2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案北师大版选修1

1、第二章圆锥曲线和方程1椭圆的定义对解决问题很有用椭圆的定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线的简单性。如果定义使用得当，有些问题可以达到事半功倍的效果。这里有一些例子来说明。1.寻求最大值例1线段| AB |=4，| pa | | Pb |=6，m是AB的中点，当点p在同一平面内移动时，PM的最小长度为()A.2 BC.D.5分析上，因为| pa | | Pb |=64=| ab |，p点的轨迹由椭圆定义为以m为原点、a和b为焦点的椭圆，a=3，c=2， b=。因此，颗粒物的最小长度为b=。答案三2.找到移动点的坐标例2椭圆上两个焦点F1和F2之间距离的最大乘积=1的点的坐标是_ _ _ _ _

2、 _ _ _ _。假设椭圆上的移动点解析地为p，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a=10，因此，| pf1 | | pf2 | 2=2=25，当且仅当| pf1 |=| pf2 |，取等号。经过获取| pf1 |=| pf2 |=5=a，此时，点p恰好是椭圆短轴的两个端点，也就是说，点的坐标是p (3，0)。答案(3，0)从椭圆的定义注释中，我们可以得到“|PF1| |PF2|=10”，即两个正数之和|PF1|和|PF2|是固定值，并且|PF1|和|PF2|的最大乘积可以通过组合基本不等式得到，点p的坐标可以通过组合图得到。3.找到焦点三角形区域例3如图所示，已知椭圆方程为=1。如果

3、点p位于第二象限，并且pf1f2=120，则计算PF1F2的面积。解被称为a=2，b=，所以c=1，| f1f2 |=2c=2。PF1F2中，源自余弦定理| PF2 | 2=| PF1 | 2+| F1F 2 | 2-2 | PF1 | | F1F 2 | cos 120，即| pf2 | 2=| pf1 | 2 4 2 | pf1 |，由椭圆定义，| pf1 | | pf2 |=4。即| pf2 |=4-| pf1 |。将替换为，得到| pf1 |=。所以s pf1f2=| pf1 | | f1f2 | sin120=2=，也就是说，PF1F2的面积为。在PF1F2中，关于|PF1|、|PF

4、2|的方程可以通过椭圆和余弦定理的定义得到，并且|PF2|可以求解|PF1|可以消去。从上述问题中不难发现，我们首先应该考虑用椭圆的定义来解决涉及椭圆上的点和椭圆的焦点的问题。解抛物问题的两个五种技巧1.不求设计，整体处理例1:已知抛物线Y2=-8x的弦PQ被点A (-1，1)二等分，并求出弦PQ的直线方程。如果PQ的两个端点是P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么Y=-8X1，Y=-8X2。两种减法，Y-y=-8 (x1-x2)，即，(y1 y2) (y1-y2)=-8 (x1-x2)。* A是PQ的中点，y1+y2=2，即y1-y2=-4 (x1-x2)。=-4,kPQ=-4.因此，弦P

5、Q所在的直线方程是y-1=-4 (x 1)，那是4x y 3=0。2.巧用定义找到最大值例2:固定长度为3的线段ab的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为m，得到m点到y轴的最短距离。解决方案如下：AAl、MNl、BBl，l是抛物线y2=x的准线，根据抛物线方程y2=x，知道2p=1，=。假设从m点到y轴的距离是d，d=|MN|-。根据抛物线的定义，| af |=| aa |，| BF |=| bb |。因为AA、BB和MN垂直于准线，因此，AA MNBB ，因此，MN是梯形aa b B的中线.然后| Mn |=(| aa | | bb |)=(| af | | BF |)。如果AB不

6、在焦点上，那么根据三角形的性质，获取| af | | BF | | ab |如果AB通过焦点f，然后| Mn |=(| af | | BF |)=| ab |=。因此，当AB通过f时，|MN|是最小的，d也是最小的。d=|MN|-=-=。因此，从m点到y轴的最短距离是。3.巧设抛物线方程例3抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，由直线y=x 1截得的弦长是，所以可以得到这个抛物线的方程。如果抛物线方程是y2=ax (a 0)，那么y被消除，x2 (2-a) x 1=0。假设切割线的两端是A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1和x2是方程的两个实根。根据根与系数的关系，X1 x2=a-2，x1

