非线性方程求解.ppt

1、非线性方程求解,非线性方程求解目录,1 对分法 2 迭代法 2.1 迭代法的基本思想 2.2 迭代法的收敛条件 2.3 Steffensen方法简单迭代 法的加速 3 Newton法与弦截法 3.1 Newton法 3.2 弦截法 4 抛物线法,非线性方程求解概述,很多科学计算问题常 归结为求解方程：,非线性方程求解概述(续）,例如，从曲线y = x和y = lg x的简单草图可看出方程 lg x + x = 0有唯一的正根x*，但是没有求x*的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2 + bx+c = 0，我们可以用熟悉的求根公式：,对于三、四次代数方程

2、，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。,对于方程（2-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。,求方程根近似解的几个问题：,求方程根的近似解，一般有下列几个问题：,3. 根的精确化：已知一个根的粗略近似值后，建立计算方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。,设函数f (x)在区间a,b上连续，严格单调且 f (a ) f (b)0，则在a,b内方程f (x) = 0有且仅有一个实根。,根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔离

3、区间。,1.根的存在性：方程是否有根？如果有根，有几个根？,2. 根的隔离：确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔离，就可得到方程的各个根的近似值。,关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。,根的隔离主要依据如下结论：,求根的隔离区间的两种方法,1. 描图法：,画出y = f (x)的草图，由f (x)与x轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数f (x)的正、负与函数f (x)的单调性的关系来确定根的大概位置。,例1 求f (x) = 3x 1 cos x = 0的有根区间,解：将方程变形为3x 1= cos x 绘

4、出曲线 y =3x1及 y = cos x， 由图2-1可知，方程只有一个 实根：,例2,紧接下屏,例2（续）,2. 逐步搜索法：,从区间a,b的左端点a出发，按选定的步长h一步步向右搜索，若:,则区间 a+jh, a + (j +1) h内必有根。搜索过程也可以从 b开始，这时应取步长h0。,求出根的隔离区间后，就可采用适当的方 法，使其进一步精确化。,解： 令f (x)=4x312x2 = 0，可得驻点x1 = 0, x2 = 3,由此而 得到三个区间 (,0) (0,3),(3,), f (x)在此三个区间上的正负号分别为“”，“”，“+”，由此可见，函数f (x)在此三个区间上为“减”

5、，“减”，“增”，并且因为f ()0, f (0)=10, f (3)= 260所以仅有二个实根，分别位于(0,3),(3,)内。又因f (4)=10,所以，二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。,1 对分法,设f (x)在区间a, b上连续，严格单调，且f (a) f (b)0，则方程f (x) = 0在a, b内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数f (x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:,对分法（续）,若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当n时，区间将最终收缩为一

6、点x*，显然x*就是所求方程的根。,对分法的误差估计,作为x*的近似值，则误差为：,只要n足够大（即区间对分次数足够多），xn的误差就可足够小，且只要f (x)连续，对分区间总是收敛的。,式（2-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以给定的误差限 估计出对分区间的次数，因为由式（2-2）有：,若取区间an, bn的中点：,对分法举例,例3,解： 因为 f (x)连续且f (x)=3x2 +10 0 (x(,)，故 f (x) 在(,)上单调增加 而 f (1) = 9 0 所以 原方程在（1，2）内有唯一实根。,例3(续),表2-1,对分法的优缺点,对分法的优点是计算简单，方法可靠，容易估

7、计误差。 但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。 因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛顿法）提供初值。,2 迭代法,迭代法是求解方程f (x) = 0的根的一种主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次逼近方程的根，使其得到满足预先给定精度要求的近似值。,2.1 迭代法的基本思想,迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是：设方程f (x) = 0在区间a, b内有一根x*，将方程化为等价方程x = (x)，并在a, b内任取一点x0作为初始近似值，然后按迭代公式计算：,产生迭代序列x0, x1, ,xn,显然，若xn收敛于x*， (x)在x*处连续，就有

8、:,这种求根方法称为迭代法，式（2-3）称为迭代格式， (x)称为迭代函数，x0称为迭代初值，xn称为迭代序列 如果迭代序列收敛，则称迭代格式（2-3）收敛，否则称为发散。,即：x*是方程f (x) = 0的解。,故：当n充分大时，可取xn作为方程的近似解。,满足x= (x)的点x也称为不动点,迭代法举例,例4,解：容易验证， 方程在1,2内 有根，取x0=1.5,例4（续）,表2-2,迭代法举例续,例5,解： 对方程进行变换，可得如下三种等价形式：,分别按以上三种 形式建立迭代格式， 并取x0 = 1进行迭代 计算，结果如下：,例5的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，由此可构造许

