高中数学专题研究数学核心素养的教学建议ppt课件

1、数学核心素养的教学建议,华东师大数学科学学院 鲍建生 ,前言,回归数学本质（数学的本原性问题和数学的发生发展过程） 教师的独立思考（“教师事关重大”，明白之人使人明白） 课标只是一个纲领性的文件（从“想法”到“做法”，通过研究改进教学）,提纲,2003版高中数学课程实施现状调查 数学核心素养系统 数学核心素养的教学策略 基于数学核心素养的教学案例分析,一、2003版高中数学课程实施现状调查,调研框架,课程设计,课程内容,课程实施,课程评价,定位(性质、需求、衔接),目标(知识、素养、能力),结构(多样性、选择性),难度(深度、广度、容量),体系(核心、顺序、关联),教学(课时、教法、负担),教

2、材(编排、例习题),师资(环境、培训),区分(定性、定量、定位),考试(高考、会考),科学性,可行性,一致性,存在问题,修订建议,调研中初步发现的若干焦点问题,课程系列与模块的设置。课程系列（必修、必选、任选）设置基本赞同，但模块设置意见较大；必修与必选模块内容需要调整；选修系列3和4中的大部分模块形同虚设。 螺旋上升。总体设想很好，但有些联系紧密的数学内容切割在不同系列或模块中（如函数分设在必修1和必修4中，解析几何分散在必修、选修系列2和选修系列4中）造成割裂和遗忘。 传统数学能力。运算能力、逻辑推理能力与空间想象能力有所弱化。新的立体几何课程导致学生空间想象能力普遍减弱，其原因：一方面是

3、由于向量作为研究立体几何的工具使立体几何变成了“算的几何”；另一方面立体几何内容被分为必修和选修两个部分后教学时间间隔过长也可能是导致学生空间观念削弱的主要症结。,调研中初步发现的若干焦点问题,存在重技能轻素养现象。教师普遍肯定建模、探究、研究性学习在培养学生数学素养过程中所起的作用及数学素养的重要性，但目前的评价方式还是停留在知识与技能上。 学生负担。造成学生负担重的原因：一是高考与课标要求存在较大差距，特别提到递推数列的问题；二是初高中衔接问题：学生的知识技能储备不足，缺少良好的学习和思考习惯 衔接。与义务教育、大学及其它学科的衔接需要加强，内部逻辑也要进一步理顺。 课时。必修的五个模块属

4、于拼盘式，必修1时间偏紧，练习巩固时间不够，实际上普遍超时。 高考与会考。课标对考试要求不明确，制约性差；考纲在高中教学中起更大的作用。 课标文本。表述太原则，在教学中用处不大，希望具体化和细化。,二、数学核心素养系统,1. 处理好四基、核心素养、情感态度价值观之间的关系,科学态度 创新精神 理性思维 应用意识,基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验,数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析,问题解决,树木,森林,生态,课程目标,通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发

5、现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。 在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。 通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。,2. 对数学核心素养的解读与研究,2.1 内涵,课标对数学抽象内涵的说明 内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、

6、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。 学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。 育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。,相关文献分析,数学它的内容、方法与意义的解释： 第一，在数学的抽象

7、中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切； 第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超出了其他学科中的一般抽象； 第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的”（亚历山大洛夫，1988）,数学抽象作为一种纵向的重组活动,数学抽象看作是一种纵向的重组活动，通过这种活动在原有数学知识的基础上构造新的数学结构。数学抽象是数学思维的基本成分，其主要目的有三个：一是出于新结构的需要；二是构造一个新的抽象集

8、合；三是通过确认新的结构而不断重构已知的抽象集合，使其更便于使用。 Hershkowitz et al，2001,从数学发展史我们可以看到，数学概念的产生离不开抽象，正是希腊人对数学的抽象性和演绎法的坚持造就了今日我们所知的数学体系。 M. Kline，1976,数学抽象与数学化,数学化可以分为水平与铅直两种过程：,包含水平数学化的活动有： 在一般情境脉络中辨识出特定的数学 组织化 以不同的方法有系统表示或可视化一个问题 发现关系 发现规则 在不同的问题中看到具有相同结构的观点 将现实世界的问题转换为数学问题 将现实世界的问题转换为已知的数学模型,包含铅直数学化的活动有： 以公式表达一种关系

