高三数学（文数）总复习练习专题十四 概率

1、1(2015课标，4，易)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这 3 个数为一组 勾股数从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为() A. B. 3 10 1 5 C. D. 1 10 1 20 【答案】C从 1，2，3，4，5 中任取 3 个数，共有 10 种选法，而为勾股数的只有 3，4，5，故 所求概率为.选 C. 1 10 2(2015 广东，7，中)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件， 恰有一件次品的概率为() A0.4 B0.6 C0.8 D1 【答案】B首先对 5 件产品编

2、号为 1，2，3，4，5.其中 1，2 两件为次品，3，4，5 为正品，从 5 件产品中任取 2 件产品，共有事件为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3， 4)，(3，5)，(4，5)，共 10 个事件 其中恰有一件为次品的事件为：(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，共 6 个事件 恰有一件次品的概率 P 0.6，选 B. 6 10 3 5 3(2015江苏，5，易)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从 中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_

3、 【解析】4 只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出 2 只球所有可能的情况有：白红、 白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共 6 种情况，其中 2 只球颜色不同的有 5 种，故 P . 5 6 【答案】5 6 4(2015山东，16，12 分，中)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况， 数据如下表：(单位：人) 参加书法社团未参加书法社团 参加演讲社团85 未参加演讲社团230 (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3

4、名女同 学 B1，B2，B3，现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率 解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人 故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)， 所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P . 15 45 1 3 (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3， A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A

5、5，B2，A5，B3，共 15 个 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 事件“A1被选中且 B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个 因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P. 2 15 5(2015湖南，16，12 分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽 奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2和 2 个白球 b1，b2的乙 箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖 (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为：两个箱子中的红球比

6、白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请 说明理由 解：(1)所有可能的摸出结果是 A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1， B，a2，B，b1，B，b2 (2)不正确理由如下： 由(1)知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2， 共 4 种，所以中奖的概率为 ，不中奖的概率为 1 ，故这种说法不正确 4 12 1 3 1 3 2 3 1 3 6(2015陕西，19，12 分，中)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行

7、统计，结 果如下： 日期123456789101112131415 天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴 日期161718192021222324252627282930 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨 (1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会， 估计运动会期间不下雨的概率 解：(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市在 该天不下雨的概率为. 13 15 (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如 1 日与 2 日，2 日与 3 日等)这样，在 4

8、月份中，前一 天为晴天的“互邻日期对”有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 . 7 8 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 . 7 8 1(2012湖北，2，易)容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70) 频数234542 则样本数据落在区间10，40)的频率为() A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 【答案】B数据落在10，40)的频率为0.45，故选 B. 234 20 9 20 2(2014江西，3，易)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于(

9、) A. B. C. D. 1 18 1 9 1 6 1 12 【答案】B掷两颗均匀的骰子，得到的点数有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4， 1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)， (6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有 36 个基本事件，其中点数之和为 5 的基本事件有(

10、1，4)， (2，3)，(3，2)，(4，1)，共 4 个，故所求概率为 .故选 B. 4 36 1 9 3(2014湖北，5，易)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1， 点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则() Ap1p2p3 Bp2p1p3 Cp1p3p2 Dp3p1p2 【答案】C随机抛掷两枚骰子， 它们向上的点数之和的结果如图， 则 p1， p2， p3， 10 36 26 36 18 36 p1p30 就去打球，若 X0 就去唱歌，若 X0，满足此条件的基本事件有：(3，1)，(4，1)， (5，1)，(5，2)，

11、(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共有 9 个，故所求概率为 .故选 B. 9 36 1 4 6(2015湖南益阳一模，4)4 张卡上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则 取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率为() A. B. C. D. 1 2 1 3 2 3 3 4 【答案】B因为从 4 张卡片中任取出 2 张有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共 6 种情况，其中 2 张卡片上数字和为偶数的有(1，3)，(2，4)这 2 种情况，所以 2 张卡片上的数字为偶数的 概率为 ，故选 B. 1

