2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程教学案新人教B版选修1

1、2.2.1双曲线及其标准方程目标1 .了解双曲的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲的标准方程及其求解方法.3.利用双曲的定义和标准方程解决简单问题知识点双曲线的定义观察图形，考虑下面的问题思考1图中动点m的几何性质是什么？思考|MF1|-|MF2|=|F1F2|，动点m的轨迹是什么？从平面内到两个定点F1、F2的距离的点的轨迹称为双曲线，该点的轨迹等于固定值2 a (大于0 )。知识点2双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区分有焦点的坐标轴？思考2如图所示，类比椭圆中的a、b、c的意思，对于双曲线，可以在y轴上稍微寻找b，使其成为|OB|=b吗？修改卡片聚焦于x轴对

2、准y轴标准方程式-=1(a0，b0)-=1(a0，b0)焦点F1(-c，0 )、F2(c，0 )F1(0，-c )、F2(0，c )焦距长度|F1F2|=2c、c2=a2 b2求型1双曲线的标准方程式例1求出次双曲线的标准方程式(1)椭圆=1有共同的焦点，并且点(-2，)；(2)焦距长度为26，并且经过点m (0，12 )。(3)通过点P(3，)、Q(-，5 )，在坐标轴上对焦。反思与知觉保留系数法方程求解的步骤(1)定型：决定双曲线焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)式：根据焦点位置设置对应的法方程的形式如果不知道焦点的位置就进行研究，或者设双曲线的方程式为Ax2 By2=1(AB0)双曲-

3、=1(a0，b0)和共焦点的双曲的标准方程式可以设为-=1(-b2ka2)。(3)修正：用问题中的条件列出方程式，求出相关值(4)结论：写出双曲线的标准方程根据跟踪训练1条件求双曲线的标准方程式(1)经过c=、点a (-5，2，2 )，在x轴对焦。(2)经由点P(4，-2)和点q (2，2 )。(3)双曲线与椭圆=1有共同的焦点，并且超过了点(，4 )。类型2双曲线的定义和应用命题角度1双曲线的焦点三角形从例2 (1)图可知，双曲线的方程式为-=1(a0，b0)，点a、b都在双曲线的右分支上，线段AB通过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1如果是双曲线的左焦点，则为补充探究在本例(2)中，如

4、果F1PF2=90，则不改变其他条件，求出F1PF2的面积。(2)可知双曲-=1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲上的一点p为F1PF2=60，则F1PF2的面积为反思和感知双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法1 :根据双曲线的定义求|PF1|-|PF2|=2a。用侑弦定理表示|PF1|、|PF2|、|F1F2|间满意的关系式。根据配方，用整体思想求出|PF1|PF2|的值利用公式SPF1F2=|PF1|PF2|sinF1PF2求出面积。(2)方法2 :利用公式SPF1F2=|F1F2|yP|(yP是p点的纵坐标)求出面积。特别注意：要利用双曲定义解决焦点问题，一个方法是留心定定义条件|P

5、F1|-|PF2|=2a的变形使用，特别是|PF1|2 |PF2|2，|pf1|中跟踪训练2已知双曲线的方程式为-=1，点p位于双曲线上，到一个焦点F1的距离为10，点n是PF1的中点，求出|ON|的大小(o是坐标原点) .命题角度2关于双曲线的轨迹问题已知圆C1:(x 3)2 y2=1和圆C2:(x-3)2 y2=9，当动圆m与圆C1和圆C2外接于云同步时，动圆心m的轨迹方程式为反思和知觉定义法求双曲方程式的注意点(1)注意条件是到定点的距离差，还是差的绝对值？(2)差的绝对值为常数的情况下留心常数和两定点间的距离的大小问题(3)在求出方程式之后，在给出了表示满足方程式的解的坐标的曲线上，向

6、有木有留心跟踪训练3在ABC中已知a (-2，0 )、b (2，0 )，三内角a、b、c满足2sin A sin C=2sin B，求出顶点c轨迹方程式.1 .到两个定点f1(-3，0 )、f2(3，0 )的距离差的绝对值等于6的点m的轨迹是()a .椭圆b .线段c .双曲线d.2条放射性射线2 .将f 1、F2分别设为双曲线x2-=1的左、右焦点，将p设为双曲线上的一点，且将3|PF1|=4|PF2|、PF1F2的面积设为()甲组联赛C.24 D.483 .如果椭圆=1和双曲线-=1具有相同的焦点，则a的值为()A. B.1或-2C.1或D.14 .如果k-r，方程=1表示在x轴上聚焦的双

7、曲线，则k可能的值范围是()a.-3- 2战斗机5 .求出符合以下条件的双曲线的标准方程式(1)a=3，c=4，焦点在x轴上。(2)焦点是(0，-6)、(0，6 )，通过点a (-5，6，6 )。(3)以椭圆=1的长轴的顶点为焦点，超过(3，)。1 .在双曲定义中，|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2| )绝对值符号不泄漏，在2a=|F1F2|时表示两条线。2 .在双曲的标准方程式中，ab未必成立，所以在椭圆中必须注意与a、b、c的区别。 椭圆中a2=b2 c2，双曲中c2=a2 b2。3 .使用保留系数法求双曲线的标准方程式时，判断焦点的位置，设定标准方程式后，根据条件列举a、b、c

