π的计算ppt课件.ppt

1、 圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3.1605）作为的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求的努力。,的计算,1,古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法, 概率方法 数值积分方法,2,古典方法,用什么方法来计 算的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。,6边形,12边形,24边形,圆,3, 阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切96边形夹逼的方法证明了,由 和 导出, 公元5世纪，祖冲之指出,比西方得

2、到同样结果几乎早了1000年,4, 十五世纪中叶，阿尔卡西给出的16位小数，打破了祖冲之的纪录, 1579年,韦达证明, 1630年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了的第39位小数,5,分析方法,从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求近似值的实例。,6,取,取, 1656年，沃里斯(Wallis)证明,7, 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有,当,8,取,取,9, 在中学数学中证明过下面的等式,10, 麦琴(Machin)给出,(Machin公式),11,其它方法,除用古典方法与分析方

3、法求的近似值以外，还有人用其他方法来求的近似值。这里我们将介绍两种方法：,概率方法 数值积分方法,12, 概率方法1,取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整 数n，重复n次，每次独立地从 （0，1）中随机地取一对 数x和y ，分别检验x2+y21是否成立。 设n次试验中等式成立的共有m次，令4m/n。,13, 概率方法2利用葡丰（Buffon）投针问题,葡丰（Buffon）投针问题：平面上画有等距离的一族平行线，平行线间的距离为a（a0），向平面任意投掷一枚长为l（l a）的针，求针与平行线相交的概率。,Born: 7 Sept 1707 in Montbard, Cte dOr, Fr

4、anceDied: 16 April 1788 in Paris, France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,14,解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，以表示针与此直线间的交角，易知 0 xa/2 ， 0 由这两式可以确定xo 平面上的一个矩形D 。,15,x,由0 xa/2 ， 0 可以确定xo 平面上的一个矩形D 。这时为了针与平行线相交，其充要条件是,这个不等式表示的区域是图中的曲边梯形部分。,16,如果l ，a为已知，则以 值代入上式即可计算得P（A）的值。 反过来，如果已知P（A）的值，也可以利用上式去求 ，而关于P（A）的值，可以用频率取近似，如果投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率为n/N，于是,17,历史上有一些学者亲自做过这个试验，下表记录了他们的结果（把a折算为单位长）：,18,这个方法是非常奇妙的：只要设计一个试验，使一个事件的概率与某一个未知数有关，然后通过重复试验，以频率近似概率，就可以求得未知数的近似解。 当然试验的次数要相当多，否则不足以说明问题，所以是够麻烦的。 随着计