12、3 7(2015江苏苏州一模，5)下课以后，教室里最后还剩下 2 位男同学，2 位女同学，如果没有 2 位 同学一块儿走，则第 2 位走的是男同学的概率是_ 【解析】已知有 2 位女同学和 2 位男学生，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女， 男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第 2 位走的是 男同学的概率是 P . 3 6 1 2 【答案】1 2 8(2014山东潍坊三模，13)连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)，记 “两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时，m_

13、【解析】m 可能取到的值有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的基本事件个数依次为 1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，两次向上的数字之和等于 7 对应的事件发生的概率最大 【答案】7 9(2014河北张家口调研，18，12 分)某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的 积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作 一对一连线，规定：每连对一条得 5 分，连错一条得2 分某参赛者随机用 4 条线把数学家与著作一 对一全部连起来 (1)求该参赛者恰好连对一条的概率； (2)求该参赛者得分不低于 6 分的

14、概率 9解：记 4 名数学家分别为 a，b，c，d，对应的著作分别为 A，B，C，D，根据题意，不同的连 线方法共对应下列 24 种情况： ， (a b c d ABCD ) (a b c d ABDC ) (a b c d ACBD ) (a b c d ACDB ) (a b c d ADBC ) ( a b c d ADCB) (a b c d BACD ) (a b c d BADC ) (a b c d BCAD ) (a b c d BCDA ) ， (a b c d BDAC ) ( a b c d BDCA) (a b c d CABD ) (a b c d CADB ) (a

15、 b c d CBAD ) (a b c d CBDA ) (a b c d CDAB ) ( a b c d CDBA) (a b c d DABC ) (a b c d DACB ) ，. (a b c d DBAC ) (a b c d DBCA ) (a b c d DCAB ) (a b c d DCBA ) 其中恰好连对一条的情况有 8 种： ，. (a b c d AC DB) ( a b c d ADBC ) (a b c d BCAD ) (a b c d BDCA ) ( a b c d CABD) (a b c d CBDA ) (a b c d DACB ) (a b

16、c d DBAC ) 恰好连对 2 条的情况有 6 种： ，. (a b c d ABDC )(a b c d ACBD)(a b c d ADCB ) (a b c d BACD ) (a b c d CBAD ) (a b c d DBCA ) 全部连对的情况只有 1 种：. (a b c d ABCD ) (1)恰好连对一条的概率为 . 8 24 1 3 (2)得分不低于 6 分，即全部连对或恰好连对 2 条的概率为. 16 24 7 24 1(2015山东，7，中)在区间0，2上随机地取一个数 x，则事件“1log1”发生的概 1 2( x1 2) 率为() A. B. C. D. 3

17、 4 2 3 1 3 1 4 【答案】A1log1， 1 2(x 1 2) x 2， 1 2 1 2 0 x ，故所求概率 P ，故选 A. 3 2 3 2 2 3 4 2(2015湖北，8，中)在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy ” 的概率，p2为事 1 2 件“xy ”的概率，则() 1 2 Ap1p2 Bp1 p2 1 2 1 2 Cp2 p1 D. p2p1 1 2 1 2 【答案】B如图，由几何概型可知，总事件区域 x0，1，y0，1，则 p1表示的区域为， 明显 p1 ，p2表示的区域为，明显 p2 . 1 2 1 2 3(2015福建，8，易)如图，矩形 A

18、BCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1，0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)的图象上， 若在矩形 ABCD 内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率等 x1，x 0， 1 2x1，x 0， ) 2p 0， p23p2 0，) p 2 3， p 2，) p2. 2 3 所求事件的概率为 . (1 2 3)（52） 5 10 3 5 2 3 【答案】2 3 1 (2012北京， 3， 易)设不等式组表示的平面区域为 D， 在区域 D 内随机取一个点， 0 x 2， 0 y 2) 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是() A. B. C. D. 4 2 2 6 4 4 【答

