课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理学案理

1、3.4定积分与微积分基本定理考纲展示1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义考点1定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个_，这个_叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx.答案：常数常数2定积分的相关概念在f(x)dx中，_与_分别叫做积分下限与积分上限，区间_叫做积分区间，函数_叫做被积函数，_叫做积分变量，_叫做被积式答案：

2、aba，bf(x)xf(x)dx3定积分的性质(1)kf(x)dx_(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dx_；(3)_f(x)dxf(x)dx(其中ac0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dxk3，即k38，k2.点石成金1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积2求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线ysin x，ycos x

3、与直线x0，x所围成的平面图形的面积是()A1B C.D22答案：D解析：由sin xcos x，解得x，故图中阴影部分的面积S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x)sin cos cos 022.(本题也可利用图形的对称性求解)22017山东日照模拟如图，由两条曲线yx2，yx2及直线y1所围成的平面图形的面积为_答案：解析：由 得交点A(1，1)，B(1，1)由 得交点C(2，1)，D(2，1)面积S22.考点3定积分在物理中的应用典题32017湖北武汉调研一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t

4、)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2答案C解析令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽车行驶距离sdt282425ln 5425ln 5(m)点石成金定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处

5、运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_焦答案：36解析：由题意知，力F(x)所做的功为WF(x)dx5dx(3x4)dx521036(焦)方法技巧1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(3)利用定积分的几何意义求定积分2求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和(4)计算定积分易错防范1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝

6、对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷 真题演练集训 12014陕西卷定积分(2xex)dx的值为()Ae2Be1Ce De1答案：C解析：(2xex)dx(x2ex) (1e)(0e0)e，故选C.22014山东卷直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2B4C2D4答案：D解析：由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线

7、y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4xx3)dx4.32015天津卷曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_答案：解析：如图，阴影部分的面积即为所求由得A(1,1)故所求面积为S(xx2)dx|.42015湖南卷(x1)dx_.答案：0解析：(x1)dx(22)00.52015陕西卷如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系由抛物线过点(0，2)，(5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为yx22，抛物线与x轴围成的面积S15dx，梯形面积S216.最大流量比为S2S11.2. 课外拓展阅读 探究定积分与不等式交汇问题典例2016湖南长沙模拟如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)sin x；x(0，)及直线xa，a(0，)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是()A.B C.D审题视角先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计