7、x2=1。根据弦长公式，我们知道=，那是=，解是a=-1或a=5。因此，抛物线方程是y2=-x或y2=5x。4.巧妙地设置弦所在直线的方程例4一条直线穿过抛物线y2=2px (P0)的焦点，两个交点的纵坐标分别为y1和y2。证明了y1y2=-p2。证明了当直线的斜率为0时，直线和抛物线之间不会有两个交点。因为抛物线的焦点是，因此，通过焦点的直线方程可以被设置为x-=my，也就是说，x=my，代入y2=2px，Y2-2pmy-p2=0。根据根与系数的关系，y1y2=-p2。5.巧妙设置抛物线上各点的坐标例5如图所示，抛物线y2=2px (P0)上的一个固定点P(P在x轴之上)被用作两条直线，分别

8、与抛物线a和b相交。当pa和PB的斜率存在且倾角互补时，证明直线ab的斜率为非零常数。让p，a，b，kpa=-kpb，=-。完成后，y1 y2=-2y0。KAb=-(Y00)。因此，直线AB的斜率是非零常数。3巧用抛物线聚焦弦如图所示，AB是通过焦点f的抛物线y2=2px (P0)的弦。假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，通过A，M和B垂直于抛物线的准线L，并且垂直的脚分别是A1，M1和B1，可以得出以下重要结论：(1)直径为AB的圆必须与准线相切；(2) | ab |=2 (x0)(焦距与中点坐标的关系)；(3)| AB |=x1+x2+p；(4)点A和点B的

9、横坐标和纵坐标的乘积是一个固定值。即x1x2=，y1y 2=-p2；(5)a1fb1f；(6)、和B1共线；(7)+=。证明了当直线AB的斜率不存在时，也就是说，当垂直于x轴时，| fa |=| FB |=p，+=+=.当直线AB的斜率存在时，让直线AB的方程为Y=k，替换y2=2px。 2=2px，即k2x2-p (2 k2) x=0。让A(xA，yA)，B(xB，yB)，Xa XB=，xA+xB=。| FA |=Xa+，|FB|=xB+，|FA|+|FB|=xA+xB+p，|FA|FB|=xAxB+(xA+xB)+=(xA+xB+p)。|FA|+|FB|=|FA|FB|，也就是说。对这一结

10、论的评论是抛物线穿过焦点的一个重要性质。在解决问题时，我们不能忽视ABx轴心。假设F是抛物线的焦点Y2=4x，A，B和C是抛物线上的三个点，如果=0，那么| | | | |=_ _ _ _ _ _ _。分析上，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，和f (1，0)。已知者=0(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0，即x1 x2 x3=3，|+|+|=x1+x2+x3+p=6。回答64解析几何中定值和最大值问题的解法分析1.定点和定值对于解析几何中的定点和定值问题，我们应该善于从辩证的角度进行思考和分析，在动点的“变化”中寻求定值的“不变性”，并运用特殊的探索方法(特殊值、

11、特殊位置、特殊图形等)。)先确定固定值，从而揭开谜底。这样，盲目探索问题就可以转化为具有方向和目标的一般证明问题，从而找到解决问题的突破口。示例1:众所周知，椭圆的中心是坐标的原点o，焦点在x轴上，斜率为1，穿过椭圆右焦点的直线在点a和b处与椭圆相交，并且与a=(3，-1)共线。设m为椭圆上的任意点，且= (，R)，并证明 2 2为常数值。证明了M是椭圆上的任意点。如果m和a重合，然后=，其中=1，=0， 2 2=1。现在有必要证明 2 2是固定值1。假设椭圆方程为=1 (AB0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)。- get=0，那是=-=-，并且kab=，y

12、0=-x0.直线的方向向量是，a，=.* a2=3 B2，椭圆方程是x2 3y2=3b2，线性方程是y=x-C .同时发生的4x2-6cx 3c2-3b2=0。* x1+x2=c，x1x2=c2。让M(x，y)，然后通过= ，必须代入椭圆方程得到它2(x+3y)+2(x+3y)+2(x1 x2+3y1 y2)=3 B2。并且x 3y=3b2，x3y=3 B2，x1x2+3y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2=c2-c2+3c2=0， 2 2=1，所以 2 2是一个固定值。例2已知在抛物线y2=2px (P0)上有两个移动点a和b和一个固定点M(x0，y0)，f是抛物线的焦点，并且|