9、证明规则 改善和修正模型 使用不同的模型 结合和统整模型 形成一个新的数学概念 一般化(De Lange, 1987),2.2 行为表现,数学抽象,概念形成心理过程,检验,概念形成的逻辑过程,在自然数的基础上构造一个笛卡尔集：,在新集合中定义等价关系：,在新集合中用上述等价关系划分为等价类，每个等价类取一个代表元素构成一个新的集合(商集)：,在商集上定义四则运算：,我们把定义了上述运算的集合 称为整数集，可以证明整数集的一个子集与N同构。,扩大外延（等势抽象），例如数系的扩张： NZ Q R C,增加内涵（属加种差），例如正方形的定义： 四边形 平行四边形 矩形 正方形,2.3 样例,样例：函

10、数单调性,为什么要讨论函数单调性？ 学生已经具备了什么样的相关经验？ 如何刻画函数的单调性？ 为什么数学中常用符号语言取表示一个概念/性质/原理？,函数单调性的抽象过程,问题1（从具体函数出发）,函数的单调性,问题2,思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角 思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义） 思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义） 思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）,2.4 数学核心素养系统与原有课标的联系,原有体系：11版课标,三维目标,知识技能 （四基）,数感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想 应用意识 创新意识

11、,数学思考 问题解决 （四能）,情感态度,原有体系：03版高中,三维目标,知识与技能,过程与方法,情感、态度、价值观,四基,空间想像 抽象概括 推理论证 运算求解 数据处理,基本能力,问题解决,应用创新,兴趣、信心等,四能,三用,三、数学核心素养的教学策略,1. 关于数学核心素养的基本假设,数学教学是数学活动的教学； 数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学活动中形成与发展、表现与评价； 数学素养离不开数学“四基”的教学； 数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计） 数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有效途径； 数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在

12、数学素养上也有不同的特点； 对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。,2. 数学活动的设计,数学活动设计,课堂互动,合作学习,工具使用,交流反思,活动教学,数学过程,专项,综合,情境,意义,数学活动过程（PISA）,过程1 对问题情境的数学化,过程2 运用数学概念、事实、程序和推理,过程3 解释、应用和评价所得的数学结论,过程1：对问题情境的数学化,确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量; 确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模式）; 简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析; 在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景; 利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学

13、表征; 用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的利用; 理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系; 把问题转译为数学语言或数学表征; 把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序; 利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.,过程2：运用数学概念、事实、程序和推理,设计和实施各种解题策略去发现数学结论; 利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的结果; 运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学结果; 能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据和信息、代数式和方程、几何表征; 能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提取数学信息； 在解题过程中利用不同的表征并进行相互

14、转化; 能够依据数学程序获得结果并将结果一般化; 能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的结果.,过程3：解释、应用和评价所得的数学结论,回到原来的现实背景解释数学结果; 依据现实背景评价数学结果的合理性; 理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及如何依据实际情况进行调整和运用; 解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中的问题来说是有意义的或者无意义的; 理解数学概念和结果的适用范围和局限性； 在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制条件.,3. 强调单元教学,在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理本单元的课程发展主线（学习进阶）； 通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念（big

15、ideas）； 在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的专项设计； 优化单元的训练系统。,四、基于数学核心素养的教学案例分析,初中课例01：反比例函数,反比例函数,正比例函数,比,比例与比率,函 数,分数与分式,常量与变量,数 与量,解析式与图像,函数性质,奇函数,对称性,互为反函数,单调性,单调 区间,分段 函数,双曲线,有理线性函数,渐近线,圆锥曲线,坐标变换,幂函数,多项式函数,曲线与方程,最值与极值,不等式,微积分,反比例函数的图像：从“数”到“形”,反比例：,x 0图像与y轴没有交点,y 0图像与x轴没有交点,k 0, xy 0图像在I、III象限,k 0, xy 0图像在II、IV

16、象限,x 越大，y 越小图像越接近x轴,x 越接近0，y 越大图像越接近y轴,x 取相反数，y 也取相反数图像关于原点对称,x 与 y 可以交换位置图像关于象限的对角线（y = x）对称,反比例函数的引入,基于问题的概念导入 问题：有一块面积为64的正方形纸片，把它剪拼成一个长和宽分别是y和x的面积相同的矩形，有多少种不同的方法？ 把64换成k，在上述操作过程中，矩形的长和宽（y和x）保持什么样的关系？,反比例函数的其它模型,任意一个自然数p都可以分解为两个自然数m,n的乘积，问如何分解才能使得m+n最小？举例p=64. 在下面的图形中（P，Q分别是定圆内和圆周上的定点，过P作弦垂直于PQ），