8、的方程式如果焦点未确定，则使用保留系数法求方程式，或以mx2 ny2=1(mn0)的形式求解答案精明问题指导学知识点1思考1 |MF1|-|MF2|=常数(常数|F1F|或|F2F|)为常数|F1F2|。以思考2f2为端点的一条放射性射线梳理差的绝对值双曲线的焦点两焦点间的距离知识点21双曲线的标准方程式中的考虑x2和y2的系数的符号决定焦点所在的坐标轴，x2的系数为正的情况下，焦点在x轴上，x2的系数为正的情况下，焦点在x轴上，y2的系数为正的情况下，与分母的大小无关地聚焦在y轴上思考2以双曲线和x轴的升交点a为圆心，以线段OF2为半径，将圆交的y轴画成点b。问题型方法例1解(1)方法一椭圆

9、=1的焦点是F1(0，-3)、f1(0，3 )。双曲线方程式为-=1(a0，b0)，有的可以解开求出的双曲线方程式是-=1。方法2椭圆方程式=1得知的焦点在y轴上求出的双曲方程式为-=1(1625 )。由于双曲线通过点(-2，)，所以-=1，求解=20或=7(截断)，求出的双曲线方程式是-=1。双曲线通过点m (0，12 )，因为m (0，12 )是双曲线的顶点，所以焦点在y轴上，a=12。另外，2c=26，c=13，b2=c2-a2=25。双曲线的标准方程是-=1(3)设双曲线方程式为mx2 ny2=1(mn0)。由于点P(3，)、Q(-，5 )位于双曲线上，所以解开求出的双曲方程式为-=1

10、。设跟踪训练1解(1)双曲标准方程式为-=1(a0，b0 )，c=，b2=c2-a2=6-a2。从题意来看。求解a2=5或a2=30 (舍)。-y2=1.双曲线的标准方程式是-y2=1。(2)设双曲线方程式为mx2 ny2=1(mn0)。点P(4，-2)和点q (2，2 )在双曲线上，能解开(问题)双曲线的方程是-=1(3)椭圆=1的焦点坐标为F1(0，-3)、f2(0，3 )，双曲线的方程可以是-=1从题名的意思知道可以解开双曲线的方程式是-=1例2 (1)4a 2m (2)16(1)根据双曲线的定义|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a。另外|AF2| |BF2|=|A

11、B|，ABF1的周长是|AF1| |BF1| |AB|=4a 2|AB|=4a 2m。(2)从-=1得到了a=3、b=4、c=5。根据双曲线定义和侑弦定理|PF1|-|PF2|=6，pf1f2|2=|pf1|2| pf2|2| pf1|pf2| co s 60，以及102=(|PF1|-|PF2|)2 |PF1|PF2|，|PF1|PF2|=64，sf1pf2=|pf1|pf2| f1pf 2=64=16。补充探究从双曲方程式可以知道a=3、b=4、c=5，根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a=6，|PF1|2 |PF2|2-2|PF1|PF2|=36.在RtF1PF2中，从拉链定理得

12、到了| pf1|2| pf2|2=|f1f2|2=(2c )2=100 .将代入中，|PF1|PF2|=32，SF1PF2=|PF1|PF2|=16。跟踪训练2将双曲线的另一焦点设为F2、将PF2连接到一起，并且ON是三角形PF1F2的中心二进制位线打开|=|pf2|，|PF1|-|PF2|=8，|PF1|=10，|PF2|=2或18，|打开|=|PF2|=1或9。例3 x2-=1(x-1)如解析图所示，使动圆m和圆C1及圆C2分别与点a和点b外接，根据两圆外接的条件|MC1|-|AC1|=|MA|、|MC2|-|BC2|=|MB|.|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|，即|MC2|

13、-|MC1|=2，这表示动点m和两定点C2、C1的距离之差为常数2，为26=|C1C2|。根据双曲线的定义，动点m的轨迹是双曲线的左分支(点m和C2的距离大，与C1的距离小)，在此，如果a=1，c=3，则设b2=8，点m的坐标为(x，y )，其轨迹方程式为x2-。跟踪训练3解由正弦定理得到sin A=、sin B=、sin C=(R为ABC的外切圆半径)。因为二合一c=二合一b，2a c=2b，即b-a=，因此|CA|-|CB|=|AB|=2|AB|。从双曲线的定义可以看出，点c的轨迹是双曲线的右分支(和x轴的升交点除外)。因为a=、c=2，b2=c2-a2=6，即，求出轨迹方程式为-=1(x ) .本堂训练一. 1.D 2.C 3.D 4.A5 .从解(1)问题得知，a=3，c=4，从c2=a2 b2开始，b2=c2-a2=42-32=7。双曲线的焦点在x轴上因此求出