19、案】D不等式组表示的区域如图正方形所示，而所求点可以存在的位置如图阴影部分，阴 影部分面积等于正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 P.故选 D. 2 21 42 2 2 2 4 4 2(2011福建，7，易)如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点若在矩形 ABCD 内部随机取一 个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于() A. B. C. D. 1 4 1 3 1 2 2 3 【答案】C点 Q 取自ABE 内部的概率 P . S ABE S矩形ABCD 1 2|AB |AD| |AB|AD| 1 2 3(2012辽宁，11，中)在长为 12 cm 的线段 AB 上任

20、取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为() A. B. C. D. 1 6 1 3 2 3 4 5 【答案】C设 ACx，则 CB12x(0x20，解得 2x10， 矩形面积大于 20 cm2的概率为 ，故选 C. 102 12 2 3 4(2013湖南，9，中) 已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB”发生的概率是 ，则() 1 2 AD AB A. B. C. D. 1 2 1 4 3 2 7 4 【答案】D矩形 ABCD 如图所示， 在点 P 从 D 点向 C 点运动过程中， DP

21、 在增大， AP 也在增大， 而 BP 在逐渐减小，当点 P 到 P1位置时，BABP1，当点 P 到 P2位置时，ABAP2，故点 P 在线段 P1P2 上时， ABP 中边 AB 最大， 由题意可得 P1P2 CD.在 RtBCP1中， BP CD2BC2AB2AD2 1 2 2 1 9 16 9 16 AB2.即 AD2AB2，所以，故选 D. 7 16 AD AB 7 4 思路点拨：根据几何概型的特点寻找满足条件的点 P，利用直角三角形的性质求解 5(2012湖北，10，中)如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半 圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此

22、点取自阴影部分的概率是() A. B. 1 2 1 1 C1 D. 2 2 【答案】C如图，连接 OD，不妨设 OA2，弓形 OCD 的面积 S0 12 12 1 4 1 2 ，由图形的对称性知阴影部分面积为 S 22(122S0)2S04S02， 2 4 1 4 此点取自阴影部分的概率是1，故选 C. 2 1 4 22 2 6(2014福建，13，易)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为_ 【解析】由已知可知豆子落到阴影部分的概率为 P， 180 1 000 S阴影 S正方形 S阴影 1 S阴影0.18. 【答案】0

23、.18 7(2013湖北，15，中)在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m 5 6 _ 【解析】由|x|m，得mxm. 当 m2 时，由题意得 ，解得 m2.5，矛盾，舍去 2m 6 5 6 当 2m4 时，由题意得 ，解得 m3，所以 m 的值为 3. m（2） 6 5 6 【答案】3 8(2014重庆，15，中)某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _(用数字作答) 【解析】设小张和小王到校的时间分别为 y 和 x，则则满

24、足条件的区域如图中 30 x 50， 30 y 50， yx 5， ) 阴影部分所示 故所求概率 P. 1 2 15 15 20 20 9 32 【答案】 9 32 考向 1与长度(角度)有关的几何概型 1几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为 几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的特点 (1)无限性：即在一次试验中，基本事件的个数是无限的 (2)等可能性：即每个基本事件发生的可能性是相等的 3几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A). 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果

25、所构成的区域长度（面积或体积） (1)(2014湖南，5)在区间2，3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为() A. B. 4 5 3 5 C. D. 2 5 1 5 (2)(2015云南昆明调研，13)如图，在ABC 中，B60，C45，高 AD，在BAC 内3 作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率为_ 【解析】(1)这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总体长度为 5，使得“X1”的长度 为 3，因此 P(X1) . 3 5 (2)B60，C45，BAC75， 在 RtADB 中，AD，B60，BD1，BAD30. 3 AD tan 60 记事件 N 为“在BAC

26、内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1” ，则可得BAMBAD 时事件 N 发生 由几何概型的概率公式得 P(N) . 30 75 2 5 【答案】(1)B(2)2 5 【点拨】解答本题的思路是先正确选择事件区域的几何度量(长度、角度)，再根据已知条件求出 各区域长度或角度，最后根据几何概型的概率计算公式求解 与长度、角度有关的几何概型概率的求法 (1)设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点，点落在线段 l 上的概率为 P. l的长度 L的长度 (2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且 不可用线段代替，这是两种不同的度

