平面,那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线.,即时训练1:写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面;,解:(2)逆命题:如果x0,那么x10; 否命题:如果x10,那么x0; 逆否命题:如果x0,那么x10. (3)逆命题:如果x2+x-6=0,那么x=2; 否命题:如果x2,那么x2+x-60; 逆否命题:如果x2+x-60,那么x2.,(2)如果x10,那么x0; (3)当x=2时,x2+x-6=0.,解析:由否命题定义可知,其否命题是“若a0,则ab0”.故选C.,【备用例1】 (2017枣阳市高二

6、月考)命题“若a=0,则ab=0”的否命题是() (A)若ab=0,则a=0 (B)若ab=0,则a0 (C)若a0,则ab0(D)若ab0,则a0,题型二,四种命题的关系及其真假性判断,【例2】 (2018临川高二检测)有下列四个命题: (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“对顶角相等”的逆命题; (3)“若x-3,则x2-x-60”的否命题; (4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题. 其中真命题的个数是() (A)0(B)1(C)2(D)3,解析:(1)“若x+y0,则x与y不是相反数”是真命题. (2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题.

7、(3)原命题的否命题是“若x-3,则x2-x-60”,解不等式x2-x-60可得-2x 3,当x=4时,x-3而x2-x-6=60,故是假命题. (4)“若一个三角形的两锐角互为余角,则这个三角形是直角三角形”,真命题.故选C.,方法技巧 (1)真假命题判断的两个重要依据:原命题与逆否命题同真假;否命题与逆命题同真假. (2)判断四种命题的真假,只判断原命题和逆命题的真假即可. (3)四种命题中,真命题的个数只能是0,2,4.,即时训练2:已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题,在这四个命题中() (A)真命题个数一定是奇数 (B)真命题个数一定是偶数 (C)真命题个数可能是奇数,也可能是

8、偶数 (D)以上判断都不对,解析:若原命题是真命题,则它的逆否命题一定是真命题,一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命题.故选B.,题型三,等价命题的应用,【例3】 命题“若m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论.,方法技巧 直接证明困难时,命题是否定的形式或不等式的形式时,常常考虑用证明逆否命题的方法来证明.,即时训练3:证明:对任意非正数c,若ab+c,则ab.,证明:将“对任意非正数c,若ab+c,则ab”视为原命题.要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c,若ab,则ab+c”为真命题. 若ab,由c0知,bb+c,所以ab+c. 所以原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.即对任意非正数c,若ab+c,则ab.,【备用例2】 命题:对任意xR,ax2-2ax-30不成立是真命题,求实数a的取值范围.,题型四,易错辨析四种命题之间的关系理解不清导致失误,【例4】 (2018邯郸高二月考)给出命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”,在该命题及它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中,真命题的个数是() (A)4 (B)3 (C)2 (D)1,错解:选D. 纠错:原命题与其逆否命题等价,否命题与逆命题等价,故真命题的个数可能为偶数0,2,4. 正解: