高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数（一）课件新人教A版 .pptx

1、1.3.2函数的极值与导数(一),第一章1.3导数在研究函数中的应用,学习目标,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考观察函数yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.,知识点一函数的极值点和极值,答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).,梳理(1)极小值点与极小值 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)

2、 ，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极小值点， 叫做函数yf(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b) ，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极大值点， 叫做函数yf(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 .,0,f(x)0,f(x)0,点a,f(a),0,f(x)0,f(x)0,点b,f(b),极值点,极值,(1)求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时， 如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f(x)

3、0，在x0的右侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是 .,知识点二函数极值的求法与步骤,极大值,极小值,(2)求可导函数f(x)的极值的步骤 确定函数的定义区间，求导数f(x)； 求方程 的根； 列表； 利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.,f(x)0,1.导数为0的点一定是极值点.() 2.函数的极大值一定大于极小值.() 3.函数yf(x)一定有极大值和极小值.() 4.极值点处的导数一定为0.(),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一求函数的极值点和极值,命题角度1不含参数的函数求极值 例1求下列函数的极值.,解答,解函数f(x)的定

4、义域为R.,令f(x)0，得x1或x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3； 当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.,解答,令f(x)0，解得xe. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f(x)0的根. (3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. (4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确

5、定一目了然.,跟踪训练1求下列函数的极值点和极值.,解答,解f(x)x22x3. 令f(x)0，得x11，x23， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且极大值f(1) 当x3时，函数有极小值，且极小值f(3)6.,(2)f(x)x2ex.,解答,解函数f(x)的定义域为R. f(x)2xexx2exx(2x)ex. 令f(x)0，得x0或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且极小值为f(0)0. 当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2)4e2.,解答,解f(x)x2(a2)x

6、2a24aex. 令f(x)0，解得x2a或xa2，,分以下两种情况讨论：,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a

7、)3ae2a.,反思与感悟讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.,解答,跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；,因而f(1)1，f(1)1. 所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即xy20.,解答,(2)求函数f(x)的极值.,当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0， 从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值. 综上，当a0时，

8、函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.,例3(1)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是 A.(，1) B.(0，)C.(0,1) D.(1,0),类型二利用函数的极值求参数,解析若a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D.,解析,答案,(2)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则a_，b_.,解析,答案,2,9,解析因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以

9、f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3). 当x(3，1)时，f(x)为减函数， 当x(1，)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x1处取得极小值，因此a2，b9.,反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点 (1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解. (2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.,解答,解f(x)aln xbx2x，,跟踪训练3设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；,解答,当x(0,1)时

10、，f(x)0； 当x(2，)时，f(x)0. 故x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点.,(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.,达标检测,1,2,3,4,5,1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的 部分图象如图所示，则下面结论错误的是 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点,解析,答案,解析根据导函数图象知，x(1,2)时，f(x)0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增

11、函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.,1,2,3,4,5,解析,答案,C.x2为f(x)的极大值点 D.x2为f(x)的极小值点,1,2,3,4,5,当x(0,2)时，f(x)0. 因为x2为f(x)的极小值点，故选D.,3.函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_.,所以当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，)上单调递减， 所以f(x)在(0，)上没有极值点.,0,1,2,3,4,5,解析,答案,2,解析f(x)3x22axb，,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.,又f(x)的定义域为(0，)， 令f(x)0，解得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，).,1,2,3,4,5,1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)解方程f(x)0得方程的根； (4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定