9、多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的邻近的性态。,迭代法举例续,例6,用迭代法求方程,在区间2，3上的根，并讨论迭代的敛散性。,解 由于,在区间2,3上连续，且,，所以，方程在2,3上有根。,若把方程改写成下列三种等价的便于迭代的形式：,从而可得出对应的三个迭代格式：,若取相同的初值x0=2，经分别迭代计算得到的结果 列于下表中：,迭代法举例续,例6续,从表中数据的变化趋势看，迭代格式（1）和（2）得到的序列,可能是收敛的，而迭代格式（3）可能是发散的。,事实上，由迭代法收敛的充

10、分条件可知：,（1）对于迭代格式（1），其迭代函数为,则,在2,3上具有连续的一阶导数,单调增加，,于是，当,，满足定理收敛条件（1）。,迭代法举例续,例6续,（2）对于迭代格式（2），其迭代函数为,又，,取正值，且单调递减，所以有,即满足定理的条件（2），从而迭代格式（1）收敛。,故,是单调减少,但,显然不满足定理的条件（1），但若在,2,3的子区间2,2.5中考察，,则有,也即满足定理的条件（1），,又，,在2,2.5上取负值且单调递增，,从而有：,即满足定理的条件（2）,从而迭代格式（2）在区间2,2.5上收敛。,例6续,（3）对于迭代格式（3），其迭代函数为：,在区间2,3上有：,从而

11、,从而迭代格式（3）当时， 迭代发散。,例7,对方程进行变换，可得如下五种等价形式：,分别按以上五种形式建立迭代格式：,并取x0 = 1.5进行迭代计算，结果如下：,例7（续）,表2-3,例7（续表）,=1.130395436,当K=120，,的近似根1.130395435，,若选取 作为迭代函数，则k为奇数时迭代序列单调增加，k为偶数时迭代序列单调减少，迭代120次方能得到近似根1.130395435。,若选取 作为迭代函数，则迭代序列不收敛。,若选取 作为迭代函数，出现负数开方， 因而无法继续进行迭代。,此例说明，选择迭代函数的基本原则是，首先必须保证迭代产生的迭代序列x0 , x1, ,

12、 xk , 在定义域中，以使迭代过程不会中断，其次要求迭代序列收敛并且尽可能收敛得快。,例7（续）,迭代法的几何含义,从几何上看，迭代法是将求曲线y = f(x) 的零点问题化为求曲线y = (x)与直线y = x的交点，迭代过程如图2-2所示，从初始点x0出发，沿直线x = x0走到曲线y = (x)，得点(x0, (x0)，再沿直线y = (x0)走到直线y = x，交点为(x1, (x1)，如此继续下去，越来越接近点(x*, x*)。,当然，迭代过程也可能出现图2-3所示的情况，此时点(xn, xn)越来越远离交点(x*, x*)，迭代序列发散。,由此可见，使用迭代法必须解决两个问题：一

13、是迭代格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛的速度，建立收敛快的迭代格式。,迭代法的几何含义（续）,2.2 迭代法的收敛条件（三大定理）,定理2.1（压缩映象原理）,设函数 (x)在区间a, b上满足条件：,则方程x = (x)在 a, b内有唯一的 根x*，且对任意 初值x0 a, b， 迭代序列：,证明见下屏：,压缩映象原理的证明,由条件（2）易得 (x)在a, b上连续。 令 (x) = x (x)，则 (x)也在a, b上连续，且：,由连续函数介值定理，存在a, b，使得 () = 0， 即 = ( ) 所以方程x = (x )在a, b内有根。,假设方程x = (x )在

14、a, b内有两个根x1* x2*，由 条件（2）有：,导出矛盾，唯一性得证。,（存在性）,（唯一性）,对任意的x0 a, b，由迭代公式有：,即对任意初值x0 a, b，迭代序列xn均收敛到方程的根x*。,压缩映象原理的证明（续1）,（收敛性）,类似地，对任意正整数K，有 ：,定理2.1证明中的两个误差估计式（2-5）,（2-6）是很有意义的。,压缩映象原理的证明（续2）,（误差估计公式）,利用,两个重要误差公式说明,1. 式（2-5）说明，在正常情况下，即L不太接近于1（若L接近于1，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。,就停止计算，取xn作为方程的近似