17、把哪个量作为x，哪个作为y，可以得到一个反比例函数。,比例推理-正比例/反比例函数,下面是两块教学三角板， 左边的一块：在底边上随便取一点P，量一量OP和PQ的长度，看看会有什么规律？你觉得为什么会有这样的规律？这个规律有什么用处吗？ 右边的三角板也有类似的规律吗？,设左边三角形的两条直角边长为2，OP = x，则三角形OPQ的面积与原三角形面积之比（原三角形面积与OPQ面积之比）为y，将y表示为x函数, y=1/2的意义？ 如果是一般的三角形或者改为其它平面图形，上述情形有什么变化？,墙壁上的图案,如图，是一座建筑物墙壁上用正方形瓷砖镶嵌而成的图案，你能看出其中隐藏的反比例函数吗？请建立直角

18、坐标系，写出其中的一个反比例函数的表达式,初中课例02：无理数的学习空间,教学路径（1）,1. 背景：正方形,2. 形式：数轴上的点,3. 形式：小数估计,教学路径（2）,4. 算与证：可以写成两个整数之比吗？,5. 形式：无限不循环小数,对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数,6. 形式：根号,教学路径（3）,7. 形式：还有其它这样的数吗？,教学路径（4）,8. 算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数吗？,高中课例01：椭圆,四基层面 椭圆的定义：多种方式，实验操作，活动经验 标准方程：坐标平面，方程的特征，形式结构 几何性质：解析法，性质的运用 核心素养层面 数学运算，符号运算，运

19、算方向、运算的合理性，几何直观等 数学建模：圆锥曲线的光学性质、双曲线的定位功能等 情感态度价值观层面 数学方法描述自然现象的优越性 数学是有趣的、有用的、优美的,几何直观与代数表征,由圆“压缩”到椭圆：猜想椭圆方程是二次方程， 由对称性及奇偶函数的表达式猜测：椭圆方程关于x、y只有平方项； 对比直线的截距式方程，x轴上的截距为a，y轴上的截距为b， 对比圆的标准方程（可以看作是极端情形等），猜想椭圆的标准方程. 由此猜想椭圆的标准方程：,在建系、推导方程之前，可以根据操作活动先初步推测椭圆的特征：对称性，中心，封闭图形，有界性等；这样，一方面有助于坐标系的选择，另一方面可以预见到方程的某些特

20、征，如：,数学运算,标准方程的推导（化简），可以关注一下几点： 在一般的化简过程中，为什么要把其中一个根式移到等号的另一边：,形式直观与对偶关系的运用：,对符号运算的强化训练：两边直接开方，利用平方差关系来简化运算,几何直观：离心率的发现,实验观察：椭圆的形状有“扁”有“圆”； 数学问题：如何刻画椭圆的“扁平”程度？ 多种角度思考： 回顾用定长线段画椭圆的过程，猜想与a、c有关，猜测与这两个量相关的模型：a+c, a-c, ac, a/c, c/a 观察平面截圆柱/锥的情形，猜想：与平面和旋转轴所成的角有关，可能的模型：角度，三角函数，比值 观察椭圆的现状或标准方程，猜想可能与a、b的接近程度

21、有关，可能的模型： |a-b|，a/b， 选择合理的几何模型,作为一种数学建模活动,可以尝试作为一种数学建模活动，具体步骤如下： 椭圆是一种常见图形，先观察一些实际情形：如倾斜的圆柱形杯子的水面，篮球的影子，压扁的圆环，卫星规定（图片）等; 讨论是否可以“画出”这种曲线？依据圆与椭圆的联系，探索椭圆的“画法”; 发现操作中的等量关系，猜测方程的形式与特征（依据压扁的圆环，或倾斜的杯子）； 建立坐标系，化简，得出标准方程； 讨论模型（方程）的限制条件； 利用方程讨论椭圆的几何性质.,投影与椭圆,如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子 太阳的光线与篮球相切的切点所组成的是什么图形？ 篮球在

22、地面上所形成的影子什么时候是一个圆面，什么时候是一个椭圆面？ 当篮球的影子是一个椭圆面时，篮球与地面的切点位于椭圆的什么位置？ 当篮子的影子是椭圆面时，证明：太阳光线与篮球相切的切点所在的平面与地面的交线是这个椭圆的一条准线。,高中课例02：充分条件与必要条件,数学中的常用逻辑与传统形式逻辑的异同？ 基本的思维方式：概念、命题、推理 常见的命题形式：假言命题（蕴含式）：若p，则q. 常用的推理规则：传递性,是否需要强调命题的四种形式？ 是否适合用现实的例子来说明？（更多的用数学例子来说事） 是否需要了解推理规则？（8条蕴含规则+10条等价规则）,高中课例03：函数的奇偶性,有剪纸引出对称性：对称性在剪纸艺术中的运用，不只是对称美； 与整数的奇偶性的对比：函数奇偶性源自幂函数的指数的奇偶性 确定奇偶性的应用：事半功倍，