第一章 行列式

1、暨大珠院,第一章 行列式,一. 行列式的基本概念,二. 行列式的性质与计算,三. 克莱姆法则,暨大珠院,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,暨大珠院,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,暨大珠院,定义: 由四个数排成二行二列,并规定：,则 D 称为二阶行列式,（横排称行、竖排称列）的数表,暨大珠院,对于二元线性方程组,记,则二元线性方程组的解为,暨大珠院,例1,解,暨大珠院,二、三阶行列式,定义：由9个数排成3行3列构成的数,称为三阶行列式.,表，并规定,暨大珠院,对 角 线 法 则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1. 对角线法则只适用于二阶

2、与三阶行列式,暨大珠院,系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,暨大珠院,则解为:,暨大珠院,例,解,按对角线法则，有,暨大珠院,解: 方程左端,例3,暨大珠院,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,暨大珠院,同理可得,故方程组的解为:,暨大珠院,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,三、小结,暨大珠院,思考题,暨大珠院,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,故所求多项式为,暨大珠院,定义1：由自然数1,2 , , n组成,例如：,12345,51234,53214,都是数1,2, 3 , 4 , 5的5级排列。

3、,排列与逆序,的一个有序数组称为一个n 级排列。,暨大珠院,n个数的不同排列有n! 个。,自然排列：,按数的大小次序，由小到大排列。,n元排列中，自然排列只有一种,除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小数前面,暨大珠院,一个排列中出现的逆序的总数,称为这个排列的逆序数,定义2：,在一个排列中，若某个较大的,数排在某个较小的数前面，就称这两,个数构成一个逆序。,奇排列：,逆序数为奇数的排列。,偶排列：,逆序数为偶数的排列。,暨大珠院,计算排列的逆序数的方法：,则此排列的逆序数为,数显然没有，记为,继续下去，最后至数n，前面比n大的,再看有多少个比2大的数排在2前面，,记为,n个数的任一

4、n元排列，先看数1，,看有多少个比1大的数排在1前面，,记为,暨大珠院,解：,例1：求排列 32514 的逆序数。,例2：求排列 453162 的逆序数。,练习：,（1）1，3，2n1，2，4，2n,，4，2,（2） 1，3，2n1，2n， 2n2，,暨大珠院,例2 求13(2n 1)24(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 (2n1)中每个奇数的逆序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数为(n 2),，(2n 2)的逆境序数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的逆序数为,暨大珠院,例3 在19构成的排列中,求j、k，使排 列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j

5、、k 的取值范围为3，8 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列 j = 8，k = 3,暨大珠院,例4 设排列 p1 p2 p3pn的逆序数为k，求pnp3 p2 p1的逆序数 (p1 p2 p3pn是1 n的某一排列) 解： 排列p1 p2 p3pn与排列 pnp3 p2 p1的逆序数之和等于1 n 这 n 个数中任取两个数的组合数即 ：,暨大珠院,暨大珠院,共有 n! 个 n 级排列，其中奇偶排列 各占一半。,定理1. 在n个数码（n1)的全排列中，

6、,考虑，在 1，2，3 的全排列中,有3个偶排列：,123，231，312,有3个奇排列：,132，213，321,暨大珠院,定义3：,把一个排列中的任意两个数交换位置，,其余数码不动，叫做对该排列作一次,对换，简称对换。,将相邻的两个数对换，称为相邻对换。,暨大珠院,定理3. 任意一个排列与标准排列,奇偶性相同,都可经过一系列对换互换，,并且所作对换的次数与这个排列的,定理 2. 对换改变排列的奇偶性,即经过一次对换，奇排列变成偶排,列，偶排列变成奇排列,暨大珠院,一、n 阶行列式的定义,1. 二级行列式,暨大珠院,2. 三级行列式,暨大珠院,观察上述三阶行列式, 寻找规律：,1. 三阶行列

7、式是 3！项的代数和。,2. 每一项取自不同行、不同列的 3 个,元素的积。其任一项可写成：,其中,是123的一个排列。,3.当,是偶排列时，项,取正号；当,是奇排列时，项,取负号。,暨大珠院,3. n 级行列式,定义： n 级行列式,素的乘积,等于所有取自不同行不同列的n 个元,的代数和，,这里,为,的排列.,每一项都按下列规则带有符号：,当 为奇排列时带负号；,当 为偶排列时带正号；,暨大珠院,其中,表示对所有n元排列取和.,即,暨大珠院,注:,第 i 行第 j 列的元素， i 称为行指标， j 称为列指标.,3) n级行列式定义展开式中共有n！项,1) 行列式 常简记为 或,主对角线,副

8、对角线,暨大珠院,定义表明，计算n阶行列式，首,注：,(1) 当n=1时，一阶行列式,此处,不是a的绝对值，,的奇偶性来决定这一项的符号。,序排列, 然后看第二个下标(列标), 所成,的元素的第一个下标（行标）按自然顺,不同列的n个元素的乘积，把这些乘积,先必须作出所有的可能的位于不同行、,暨大珠院,例1计算行列式,暨大珠院,例2.,暨大珠院,对角形行列式,一般地,暨大珠院,上三角形行列式,下三角形行列式,类似可得：,暨大珠院,且最高次幂为 ,显然含 的项有两项:,与,即 与,中 的系数为-1.,暨大珠院,这里 表示对所有1、2、 、 n的n级排列和,二、n 级行列式的等价定义,暨大珠院,类似

9、地，有,暨大珠院,四个结论：,(1),上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）,暨大珠院,(2),下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）,暨大珠院,(3),左上三角形行列式 （副对角线右下侧元素都为0）,暨大珠院,(4),右下三角形行列式 （副对角线左上侧元素都为0）,暨大珠院,三. 行列式的性质,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式,暨大珠院,性质2：,互换行列式的两行（列），,如果行列式有两行（列）,推论：,性质3：,用数 k 乘行列式的某一行（列）,中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。,行列式的值变号。,相同，则行列式为 0 。,暨大珠院,暨大珠院,性质4：

10、,暨大珠院,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。,性质4：,暨大珠院,有元素乘以同一数k后再加到另一,性质5：行列式的某一行（列）的所,行（列）对应的元素上去，行列,式的值不变。,暨大珠院,定义：在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来,的n-1阶行列式叫元素,的代数余子式。,的余子式，,记作,称,为元素,暨大珠院,性质6：,暨大珠院,性质7：,行列式任一行（列）的元素与,另一行（列）的对应元素的代,数余子式乘积之和等于零，即,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,该行列

11、式称为n阶范德蒙 (Vandermonde)行列式,暨大珠院,证：从第n行开始，后行减去前行的 倍,暨大珠院,暨大珠院,暨大珠院,一. Cramer 法则,1. Cramer 法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，,暨大珠院,即,则线性方程组(1)有唯一解，,暨大珠院,其中,是把系数行列式,中第,列的,元素用方程组右端的常数项代替后所,得到的,阶行列式，即,暨大珠院,Cramer法则仅适用于：,注:,（1）方程个数与未知量个数相等，,（ 2）系数行列式不等于零的情形。,暨大珠院,定理1：,如果线性方程组(1)的系数行列式,则(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2：,如果线性方程组(1)无解或有两个,不同的解，则它的系数行列式必为零.,暨大珠院,非齐次与齐次线性方程组的概念:,线性 方程组,此时称方程组为齐次线性方程组。,则称此方