高三数学一轮 4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切导学案 理 北师大版

1、4.5两角和差的正弦、侑弦、相切2014高考会就这样：1.用两角和差的正弦、侑弦、正切公式进行三角变换2 .利用三角变换探讨三角函数的图像和性质复习备注必须这样做1 .记住差式、倍方式，把握式的特征2 .运用两角和差的正弦、侑弦、正切式进行三角变换，三角变换中的角变换技术是解题的关键1 .两角和差的侑弦、正弦、正切公式cos (-)=cos- cos合金化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物化合物cos ()等于cos _cos _-合金_合金_指示符号(-)=指示符号(-)。接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式

2、接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触式接触tan(-)=(T-)tan( )=(T )2 .二倍方式二合二=二合一。cos 2=cos 2-合金2=2c合金2-1=1- 2合金2。碳- 2=。3 .要在正确熟练记住公式的基础上，运用公式解决问题。 例如，公式的使用、逆用和变形用等。 例如，T可以变形其中，tan tan =tan()(1tan_tan_)，天然气，天然气，天然气。可以将函数f()=acos bsin (a，b是常数)设定为f()=sin( )或f()=cos(-)。难点原本疑点清源三角变换中的“三变”(

3、1)变角：目的是联系问题设定条件和与结论相关的角，其方法通常为“联合制”(2)变名：通过变换函数名达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”，“升幂和降幂”等(3)变化：根据公式的结构特征进行化学基变形，接近某个公式或者期望的目标。 其方法通常有“常数置换”、“逆用变用式”、“通分约分”、“分解和组合”、“处方和平方”等1 .已知的sin( )=、sin(-)=-的值是答案分析结果为： sin( )=sin cos cos sin =、其中，sin(-)=sin cos -cos sin =-，其中，sin cos =、cos sin =、所以=。2 .函数f(x)=2sin x(sin

4、x cos x )的单调递增区间是：答案(k-z )解析f(x)=2sin2x 2sin xcos x=2合2 x=1个合2 x-cos2x=sin 1，从2k2x- 2k，k-z开始，得到kx k、k-z。所以求出的区间是(k-z )。3 .如果以(2012江苏)为锐角，cos=，则sin的值为答案分析-为锐角且cos=、sin=。sin=sin=二合二合二=简单-=-=-=。如果=，则tan 2等于()A.- B. C.- D答案b解析除=、等式左边分子、分母和cos 而得到，求解=、tan =-3。二氧化碳=。假设(2011辽宁) sin()=的话，sin 2就等于()A.- B.- C

5、. D答案a解析sin()=(sin cos )=、将上式的两边平方，得到(1 sin 2)=、sin 2=-。问题型一三角函数公式的简化评价问题例1 (1)简化：(2)评估价值： 2合50合10 (1天10 ) 思考启发：切弦角之间的联系和转换留心解(1)=。(2)原式=sin 80=cos 10=2合并50 cos 10合并10 cos (60-10 ) 二合一(五十十)=二=。(1)探讨三角函数式提高的化简单按照“三见”原则，看角、二见名、三见式的结构和特点(2)对于求出所给角值的问题，所给角大多是非特殊角，解决这种问题的基本思维方法如下形成特殊角的三角函数的值作为正、负相消的项，消除评

6、价将分子、分母的出现公约数化约做评估ABC中，内角a、b、c为等差数列时谭滩的值是.答案分析结果为：三个内角a、b、c为等差数列，且A B C=，A C=、=、tan=、这就是为什么=坦坦坦坦坦=谭谭=。问题型二三角函数的与角评价和与值求角问题已知求出例2(1)0、且cos=-、sin=、cos( )的值。已知(2)、(0，)，求出tan(-)=、tan =-、2的值。思考启发： (1)分割角：=-，利用平方关系分别求各角的正弦、侑弦(2)2-= (-): =(-) 。解(1)0，-、-、cos=，sin=、cos=操作系统=coscos收入=，cos( )=2cos2-1=2-1=-。tan

7、=tan (-)=0，0，另外，tan 2=0，02，tan(2-)=1。tan =-0，、-2-0、2-=-。(2)首先求出tan =tan(-) 、tan 的值，然后求出tan 2的值知道正、侑弦函数值，选择正弦或者侑弦函数的角的范围(4)解决此类问题的一般程序：求角的某三角函数的值确定角的范围根据角的范围写出求出的角已知求出cos =、cos(-)=、且0、。解0，0-。另外，cos(-)=、cos =、0，sin =，sin(-)=，cos =cos-(-)=coscos (-)合金合金(-)=。0，=。问题型三角变换的简单应用已知例子f(x)=sin2x-2sinsin。如果tan

