胡海岩+机械振动基础课后习题解答--第1章习题

1、第一章习题第一章习题 P57.1-1: , 0.05m, 0.1m0.2m/s0.08m/s一物体作简谐振动 当它通过距平衡位置为处时的速度分别为和。 求其振动周期、振幅和最大速度。 ( )sin()u tat ( )cos()u tat 两边平方，相加 2222 ( )( )au tu t 代入已知条件 2222 2222 0.05 0.2 0.1 0.08 a a 解出 0.1069, =2.1167a 2 /2 /2.11672.9684T 振动周期： 0.1069a 振幅： 0.1069 2.11670.2263a最大速度= P57.1-2: Hz 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂

2、方向作频率为5的简谐振动时， 要使物体不跳离平台， 对台面的振幅有何限制？ mu m mg N 2 ( )( )u tu t ( )mNmgmu t质量 运动方程： ( )Nmu tmg : 0N 不跳离条件 ( )0mu tmg 2 ( ) g u t 2 sin() g at ( ) sin()0, t如果则上式恒成立 222 9.8 ( ) sin()0, 9.9mm sin()(25) gg ta t 如果则上式变为 00 (30 )(90 ) 121 P57.1-3: ( )5( )7( ), ( )( ) jtjt u teu teu tu tu t 求简谐位移与的合成运动并求与的

3、相位差。 0000 0 (30 )(90 )3090 12 00(65.5 ) ( )( )( )57(57) (5cos30(5sin307)10.44 jtjtjjj t j tjt u tu tu teeeee jee 000 1 ( )( ) 65.53035.5u tu t与的相位差： 12 P57.1-4: ( )5cos40 , ( )3cos39 u tt u tt求两简谐运动的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。 4039 12 39 39 ( )39 ( )( )( )Re53 Re(53) Re(5cos3)5sin ) Re ( ) ( )cos(39(

4、) jtjt jtjt jt jtjt u tu tu tee ee tjt e u t ee u ttt 22 ( )(5cos3)(5sin )3430cosu tttt 5sin ( )arctan() 5cos3 t t t 21 | |4039| 1 rad/s拍频 21 22 2 (s) |4039| 拍周期 max 34308u min 34302u 55 123 P57.1-5: 2.5kg, 2 10 N/m, 3 10 N/m mkkk 写出图示系统的等效刚度的表达式。 当时， 求系统的固有频率。 123 kkk分析表明： 和 并联， 之后与 串联 1212eq kkkkk

5、和 并联后的等效刚度： 261.86 rad/s eq n k m 系统的固有频率： 3 123 3123 () eq eq eq k k kk k k kkkkk 整个系统的等效刚度： P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。 11 kx 22 kx f a b 1 x 2 x 12 b xa x ab o 1122 fkxkx垂直方向力平衡： 1122 o kxakx b对 力矩平衡： 12 eqeq b xa x kfk ab 设等效刚度系数为， 则： 2 22 21 () eq ab k ab kk 由以上各式得到： 625 P57.1-7: 4m,1.96 10 Nm4.9

6、 10 N/m, 400kg lEIkm图中简支梁长 抗弯刚度, 且。 分别求图示两种系统的固有频率。 任意截面处的弯矩： F F 2 F 2 x w ( ) 22 Fl M xxFx 挠曲线微分方程： 2 2 ( ) 22 Fl xFx d wM x dxEIEI 积分： 3 3 1 ( ) 1262 Fxl w xxCxD EI 边界条件： ( )( )0w 0w l 22 2 2 ll x x l x l 0 x 当 当 32 3 13 ( ) 126248 Fxll w xxx EI F F 2 F 2 x w 33 48 ( /2) 48 beam FFEI k l Fw ll EI

7、 6 56 33 4848 1.96 10 4.9 101.96 10 (/) 4 eqbeam EI kkkkN m l 5 3.675 10 beam eq beam k k k kk 6 1.96 10 70(/ ) 400 eq n k rad s m 30.3(/ ) eq n k rad s m ( )a ( )b 32 3 13 ( ) 126248 Fxll w xxx EI 5 P58.1-8: 4 10 N/m, 100kg0.5m/s 钢索的刚度为绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降， 若钢索突然卡住， 求钢索内的最大张力。 n k m 系统固有频率： 0 (0)0, (