27、量手段 与长度或角度有关的几何概型，有时题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查 (1)(2013福建，14)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10” 发生的 概率为_ (2)(2014湖北黄冈质检，15)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 作 射线 CM 交 AB 于 M，则使得 AM 小于 AC 的概率为_ (1)【解析】由题意知 0a1，事件“3a10” 发生时，a 且 a0，取区间 1 3 长度为测度，由几何概型的概率计算公式得其概率 P . 1 3 1 1 3 【答案】1 3 (2)【解析】当 AMAC 时，ACM 为以A 为顶点的等

28、腰三角形，ACM67.5. 18045 2 当ACM67.5时，AMAC， 所以所求概率 P . ACM的度数 ACB的度数 67.5 90 3 4 【答案】3 4 考向 2与面积(体积)有关的几何概型 (1)(2014辽宁，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC 1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是() A. B. C. D. 2 4 6 8 (2)(2015河北保定联考，13)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心， 在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于

29、 1 的概率为_ 【解析】(1)设“质点落在以 AB 为直径的半圆内”为事件 A，则 P(A) S半圆 S 长方形 1 2 12 1 2 . 4 (2)如图，与点 O 距离等于 1 的点的轨迹是一个半球面，其体积 V1 13. 1 2 4 3 2 3 事件“点 P 与点 O 距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 23， 2 3 根据几何概型概率公式得，点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P1. 23 2 3 23 12 【答案】(1)B(2)1 12 【点拨】解答本题的关键是正确选择事件区域的几何度量(面积、体积)，求出度量值 应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总

30、区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量 (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件， 然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述， 则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件， 利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型 (2013陕西，5)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号 的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无

31、其他信号来源，基站工作正常)若在 该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是() A1 B.1 C2 D. 4 2 2 4 【答案】A依题意知，有信号区域的面积为2，矩形区域的面积为 2，故无信号的概率 P 4 2 1，故选 A. 2 2 2 4 1(2015福建南平二模，3)设 P 在0，5上随机地取值，则关于 x 的方程 x2px10 有实数根的 概率为() A. B. C. D. 1 5 2 5 3 5 4 5 【答案】C方程有实根，则 p240，解得 p2 或 p2(舍去)故所求概率为 . 52 50 3 5 故选 C. 2(2015北京海淀一模，3)如图，在边长为 a 的正方

32、形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内 的豆子数分别为 m，n，则图形 面积的估计值为() A. B. C. a2 D. a2 ma n na m m n n m 【答案】C设图形 的面积为 S，则 ，故 S a2，故选 C. S a2 m n m n 3(2015湖南永州一模，3)已知AOB60，在AOB 内随机作一条射线 OC，则AOC 小于 15 的概率为() A. B. C. D. 1 4 1 2 3 4 1 3 【答案】A全部的区间角度为 60， “AOC 小于 15”为事件 A，则满足 A 的区间角度为 15 ，由几何概型概率的计算公式可得，P(A) ，故选 A. 15 60 1

33、 4 4(2015福建泉州一模，6)在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆 x2y2 x 0， y 0， xy 2) 1 内的概率是() A. B. C. D. 2 4 8 16 【答案】B作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的ABO 及其内部，其 x 0， y 0， xy 2) 中 A(，0)，B(0，)22 所求概率为 P，故选 B. 1 4S 圆 S AOB 1 4 1 2 1 2 2 2 4 5(2014北京昌平二模，5)设不等式组表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一 x2y2 0， x 4， y 2 ) 个点，则此点到直线 y20 的距离大于 2 的概率是() A.