8、=2，则获得f()的值。(2)如果是x -，则求出f(x )的可取值的范围。思考启发： (1)将简并性f(x )化，从tan =2代入求出f()。 以形式(f(x)=Asin(x ) b获得f(x )的可能值的范围。求解(1) f (x )=(sin2x合金x ) 2合金电脑操作系统=sin 2x sin=(二合二x -二合二x )二合二x=(sin 2x cos 2x )。从tan =2到sin 2=。cos 2=-。因此，f()=(sin 2 cos 2)=。从(1)得到的f(x)=(sin 2x cos 2x )=正弦。从x得到2 x。因此-sin1，0f (x )，因此，f(x )的可

9、取值的范围(1)简化1)f(x )是解题的关键，在本问题中巧妙运用“1”的置换技术，将sin 2cos 2化成为正切tan ，为第(1)个问题开辟道路。(2)通过使波形像y=asin x bcos x那样y=sin(x )，能够进一步研究函数的周期、单调性、最大值和对称性。已知的函数f(x)=sin 2sin2 (xR )。(1)求函数f(x )的最小正周期(2)求函数f(x )取最大值时的x的集合。因为解(f(x)=sin 1-cos 2=2合一操作系统1=2合1=2合1，设f(x )的最小正周期T=。如果2)f(x )取最大值，则sin=1，此时为2x-=2k (kZ )，即x=k (kZ

10、 )，求出的x的集合是x|x=k，kZ。利用三角变换研究三角函数的性质典型示例： (12点) (2011北京牌)已知函数f(x)=4cos xsin-1。(1)求1)f(x )的最小正周期求出(2)区间中f(x )的最大值和最小值。审查问题的视点(1)首先形成y=Asin(x )那样的形状，从T=求出。 (2)从x -求x 的范围，求最大值。规范解答因为解(f(x)=4cos xsin-1 )=4cos x-1=sin 2x 2cos2x-1=sin 2x cos 2x=2sin，4分因此，f(x )的最小正周期为.6点(2)-x、所以2 x. 8分于是，在2x=即x=时，f(x )取得最大值

11、2。 十分在2x=-、即x=-的情况下，f(x )取得最小值-1.12点使第一个一头地： f(x )成为asin x bcos x的形状。第二步：结构f(x)=(sin x cos x )。第三步：角公式和反用f(x)=sin(x ) (其中是辅助角)。第四步：利用f(x)=sin(x )研究三角函数的性质。第五步：回顾，看关键、容易出错和解答规范(1)在本问题的解法中，使用二倍角的正、侑弦式，导入辅助角，技巧性强。 应强调的是辅助角式asin bcos =sin( ) (其中tan =)(2)本问题的容易出错的地方是，不能考虑辅助角的导入和错误的导入方法和技巧1 .巧妙地用公式变形：和差角公

12、式变形： tan xtan y=tan(xy)(1tan xtan y )；倍角公式变形：幂公式cos2=、sin2=；处方变形：1sin=2、1 cos=2cos2、1-cos=2sin2。2 .用辅助角公式求出最大值、单调区间、周期。 在y=asin bcos =sin( ) (其中tan =)中有一个|y|。3 .重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”的变角：对角的分割必须尽量为同名、同角、特殊角的变名：尽量减少函数名的公式的变形一般需要理化、整式化、降低次数等.评价、简化4 .确定已知和函数值、单角或和角三角函数值的技巧：对已知条件的和角进行加减或二倍角，然后进行加减

13、，观察是否是常数角，如果是常数角，可以从此处开始，在该方程的两侧确定某些函数值，可以简化所要求的复杂问题5 .熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节重视公式的导出，熟悉三角公式的代数结构，进一步把握公式中的角和函数名的特征，体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式的应用是重点，倍角或半角有关的利用倍角公式及其变形失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，注意和、差、倍角的相对性，注意升级、降级的运用，注意“1”的各种灵活性在(0，)的范围内，sin( )=对应角 不是唯一的。3 .三角评估时，多先估计角度范围再进行做评估a组专业基础培训(时间： 35分，满分： 57分)一、选择

14、题(各问题5分，修订20分)如果(2012江西) tan =4，则sin 2等于()甲乙丙丁。答案d分析是tan =4，正交cos=、二合二=二合二cos=2=。2. (2012大纲全国)为第二象限角，如果sin cos =，则cos 2等于()A.- B.- C. D答案a解析sin cos =，(sin cos )2=，2sin cos =-，即sin 2=-。另外，是第二象限角，sin cos =0，接下来是2 k2 k(k-z )，四千二四千(k-z )，2是第三限角，cos 2=-=-。方法2为sin cos =、两侧的平方是12合cos=，2合成cos=-。是第二象限角，sin 0、cos 0，sin -cos =。由得cos 2=2co