8、0)uuv初始条件： 22 00 00 () nn uvm auv k 振幅： 0 5 4 1000 9.80.5 1000 4 10 1.98 10 (N) Tmgka mgvmk 最大张力： P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动， 不计刚杆质量， 求其固有频率。 P58.1-12: l图示摆， 其转轴与铅垂方向成 角， 摆长， 质量不计。 求摆动固有频率。 4 12 n klmg ml 2 sin( ) sinmlmgl 2 sin( ) sin0mlmgl sin很小， 2 sin( )0mlmgl 2 sin( )sin( ) n mglg mll 2 22 (2) 4 l m

9、lmlkmgl sinmg P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。 (1) 对临界阻尼情形 000 ( )() nt n u tuuu t e 000 ( )() nt nn u tuuu t e 11 ( )0, ( )0u tu t越过平衡位置的条件： 00 0,0 uu 如果， 系统静止在平衡位置上。# 00 0,0uu 如果# ( )0u t 1 0t 10 ( )0u tu 经过平衡位置一次 00 0,0uu 如果# ( )0u t 1 t 为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置 00 0,0uu 如果# ( )0u

10、 t 0 1 00n u t uu 0 00 100 ( )0 n n u uu n u tuu e 经过平衡位置一次 33 P58.1-14: 10kg =0.01m20 6.4 10 m .6 10 m 20 m c s 一单自由度阻尼系统，时， 弹簧静伸长。自由振动个循环后， 振 幅从降至1。 求阻尼系数 及个循环内阻尼力所消耗的能量。 011 12 ln, ln, , ln n n AAA AAA 0101 12 ln()ln n nn AAAA n A AAA 0 1 ln2 n A nA 0 1 ln 2 n A nA 0 3 3 222ln() 106.4 109.8 ln()6

11、.91(Ns/m) 201.6 100.01 ssns Amggmg cmkmm nA 2222 00 3 23 2 11 20()() 22 10 9.8 (6.4 10 )(1.6 10 ) )0.19(NM) 2 0.01 nn s mg k AAAA 周阻尼器消耗的能量 1 23 P58.1-15: 1kg224N/m, 48Ns/m, 0.49m, /2, /4 mkcll llll 图示系统的刚杆质量不计， 。 求系统固有频率及阻尼比。 22 2 ()0 1644 llmgl mlck 224 0.49 1 9.8 7.14(rad/s) 44 1 0.49 n klmg ml 2

12、 2 2 48 16 0.21 1 9.8 16()16 1 (224) 2() 0.49 44 cl c mg klmgl m k ml l 1 2 22 21 1 2 P59.1-16: , , , 2, 2 2 d mT TfA uAu m TT ATT 图示系统的薄板质量为系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为在粘性液体中振 动周期为液体阻尼力可表示为其中为板的面积， 为粘性系数，为板 运动的速度。求证： 1 2 n T 2 2 22 1d n T 2 1 2 1 T T 2 1 2 2 1 T T 1 1 2 2 22 2 n A TcA mm m T 22 21 1 2 2 m TT

13、 ATT 0 P59.1-17: 17.5kg, 7000N/m, ( )52.5sin(1030 )N mk f tt 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为求该系统在零 初始条件下被简谐力激发的响应。 系统的运动方程： 0 ( )( )sin()mu tku tft 特解为：( )sin() d utBt 2 0 /()0.01 d Bfkm 响应： 43 P59.1-18: 100kg9 10 N/m2.4 10 Ns/m ( )90sin N (1) ; (2) ; ( nd kc f tt B 质量为的机器安装在刚度和阻尼系数的隔振 器上，受到铅垂方向激振力作用而上下振动。求 当

14、时的稳态振幅 振幅具有最大值时的激振频率 3) max(); dd BB与的比值 0 ( )( )( )sin()mu tcu tku tft 0 ( )( )( ) j t mu tcu tku tf e ()*( ) dd jtjj t dd u tB eB ee 稳态解： 0 2 d j d f B e kmjc 奇次方程通解： 12 ( )cossin nn u tatat7000/17.520(/ ) n rad s 12 ( )cossin0.01sin() nn u tatatt(0)0, (0)0uu 1 0.005a 2 0.0043a 响应： 0 ( )0.005cos0.

