高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 理 苏教版

1、6.2等差数列及其前n项和,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列_ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_ . 3.等差中项 由三个数a，a，b组成的等差数列可以看成最简单的 等差数列.这时，a叫做a与b的 .,知识梳理,从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都,等于同一个常数,公差,d,ana1,(n1)d,等差中项,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mn*). (

2、2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则 . (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为 的等差数列. (6)数列sm，s2msm，s3ms2m，构成等差数列.,(nm)d,akalaman,2d,md,5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和sn 或sn . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列an是等差数列snan2bn(a，b为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差

3、数列an中，a10，d0，则sn存在最 值.,大,小,等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法：2an1anan2 (nn*)an是等差数列. (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式：snan2bn(a，b为常数)an是等差数列.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.() (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.() (4)已知等差数列an的通项公

4、式an32n，则它的公差为2.(),考点自测,1.(教材改编)设sn为等差数列an的前n项和，若a33，s9s627， 则该数列的首项a1_.,答案,解析,2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ， 则这五个数的积为_.,设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d， 由已知条件得,答案,解析,3.(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100_.,得a53，而a108，因此公差d 1， a100a1090d98.,答案,解析,98,4.设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7_.,a3a4a53a4

5、12，a44， a1a2a77a428.,答案,解析,28,5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.,因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80. 又a7a10a8a90，所以a90. 故当n8时，其前n项和最大.,答案,解析,8,题型分类深度剖析,题型一等差数列基本量的运算 例1(1)(2016北京)已知an为等差数列，sn为其前n项和.若a16，a3a50，则s6_.,a3a52a40，a40. 又a16，a4a13d0，d2.,答案,解析,6,(2)(2016徐州、宿迁模拟)已知公差为d的等差数列an的前n项和为sn， 若 3，

6、则 的值为_.,答案,解析,等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.,思维升华,跟踪训练1(2016江苏)已知an是等差数列，sn是其前n项和.若a1 3，s510，则a9的值是_.,设等差数列an的公差为d，,答案,解析,20,题型二等差数列的判定与证明 例2已知数列an中，a1 ，an2 (n2，nn*)，数列bn满足bn (nn*). (1)求证：数列bn是等差数

7、列；,因为an2 (n2，nn*)， bn (nn*)，,证明,所以数列bn是以 为首项，1为公差的等差数列.,(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.,由(1)知bnn ， 所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.,解答,引申探究 例2中，若条件变为a1 ，nan1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式.,解答,等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.

8、(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法：得出snan2bn后，根据sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.,思维升华,跟踪训练2(1)在数列an中，若a11，a2 (nn*)， 则该数列的通项为_.,答案,解析,(2)已知等差数列an中，a4a610，若前5项的和s55，则其公差为_.,因为a4a610，所以2a510， 则a55，又s5 5a35， 故a31，从而2da5a34，故d2.,答案,解析,2,由an22an1an2， 得an2an1an1an2， 即bn1bn2. 又b

9、1a2a11， 所以bn是首项为1，公差为2的等差数列.,(3)数列an满足a11，a22，an22an1an2. 设bnan1an，证明bn是等差数列；,证明,由得bn12(n1)2n1， 即an1an2n1. 于是 1(ak1ak) 1(2k1)， 所以an1a1n2，即an1n2a1. 又a11，所以an的通项公式为ann22n2.,求an的通项公式.,解答,题型三等差数列性质的应用 命题点1等差数列项的性质 例3(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.,因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，所以

10、a55，故a2a82a510.,答案,解析,10,(2)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_.,因为an，bn都是等差数列， 所以2a3a1a5，2b8b10b6， 所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)， 即2159(a5b6)， 解得a5b621.,答案,解析,21,命题点2等差数列前n项和的性质 例4(1)设等差数列an的前n项和为sn，且s312，s945，则s12_.,因为an是等差数列，所以s3，s6s3，s9s6，s12s9成等差数列，所以2(s6s3)s3(s9s6)， 即2(s612)12(45s6)，解得s63. 又2(s9s6)(s

