高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数典型考题习题精选精讲

1、三角函数典型考题归类解析三角函数典型考题归类解析 三角函数是中学数学学习中重要的基本初等函数之一，与代数、几何有着密切的联系，是解决数学问题的一种有利工具.三角函数 作为中学数学的基础内容，在高考试题中年年呈现，多数以中低档题出现，可以独立命题，也可以与其它知识综合渗透.下面就 07 年全 国高考中解答题进行梳理归类，供读者学习时参考： 1根据解析式研究函数性质 例 1（天津理）已知函数( )2cos (sincos ) 1f xxxxxR， （）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值( )f x( )f x 3 84 ， 解析：（） ( )2cos (sincos ) 1si

2、n2cos22sin 2 4 f xxxxxxx 因此，函数的最小正周期为( )f x （）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又， ( )2sin 2 4 f xx 3 88 ， 3 3 84 ， 0 8 f ， 3 2 8 f 33 2sin2cos1 4244 f 故函数在区间上的最大值为，最小值为( )f x 3 84 ，21 解法二：作函数在长度为一个 ( )2sin 2 4 f xx 周期的区间上的 9 84 ， 图象如下：由图象得函数在区间上的最大( )f x 3 84 ， 值为，2 最小值为 3 1 4 f 点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角

3、和与差公式、倍 角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数，然后借sin()yAx 助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决. 【相关高考 1】（湖南文）已知函数 2 ( )12sin2sincos 888 f xxxx 求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间( )f x( )f x 解析： ( )cos(2)sin(2) 44 f xxx 2sin(2)2sin(2)2cos2 442 xxx （I）函数的最小正周期是；( )f x 2 2 T （II）当，即（

4、）时，函数是增函数，故函数的单调2 22 kxk 2 kxkkZ( )2cos2f xx( )f x y x O 2 2 递增区间是（） 2 kk，kZ 【相关高考 2】（湖南理）已知函数， 2 ( )cos 12 f xx 1 ( )1sin2 2 g xx （I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间 0 xx( )yf x 0 ()g x( )( )( )h xf xg x 解析：（I）由题设知 1 ( )1cos(2) 26 f xx 因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（） 0 xx( )yf x 0 2 6 x k 0 2 6 xkkZ 所以当为偶数时， 00

5、 11 ()1sin21sin( ) 226 g xxk k 0 113 ()1sin1 2644 g x 当为奇数时，k 0 115 ()1sin1 2644 g x （II） 11 ( )( )( )1 cos 21sin2 262 h xf xg xxx 131313 cos 2sin2cos2sin2 2622222 xxxx 13 sin 2 232 x 当，即（）时， 2 22 232 kxk 5 1212 kxk kZ 函数是增函数，故函数的单调递增区间是（） 13 ( )sin 2 232 h xx ( )h x 5 1212 kk ，kZ 2根据函数性质确定函数解析式 例 2

6、（江西）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周 2cos()(0 0) 2 yxxR，y(03)， 期为 （1）求和的值； （2）已知点，点是该函数图象上一点，点是 0 2 A ，P 00 ()Q xy， 的 中 点 ， 当PA ，时，求的值 0 3 2 y 0 2 x ， 0 x 解 析 ： （ 1 ） 将，代 入 函 数0 x 3y 2cos()yx ， 因 3 cos 2 为，所以 0 2 6 由已知，且，得T 0 22 2 T （2）因为点，是的中点，所以点的坐标为 0 2 A ， 00 ()Q xy，PA 0 3 2 y P 0 23 2 x ， y x 3 O A P 又

7、因为点在的图象上，且，所以，P 2cos 2 6 yx 0 2 x 0 53 cos 4 62 x ，从而得或，即或 0 7519 4 666 x 0 511 4 66 x 0 513 4 66 x 0 2 3 x 0 3 4 x 解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题 意图象与轴相交于点建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利y(03)， 用中点公式借助点将点表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可. 00 ()Q xy，P 【相关高考 1】（辽宁）已知函数（其

8、中），（I）求函数 2 ( )sinsin2cos 662 x f xxxx R，0 的值域； （II）（文）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区( )f x( )yf x1y 2 ( )yf x 间 （理）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不aR( )yf x(xaa，1y 必证明），并求函数的单调增区间( )yf xxR， 解析：（I） 3131 ( )sincossincos(cos1) 2222 f xxxxxx 由，得， 31 2sincos1 22 xx 2sin1 6 x 1sin1 6 x 32sin11 6 x 可知函数

9、的值域为( )f x 31 ， （II）（文）由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得；( )yf x0 2 2 于是有，再由，解得 ( )2sin 21 6 f xx 2 22 () 262 kxkkZ () 63 kxkkZ 所以的单调增区间为( )yf x 63 kk ，()kZ （理）由题设及三角函数图象和性质可知，函数的周期为，而，则 xfy 0 2 即得，21) 6 2sin(2)( xxf 由解得，)( 2 2 6 2 2 2Zkkxk )( 66 Zkkxk 即函数的单调递增区间为. xfy )( 6 , 6 Zkkk 【相关高考 2】（全国）在中，已知内角

10、，边设内角，周长为ABCA 2 3BC Bxy （1）求函数的解析式和定义域；（2）求函数的最大值( )yf x( )yf x 解 析 ： （ 1 ）的 内 角 和， 由得 应 用 正 弦 定 理 ， 知ABCABC 00ABC ， 2 0B ，因为， 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A yABBCAC 所以， 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx （2）因为 ， 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx 所以，当，即时，取得最大值x x y6 3 3三角函数求值 例 3

11、（四川）已知 cos=,cos(-)，且 00，函数 f(x)=2sinx 在上为增函数，那么的取值范围是_ 4 , 3 答案：00, 3 2 6 6 3 2 0,-)，其图象如图所示。 2 2 (1)求函数 y=f(x)在-，的表达式； 3 2 (2)求方程 f(x)=的解。 2 2 解 ： (1) 由 图 象 知 A=1 ， T=4()=2 ， = 63 2 1 2 T 在 x-，时 6 3 2 将(，1)代入 f(x)得 f()=sin(+)=1 6 6 6 -=在-，时 f(x)=sin(x+)y=f(x)关于直线 x=-对称在-，-时f(x)=-sinx 2 2 3 6 3 2 3 6 6 综上 f(x)= x x sin ) 3 sin( 6 , 3 2 , 6 x x (2)f(x)= 在区间-，内可得 x1= x2= - 2 2 6 3 2 12 5x 12 y=f(x)关于 x= - 对称=- x4= -f(x)=的解为 x-,-,-, 6 4 4 3 2 2 4 3 4 12 12 5 24、将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的图像，