15、0043sin0.01sin(1030 ) nn u tttt 0 2 d j d f B e kmjc 2 000 2 2 2222 22 | ()()()(2) n d nn ffB B kmjc kmjc 0 0 f B k 其中： 3 00 4 90 1.25 10 (m) 222 0.4 9 10 d Bf B k (1) nd B求当 时的稳态振幅 (2) 求振幅具有最大值时的激振频率 (3) max() dd BB求与的比值 22 22 ()(2) nn 22 ; nn 令 22 ()4 nn 对 求导， 并令其等于零, 得到 2 (12) n = 4 22 9 10 12120

16、.424(rad/s) 100 n = 3 4 2.4 10 0.4 2 2 100 9 10 c mk 系统的阻尼比 2 0 2222 ()(2) n d nn B B 2 12 n = 0 2 max 21 d B B 222 222 2 (1)(2)max 1.36 (1)0.64 21 d d B B n 其中： P59.1-19: , d m 一质量为 的单自由度系统， 经试验测出其阻尼自由振动的频率为在简谐激振力作用 下位移共振的激励频率为 。 求系统的固有频率， 阻尼系数和振幅对数衰减率。 2 1 2 n 位移共振： 22 1 1 () 2 n 2 1 dn 22 1 () d

17、n 22 2 nd 系统固有频率： 2 22 22 1 () 2 d n d d 阻尼比： 22 22 22 22 2 22 2 2 n d d d d cm m m 阻尼系数： 2 2 2 21 1d 振幅对数衰减率： 6 P59.1-20: kg 3 10 N/m 20kg 0.01m. (1) (2) 1000rpm 一电机总质量为250， 由刚度为的弹簧支承， 限制其仅沿铅垂方向运动， 电机转子的不平衡质量为， 偏心距不计阻尼， 求 临界转速； 当转速为时， 受迫振动的振幅。 2 ( )( )sinMu tku tmet系统运动方程： * 0 ( )sinu tft特解： 2 2 0

18、222 n me me M f kM 2 * 22 ( )sin n me M u tt 稳态解： (1) 求临界转速 (2) 1000rpm 当转速为时， 受迫振动的振幅。 6 3 10 109.55(rad/s) 250 n k M 临界转速 n k M 其中： 22 0 262 20 0.01 (104.72) 0.0085(m) 3 10250 (104.72) me f kM 受迫振动振幅： 1000 2 1000(rpm)104.72 (rad/s) 60 P60.1-22: 2 nn m 图示系统中刚性杆质量不计， 写出运动微分方程。 并分别求出和 时质量 的线位移幅值。 222

19、 0 493sinmlclkllft 2 0 0 3 2sinsin nn f tBt ml 3 n k m 2 3 c km ()*( ) dd jtjj t dd teee 稳态解： 2 0 2 j t nn B e 0 0 3f B ml 0 22 2 d j d nn B e j 00 22 22 22 | 2 ()(2) d nn nn BB j n m当时质量 的线位移幅值： 00 1 22 22 | 4 ()(2) n n d nn Bfm ull ck /2 n m当时质量 的线位移幅值： 00 2/2 22 222 /2 4 | ()(2)81 64/() n n d nn

20、Bf ull kckm P60.1-23: 求图示系统的稳态响应。 ( )( )( ( )( )mu tku tc v tu t 0 ( )( )( )cosmu tku tcu tcvt 00 ( )( )( ) j tj t mu tku tcu tcveB e ()* ( ) dd jtjj t dd u tB eB ee 特解： 0 2 d j d B B e kmj c 00 2 222 ()() d BB B kmj c kmc 2 arctan d c mk * ( )cos() dd u tBt稳态响应： P60.1-24: , lhmk v 某路面沿长度方向可近似为正弦波,波

21、长为 ， 波峰高为 。 一汽车质量为减振板簧总刚度为 , 在 该路面上以速度 行驶。 不计阻尼， 求汽车铅垂振动的稳态响应和临界行驶速度。 v l u k m h x y 2 sinyhx l xvt 路面形状为： 运动方程为： ( )( ( )mu tk u ty 0 2 ( )( )sinsin v mu tku tkykhtft l 2 sin v yht l 0 2 , v fkh l * 0 2 ( )sin f u tt km 稳态解： 2 0km 2 lk v m 临界行驶速度： P60.1-25: 22kg, 3000rpm, 4 10% 一电机质量为转速为通过 个同样的弹簧对