13、AF|，|MF|和|BF|成为算术级数。证明了线段ab的垂直平分线穿过不动点(x0 p，0)。证明了A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，称为|AF|=x1+，|BF|=x2+，|MF|=x0+。因为|AF|、|MF|和|BF|是算术级数，因此2 | MF |=| af | | BF |，那就是x0=。假设AB的中点是(x0，t)，t=。Kab=。线段AB的垂直平分线方程是y-t=-(x-x0)，也就是说，tx-(x0(p)py=0。因此，线段AB的垂直平分线与固定点(x0 p，0)相交。2.最大值问题解决圆锥曲线最大值问题一般有两种方法：一是几何方法，特别是圆锥曲线的定义和平面几

14、何的相关结论，非常巧妙；二是代数方法，将二次曲线中的最大值问题转化为函数问题(即根据条件列出目标函数)，然后根据函数的特点选择参数法、配点法、判别式法、三角形定界法、函数单调法和基本不等式法求解最大值或最小值。例3已知f是双曲线的左焦点-=1，A(2，4)和p是双曲线右分支上的移动点，所以| pf | | pa |的最小值是_ _ _ _ _。分析上，让右焦点为F，根据双曲线的定义，F的坐标为(5，0)，| pf |-| pf |=6。|pf|+|pa|=6+|pf|+|pa|，最小化| pf | | pa |，只要| pf | | pa |是最小值，| pF | | pa |最小需求p，f

15、和a共线。最小值为6 | f a |=6=11。回答11关于“化曲线为直线”求距离相关的最大值是平面几何中的一个巧妙方法，特别是对于移动点与固定点之间的距离之和的最大值，并以二次曲线为重点。例4众所周知，在平面中从移动点p到点F(1，0)的距离与从点p到y轴的距离之差等于1。(1)求出移动点p的轨迹c的方程；(2)交叉点F是两条直线l1、l2，它们具有斜率并且彼此垂直。让l1和轨迹C在点A，B相交，l2和轨迹C在点D，E相交，得到最小值。(1)让移动点p的坐标为(x，y)，这意味着-| x |=1。简化y2=2x 2 | x |。当x0时，Y2=4x当x0时Y=0。因此，移动点p的轨迹c的方程

16、是(2)如图所示，从问题的含义来看，直线l1的斜率存在并且不是0。如果设置为k，l1的等式为y=k (x-1)。k2x2-(2k2 4) x k2=0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，X1和x2是上述等式的两个实数根，那么x1 x2=2，x1x2=1。因为l1l2，l2的斜率是-。让D(x3，y3)，E(x4，y4)，那么x3 x4=2 4k2和x3x4=1可以用同样的方法得到。因此=()()=+=|+|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+1+1+(2+4k2)+1=8+48+42=16。当且仅当k2=，也

17、就是说，当k=1时，最小值为16。5.圆锥曲线中探索性问题的解法作为探索性问题之一，探索性问题具有内容广泛、关键问题丰富等命题要求，便于考查、分析、比较、猜测和归纳等综合能力，因此受到命题者的喜爱。二次曲线的探索性问题是指在给定条件下，是否有一个数学对象(数值、性质、图形)使某一数学结论成立的数学问题。圆锥曲线中的探索性问题只是为了帮助学生复习而开发的。1.常数存在问题例1直线y=ax 1和双曲线3x2-y2=1在两点a和b相交，有没有这样一个实数a使a和b关于直线l对称：y=2x？请解释原因。分析首先假设实数A的存在，然后根据推理或计算得出满足问题含义的结果，或者得出与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出不存在数学对象的结论。求解实数A的存在性，使A和B关于直线L对称：Y=2x，并假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点坐标是。根据主题设置=2，即y1 y2=2 (x1 x2)，a和b在直线y=ax 1上，y1=ax1+1,y2=ax2+1，y1+y2=a(x1+x2)+2,2(x1 x2)=的a (x1 x2) 2。即，(2-a) (x1 x2)=2，同时发生的得到(3-a2) x2-2