15、根。这种用相邻两次计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。,即当给定精度时，如果有：,2. 而式（2-6）的误差估计，称为事前估计法，因为用它可以估计出要达到给定精度 所需次数n,事实上，由,注意：,定理8.1给出了判别迭代收敛的 充分条件。在实际计算时，由于L比较难求，而我们所讨 论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用 导数的界得到的。见下屏的定理2.2：,两个重要误差公式说明（续）,迭代法的收敛条件之二,定理2.2,（1）对任意的x a,b，有 (x) a, b； （2）存在常数0 L 1，使得对任意x a,b，都有：,则方程x = (x)在a, b上有唯一的根x*，且对任意初

16、值 x0 a,b，迭代序列 ：,均收敛于x*，并有：,证明见下屏：,设函数 (x)在区间a, b上满足条件：,定理2.2证明,设x, y为a, b上的任意两点，由微分中值定理，在 x, y之间至少存在一点，使得:,于是：,即 (x)满足定理2.1的条件（2），故结论成立。,定理2.2应用举例,采用的三种迭代格式， 在隔根区间（1,1.2）内有：,用定理2.2判别简单迭代法的收敛性比定理2.1方便,如对例题5：,第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的L要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。,故可取n = 7，只需迭代7次就可达到所要求的精度。,

17、定理2.2应用举例（续）,根据定理2.2可知，,对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过 10-6，可估计迭代次数：,定理2.2应用举例(续),如对例题6：,对于迭代函数,由于,因此 在0.5，1.5上单调减小，而,于是，当x0.5 ,1.5时，,即 在0.5，1.5上单调减小，因此,但：,可见不满足定理2.2的条件（2）。从表（2-3）看到,取x30=1.133074649作为初始值x0 ,x31 =1.128116321作为x1,当:,又由于,因此对x30 x31定理2.2的条件（2）成立，故迭代过程收敛。,为使误差不超过10-8：,取k=138,于是迭代138+30=168次必可使

18、近似解满足误差要求。实际上，从表2-3看到，只需要迭代110次便可达到所要求的精确度，式（2-6）右端是最大可能误差界。对于本例来说，估计的迭代次数偏大了。,而对于迭代函数,由于,因此 在1，2上单调减小，,当x1 ,2时：,即有,又由于,因此定理2.2的条件（2）成立。,产生的迭代序列收敛。,故由,为使误差不超过10-8：,于是可取k=12,实际迭代11次必可使近似解满足误差要求。,应用举例,Leonardo于1225年研究了方程：,曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。,我们现在可用迭代法求解：,还可用Newton法，弦截法求解,迭代法的收敛条件之三,定理2.3,定理2.1以及定理

19、2.2中条件（1）实际很难检查 因此有如下的定理2.3,定理2.3强调迭代初值x0应取在根x*的邻域中。如果对任意给定的x0，迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x*的某邻域内的任一点x0，迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛性。,即可保证对其中任取的一点x0迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（2-1）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。,本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以x*为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻域中满足：,定理2.3 （续）,2.3 Steffensen方程简单迭代法的加速,收敛速

20、度（收敛速度的阶）：,成立，则称xn是r 阶收敛的，或称xn的收敛阶为r，收敛阶r 的大小刻划了序列xn的收敛速度：,r 越大，收敛越快: r =1 线性收敛 r 1 超线性收敛 r =2 平方收敛,设序列xn收敛于x*，若存在正数r和a使得：,xn的r 阶收敛定理,定理2.4,设迭代函数 (x)在x*邻近有r阶连续导数，且 x* = (x*)，并且有,证明：,1） (x)满足收敛定理的条件xnx*；,紧接下屏,定理2.4（续）,2）利用Taylor公式将(x)在x*附近展开：,这表明：xn是r阶收敛的。,一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：,1、 Aitken加速法,若序列xn

21、线性收敛于x*，可按式：,当n充分大时，有：,紧接下屏,Aitken加速法（续）,由此式可推导出：,由此可得比值：,2、 Steffensen加速收敛式,将Aitken加速法与简单迭代格式xn+1 = (xn)相结合就得到 Steffensen加速收敛式 ：,例8,于是由x0 = 1.5， 可计算：,继续下去 ，在此可 求x2, x3,由此例题可见：Steffensen方法收敛很快 ，达到了加快收敛的目的。,Steffensen加速收敛举例,用Steffensen方法求方程：,的根，取x0 =1.5，误差精度 = 106。,3 Newton法与弦截法,3.1 Newton法,将非线性方程线性化