22、称地支承在基础上。 预使传到 基础上的力为偏心质量惯性力的, 求每个弹簧的刚度系数。 2 ( )( )sin eq Mu tk u tmet * 0 ( )sinu tBt 2 0 2 eq me B kM 22 * 22 ( )sinsin() eqeq meme u ttt kMMk 2 2 2 0.1 eq eq me kme Mk 22 5 22 (100 ) 1.97 10 N/m 1111 eq M k 3000 2 100 60 5 4 1.97 10 4.94 10 (N/m) 44 eq k k 每个弹簧的刚度系数： P60.1-26: 15002000rpm, 90% 发动

23、机的工作转速为要隔离发动机引起的电子设备以上的振动，若 不计阻尼， 求隔振器在自重下的静变形。 隔振系统的固有频率： n s g 绝对运动传递率： 22 2 11 1 1 d n T 15002000(rpm)157.1209.4(rad/s) 222 111 (209.4)(157.1) 2 1 1 s d g T 222 111 111 (209.4)(157.1) s ddd ggg TTT 22 11 11 0.1(209.4)0.1(157.1) s gg 0.00250.0044 s 由以上两式得到： 3 1 P60.1-28: 60rpm 20kg, 3.5 10 N/m 200

24、Ns/m vmkk c 图示凸轮转速， 基础位移 是如图所示的锯齿波。 已知， ， 求系统的稳态响应。 顶杆的运动方程为： 0.025 , 0vttT T 0 1(Hz), 2 (rad/s)激励频率为则。 vfourier的级数为： 0 1 0.0251 ( )0.0125sin r v trt r 1 ( )( )( )( ( )( )mu tcu tku tk u tv t 振系的运动方程： 1 110 1 0.0251 ( )( )() ( )0.0125sin r k mu tcu tkk u tkrt r 振系的运动方程： 11 0 22 22 1 00 0.0250.0251 s

25、in sin() () (1)(2) r kk rr trt rr kk rr 对于 次谐波激励， 系统的稳态响应为： 1 0 22 0 2 tan 1 r r r 1 1 1 0.0125 0.0125 () k k kk 静态力引起的响应 1 0 22 22 1 1 00 0.02511 ( )1sin() () (1)(2) r r k u trt kk rrr 稳态响应： 稳态响应(代入数值后)： 2 22 1 11 ( )0.0125 1sin( 2) (1 0.113)0.033 r r u trt rrr 1 2 0.18 tan 0.1131 r r r 01 0 , n n

26、kk m 00 P60.1-29: (0), (0)uu uu单自由度无阻尼系统受图示力激励， 求系统在初始条件下的响应。 单自由度无阻尼系统的单位脉冲响应： 1 ( )sin, 0 n n h tt t m 0 001 1 0 ( ) 0 tt f tfttt tt 强迫函数： Duhamel,:利用积分得到系统的响应 1 (1) , :tt求时 系统的响应为自由响应 0 01 ( )cossin, 0 nn n u u tutttt 12 (2) , :ttt求时 系统的响应为 1 1 0000 001 0 ( )cossin0sin()cossin1 cos() tt nnnnnn t

27、nnn ufuf u tuttdtdutttt mk 2 (3) , :tt求时 系统的响应为 12 12 0000 0021 0 ( )cossin0sin()0cossincos()cos() ttt nnnnnnn tt nnn ufuf u tuttdtddutttttt mk 0 P60.1-30: ,a图示系统， 基础有阶跃加速度求系统的相对位移响应。 :m质量 的运动方程 ( )()()mu tk uvc uv ( )( )( ),: r u tu tv t令则得到相对运动方程 0 ( )( )( )( ) rrr mu tcu tku tmv tma :单自由度阻尼系统的单位脉冲响应函数 1 ( )sin, 0 nt d d h tett m :单自由度阻尼系统的自由振动解 00 0 ( )cossin nt n rdd d uu u teutt :零初始条件下的响应 ()()* 0 0 00 0 2 2 1 ( )sin()sin() 1cos() 1 nn n tt tt rdd dd t d n a u tmaetdetd m ae t :系统的相对位移响应 * ( )( )( ) rrr u tu tu t P60.1-31: 单自由度无阻尼系统的初始条件为零， 求