11、6s3)(s12s9)， 即2(453)(312)(s1245)，解得s12114.,答案,解析,114,(2)在等差数列an中，a12 018，其前n项和为sn，若 2，则s2 018的值为_.,由题意知，数列 为等差数列，其公差为1， 2 0182 0171. s2 0182 018.,答案,解析,2 018,等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)d d(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则 s2nn(a1a2n)n(anan1)； s2n1(2n1)an.,思

12、维升华,跟踪训练3(1)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11_.,答案,解析,88,(2)等差数列an与bn的前n项和分别为sn和tn，若 ，则 _.,答案,解析,考点分析公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大. 典例1(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和s10_。,答案,解析,等差数列的前n项和及其最值,高频小考点6,45,由题意得a3a89，,(2)在等差数列an中，s10100，s10010，则s110_.,答案,解析,110,方法一设数列an的首项为a1，公差为d，,

13、所以a11a1002，,典例2在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值.,规范解答,解a120，s10s15，,即当n12时，an0，当n14时，an0. 当n12或n13时，sn取得最大值，,得a130.,nn*，当n12或n13时，sn有最大值， 且最大值为s12s13130. 方法三由s10s15，得a11a12a13a14a150. 5a130，即a130. 当n12或n13时，sn有最大值， 且最大值为s12s13130.,课时作业,1.(教材改编)在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.,an是等差数列

14、，设公差为d， 3da5a26. 则a6a33d7613.,答案,解析,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(教材改编)设sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则s7_.,答案,解析,49,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nn*)，若b32，b1012，则a8_.,设bn的公差为d， b10b37d12(2)14，d2. b32，b1b32d246. b1b2b77b1 7(6)2120. 又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a

15、830， a83.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.在等差数列an中，a9 a126，则数列an的前11项和s11_.,答案,解析,方法一由a18d (a111d)6， 得a15d12，a1125d. 又s1111a1 11a155d11(125d)55d132. 方法二由a9 a126，得2a9a1212. 由等差数列的性质得，a6a12a1212，a612，,132,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.已知数列an满足an1an ，且a15，设an的前n项和为sn，则使得sn取得最大值的序号n的值为_.

16、,答案,解析,由题意可知数列an是首项为5，公差为 的等差数列，,该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项， 所以sn取得最大值时，n7或n8.,7或8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016南通模拟)已知等差数列an满足a23，snsn351(n3)，sn100，则n的值为_.,答案,解析,由snsn351，得an2an1an51， 所以an117，又a23，,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(2015安徽)已知数列an中，a11，anan1 (n2)，则数列an的前9项和等于_.,答案,解析

17、,由题意知数列an是以1为首项，以 为公差的等差数列，,27,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.设数列an的通项公式为an2n10(nn*)，则|a1|a2|a15|_.,由an2n10(nn*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100，得n5， 当n5时，an0，当n5时，an0， |a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15) 20110130.,答案,解析,130,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.设等差数

18、列an，bn的前n项和分别为sn，tn，若对任意自然数n都 有 的值为_.,答案,解析,an，bn为等差数列，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.(2016苏州暑假测试) 已知数列an满足a11，a2 ，且an(an1 an1)2an1an1(n2)，则a2 016_.,答案,解析,又a11，a2 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.若数列an的前n项和为sn，且满足an2snsn10(n2)，a1 . (1)求证：数列 是等差数列；,证明,当n2时，由an2snsn10，

19、,得snsn12snsn1，,故 是首项为2，公差为2的等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)求数列an的通项公式.,解答,当n2时，,当n1时，a1 不适合上式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*13.已知数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且满足2snan4(nn*). (1)求证：数列an为等差数列；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当n1时，有2a1 14，,即 2a130，,当n2时，有2sn1 n5，,又2sn n4，,因此an1an1或an1an1. 若an1an1，则anan11. 而a13， 所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾， 所以an1an1，即anan11， 因此数列an是首项为3，公差为1的等差数列.,解得a13(a11舍去).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)求数列an的通项公式.,解答,由(1)知a13，d1， 所以数列an的通项