动力系统形态及其分析

1、第二章 动力系统形态及其分析,2.1 平衡态和相平面 2.2 几种常见的平衡态 2.3 吸引子 2.4 多个吸引子与分型线 2.5 同宿轨道、同宿点 2.6 结构稳定性 2.7 四种吸引子的功率谱特性 2.8 受驱动单摆的动力学形态,引言,牛顿力学所描述的世界是一幅静态的、简单的、可逆的、确定性的、永恒不变的自然图景。 长期以来，人们习惯于研究力学中诸如常规的、渐变的或周期性的、稳定的平衡和运动问题。 把不规则的、突变的或非周期性的、不稳定的平衡和运动问题排除在外。 然而人们认识到，确定论系统只要稍微出现上述的复杂现象，就会表现出随机性行为，牛顿力学本身就具有内在随机性。,2.1 平衡态和相平

2、面,下面研究非线性动力系统，即 （3.1.1） 相：表征系统任一时刻t的运动状态 相平面：平面 令 ，则（3.1.1）可化为常微分方程组,相轨迹的画法：等倾线法,设二阶系统一般形式的微分方程如下:,式(11)又可化为:,正是相轨迹方程的导函数, 当,取不同值时,的值也不同, 即相轨迹上各点的曲线斜率不一样,但对于一个微分方程, 当初始条件不同时, 其有一簇相 轨迹, 而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得 一条曲线, 这条曲线叫等倾线. 从数学角度分析, 有:,令,为某一常数, 则,是关于,的方程.,当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲,线时, 各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于

3、,例: 设一二阶线性系统的齐次微分方程为:,即, 此系统在初始条件激励下呈衰减振荡,过程. 由式(13)可得:,令, 得等倾线方程为:,若令, 则等倾线如下图所示.,如,则,等倾线如图中蓝线.,依此类推, 取不同的,值, 由,式(15)画出足够密的一簇等倾 线, 然后按各条等倾线所表示,的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示.,上式更为一般的形式为 自治系统或自治方程,3.2 几种常见的平衡态,设（3.1.6）式的非零特解为 则 根据行列式的运算，有,三维自治系统 吸引子：雅克比矩阵的三个特征值的实部均为负值的平衡点。 排斥子：雅克比矩阵的三个特征值的实部均为正

4、值的平衡点。 鞍点：雅克比矩阵的三个特征值的实部有正有负的平衡点。,2.3 吸引子,吸引子是系统中一个特殊的平衡态，它存在于耗散系统中。 耗散系统：与外界有物质合能量交换、开放的、远离平衡态的系统。 下面考虑由N个一阶微分方程 （3.3.1） 描述的运动，F(x)不明显依赖于t。 以x为坐标轴构成了系统的相空间 相空间的一个点代表系统的一个状态。,守恒系统的相空间体积在运动过程 中是保持不变的，因而不存在吸引子。而耗散系统相空间体积在运动过程中是不断收缩的。,吸引子分类： 1）定常吸引子 如二维空间中稳定的结点和焦点。,吸引子定义：相空间的一个子集A称为吸引子，如果它同时具有如下性质： （1）

5、A对于(3.3.1)式的流是不变的； （2）存在一个A的邻域，它在（3.3.1）式所确定的流动下收缩至A； （3）在A上的流是循环的 （4）A不能分解为两个不重叠的部分。 吸引子的N维体积为零，则吸引子的维数要低于相空间的维数。 零维时，稳定定态解是最简单的吸引子； 当稳态定态解通过Hop分岔成为极限环，便是一位吸引子 平庸吸引子：具有整数维数； 奇怪吸引子：具有非整数维数。,2）周期吸引子：周期为有理数 3）拟周期吸引子：周期为无理数 4）混沌吸引子：在相空间中具有分形维数的吸引子。,3.4 多个吸引子与分型线,一维时，常常有两个吸引点的盆被一个排斥点分开 二维时由磁摆产生的两个吸引焦点盆,分型线,3.5 同宿轨道、同宿点,耗散系统中，存在吸引子、排斥子和鞍点，代表系统的运动轨线处于不同位置时的平衡态。 异宿轨道：从一个鞍点到另一个鞍点的轨线 同宿轨道：当两个鞍点合为一个鞍点时，从一个鞍点到鞍点本身的轨线。,3.6 结构稳定性,