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文档简介
1、高三数学(理)一轮复习 教案 第六编 数列 总第26期6.1 数列的概念及简单表示法基础自测1.下列对数列的理解有四种:数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数;数列的项数是有限的;数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是 (填序号).答案 2.设an=-n2+10n+11,则数列an从首项到第 项的和最大.答案 10或113.(2008安徽文,15)在数列an中,an=4n-,a1+a2+an=an2+bn,nN*,其中a、b为常数,则ab= .答案 -14.已知数列an的通项公式是an=则a2a3= .答案 205.(
2、2008 北京理,6)已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= .答案 -30例题精讲例1 写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,; (2),;(3)-1,-,-,; (4),-1,-,-,;(5)3,33,333,3 333,.解 (1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,所以an=.(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为
3、2+1,所以an=(-1)n.也可写为an=.(4)偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1、2两项可改写为,-,所以an=(-1)n+1.(5)将数列各项改写为,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an=(10n-1).例2 已知数列的通项公式为an=.(1)0.98是不是它的项? (2)判断此数列的增减性.解 (1)假设0.98是它的项,则存在正整数n,满足=0.98,n2=0.98
4、n2+0.98.n=7时成立,0.98是它的项.(2)an+1-an=0.此数列为递增数列.例3、已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2),a1=,求an.解 当n2时,an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,即-=2, 数列是公差为2的等差数列.又S1=a1=,=2,=2+(n-1)2=2n,Sn=当n2时,an=-2SnSn-1=-2=-, an= 巩固练习 1.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1), (2),2,8,(3)5,55,555,5 555,55 555, (4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,(5)1,3,7,
5、15,31,解(1)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解成13,35,57,79,911,每一项都是两个相邻奇数的乘积,经过组合,则所求数列的通项公式an=.(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察:,可得通项公式an=.(3)联想=10n-1,则an=(10n-1),即an= (10n-1).(4)数列的各项都具有周期性,联想基本数列1,0,-1,0,则an=5sin.(5)1=2-1,3=22-1,7=23-1,an=2n-1,故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f(x)=2x-2-x,数列an满足f(log2an)=-2n.(1
6、)求数列an的通项公式;(2)求证:数列an是递减数列.(1)解 f(x)=2x-2-x,f(log2an)=2-2=-2n,即an-=-2n.a+2nan-1=0.an=,又an0,an=-n.(2)证明 an0,且an=-n,=1.an+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中,Sn表示前n项和且2=an+1,求an.解 2=an+1,Sn=(a+2an+1),Sn-1=(a+2an-1+1),当n2时,an=Sn-Sn-1=(a-a)+2(an-an-1),整理可得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,an0,an-an-1=2,当n=1时,a1=1,an是以1为首项
7、,2为公差的等差数列.an=2n-1 (nN*).回顾总结 知识方法思想课后练习 一、填空题1.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的第100项是 .答案 142.数列an中,a1=1,对于所有的n2,nN*都有a1a2a3an=n2,则a3+a5= .答案 3.数列-1,,-,的一个通项公式是 .答案 an=(-1)n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.(用含n的代数式表示)答案 4n+85.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k= .答案 86.若数列an的通项公式an=,记f(n)=2(1
8、-a1)(1-a2)(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)= (用含n的代数式表示).答案 7.(2008沈阳模拟)数列an满足an+1=,a1=,则数列的第2 008项为 .答案 8.已知数列an中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列an的一个通项公式an= .答案 n二、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn,满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解:Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2),an的通项公式为an=10
9、.已知数列an中,a1=1,前n项和为Sn,对任意的n2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.(1)求a2、a3、a4的值;(2)求通项公式an.解 (1)当n2时,3Sn-4,an,2-成等差数列,2an=3Sn-4+2-Sn-1,an=3Sn-4(n2).由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,a2=,a3=3-4,a3=-,a4=3-4,a4=.a2=,a3=-,a4=.(2)当n2时,an=3Sn-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an,=-,a2,a3,an成等比数列,an=a2qn-2=-,an=.11.在数列an中,a1=,an=1-(n2,nN*),数列an的前
10、n项和为Sn.(1)求证:an+3=an;(2)求a2 008.(1)证明 an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.an+3=an.(2)解 由(1)知数列an的周期T=3, a1=,a2=-1,a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=.a2 008=.12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (xR)同时满足:不等式f(x)0的解集有且只有一个元素;在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f(n).(1)求函数f(x)的表达式;(2)求数列an的通项公式.解(1)f(x)0的解集有且只有一个元素,=a2-4a=0a=0或a=4,当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成
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