22、，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。,设已知方程f (x) = 0的近似根x0，f (x)在其零点x*邻近一阶连续可微， 且f (x) 0，当x0充分接近x*时，f (x)可用Taylor公式近似表示为 ：,则方程f (x) = 0可用线性方程近似代替，即：,Newton法（续）,解此线性方程得：,取此x作为原方程的新近似值x1，重复以上步骤， 于是得迭代公式：,按式（2-7）求方程f (x) = 0近似解称为Newton法。,Newton法的几何意义,如此继续下去，xn+1为曲线上点(xn, f (xn)处的切线与x轴的交点。因此Newton法是用曲线的切

23、线与x轴的交点作为曲线与x轴交点的近似，故Newton法又称为切线法。,Newton迭代法有 着明显的几何意 义如图2-4所示，,过点(x0,f (x0)作曲线y = f (x)的切线， 切线方程为： y = f (x0) + f (x) (xx0) 该切线与x轴的交点的横坐标即为新的近似值x1，而x2则是曲线上点(x1, f (x1)处的切线与x轴的交点。,Newton法举例,例9,解： 因为f (x) =3x2+10，故Newton迭代公式为：,x1 = 1.5970149，x2 = 1.5945637， x3 = 1.5945621 = x4迭代三次所得近似解就准确到8位有效数字。,代入

24、初值x0得：,可见Newton法收敛很快。,一般地，有如下屏定理2-5：,Newton法收敛定理,定理2.5,设函数f (x)在其零点x*邻近二阶连续可微，且f (x*) 0，则存在 0，使得对任意x0 x*, x* + ，Newton法所产生的序列xn至少二阶收敛于x*。,按式（2-7），Newton法的迭代函数为：,于是有：,证明：,定理2.5（续）,由已知f (x)在x*邻近连续，因而 (x)在x* 邻近连续，且,根据定理2.4，Newton法产生的序列xn至少二阶收敛于x*。,定理2.5表明，当初值x0充分接近x*时，Newton法的收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于

25、别的根，这可从Newton法的几何意义看到：,紧接下屏,Newton法的几何意义及其优劣,如图2-5（a）所示.应用中可由实际问题的背景来预测利用对分区间法求得较好的初值x0。使在其邻近f (x) f (x)不变号，并且使f (x0) f (x0) 0，这就能保证收敛，如图2-5（b）（d）。,Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之一。 但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。,3.2 计算重根的牛顿迭代法,若x*为方程f(x)=0的m(m1)重根，则f(x)可表为:,其中g(x*)0，此时

26、用牛顿迭代法求x*仍然收敛，只是收敛速度将大大减慢。事实上，因为:,计算重根的牛顿迭代法(续1）,可见用牛顿法求方程的重根仅为线性收敛。,为了提高求重根的收敛速度，有两种可供选择方法: (1) 方法之一是将求重根的问题转化为求单根。注意到函数：,计算重根的牛顿迭代法(续2）,上述迭代格式右端较复杂，应用起来不方便。 (2) 另一种求m重根的方法是采用如下迭代格式：,可以证明它是求m重根x*的 具平方收敛的迭代格式。,问题是如何确定根的重数m？下面介绍一个边迭代边估计重数方法。设xk2，xk1，xk为用牛顿迭代格式（2-7）所得三个相邻的迭代值，令,计算重根的牛顿迭代法(续3）,则,由式（2-8

27、）可知,故,因此可用 下式估计m,例8 用牛顿迭代法求方程,在0.95附近之根。,解 取x0=0.95，用牛顿迭代法， 按式（2-7）求得的xk见表2-3，由表中数据可见xk 收敛很慢。由,可知，所求根为m=2重根，,改用式(2-9)迭代格式，得：,收敛速度大大快于直接用牛顿迭代公式（2-6）.,例8（续）,表2-3,3.2 弦截法,不 足 之 处：需要计算导数值，较难；,这就是弦截法迭代公式,Newton法优点：收敛快（平方阶），固定格式；,修 正：以差商代替导数（微商）,弦截法迭代公式的几何解释,与x轴相交， 即y = 0，解出x得：,即以割线代替曲线f (x)，以割线与x轴的交点去近似曲线与x轴的交点，故弦截法又称为割线法。,割线法也可看作以（xn-1，f(xn-1)），(xn，f (xn)作线性 插值，而以此插值多项式近似f (x) ，以其零点近似f (x)的零点。,弦截法的几点说明,1。需要两个点x0，x1才能开始进行迭代： （1）若只给定x0，则须利用其他方法，如对分 法，求 x1，然