34、 B. C. D. 4 13 5 13 8 25 9 25 【答案】D作出平面区域 D，可知平面区域 D 是以 A(4，3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的 三角形区域，当点在AED 区域内时，点到直线 y20 的距离大于 2. P，故选 D. S AED S ABC 1 2 6 3 1 2 10 5 9 25 6(2014湖北荆门二模，5)在长度为 3 的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段 的长大于 1 的概率为() A. B. C. D. 1 3 2 3 1 9 5 9 【答案】A设三条线段的长分别为 x，y，3xy，则总体样本空间为其面积为 ， 0 x 3， 0 y

35、3， xy 3， ) 9 2 恰有两条线段的长大于 1 的事件的空间为或或 x1， y1) x1， 3xy1) y1， 3xy1，) 其面积为 ，则所求概率为 P . 3 2 3 2 9 2 1 3 7 (2014辽宁大连二模， 14)在长为 16 cm 的线段 AB 上任取一点 M， 并以线段 AM 为一边作正方形， 则此正方形的面积介于 25 cm2与 81 cm2之间的概率为_ 【解析】根据题意，设 AM 的长为 x cm，则 25x281. 5x9，说明 M 点在离 A 点 5 cm 到 9 cm 之间时，满足条件，故所求概率只与 M 点的位置有关 P . 95 16 1 4 【答案】

36、1 4 思路点拨：解答本题的关键是找准几何度量是长度而非面积 8(2015湖南邵阳一模，13)有一个边长为 2 的正六边形墙洞，一个蜘蛛编制了一个近似为内切圆的 蛛网，蚊子只有蛛网边缘与洞壁间的间隙处才能飞过，则飞过此洞的蚊子被捕食的概率为_ 【解析】正六边形的边长为 2， 所以面积为 6 26， 其内切圆的半径为， 面积为 3 1 2 333 .所以飞过此洞的蚊子被捕食的概率为. 3 6 3 3 6 【答案】 3 6 9(2014湖北咸宁质检，15)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB，BC1，在DAB 内任作射线3 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为_ 【解析】当点 P 在

37、 BC 上时，AP 与 BC 有公共点，此时 AP 扫过ABC， 所以 P . BAC BAD 30 90 1 3 【答案】1 3 (时间：90 分钟_分数：120 分) 一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1(2014山东潍坊三模，5)连续抛掷 2 颗骰子，则出现朝上的点数之和等于 6 的概率是() A. B. C. D. 5 36 5 66 1 11 5 11 【答案】A连续抛掷 2 颗骰子，向上的点数共有 36 种不同的结果设“朝上的点数之和等于 6” 为事件 A，A 对应(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共 5 种情况，则 P(A)，故

38、选 A. 5 36 2(2013课标，3)从 1，2，3，4 中任取 2 个不同数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 () A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 6 【答案】B从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，有1，2，1，3，1，4，2，3，2，4， 3，4共有 6 种取法构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2.所以所 求概率 P ，故选 B. 2 6 1 3 3(2015河北石家庄质检，3)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则使关于 x 的一元二次方 程 x2xa0 无实根的概率为() A. B. C. D.

39、 1 2 1 4 3 4 2 3 【答案】C要使关于 x 的一元二次方程 x2xa0 无实根，需 14a0，解得 a ，由几 1 4 何概型的定义可知所求概率 P ，故选 C. 11 4 10 3 4 4(2014安徽亳州质检，10)已知集合 M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A 是集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 yx21 有交点的概率是() A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 8 【答案】C直线 OA 的方程为 y x，直线 OA 与 yx21 有交点，则有解，即 x2 b a yb ax， yx21) b a x10 有解，即40，即 2，

40、满足此条件的点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)共 4 个，而 N 中 b2 a2 b a 所有点有 16 个P ，故选 C. 4 16 1 4 5(2013江西，4)集合 A2，3，B1，2，3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等 于 4 的概率是() A. B. C. D. 2 3 1 2 1 3 1 6 【答案】C从 A，B 中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共 6 种情 况，其中和为 4 的有(2，2)，(3，1)，共 2 种情况，所以所求概率 P ，故选 C. 2 6 1 3 6(2015湖南长沙一模，6)在

41、圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆 的内接等边三角形的边长概率为() A. B. C. D. 1 4 1 3 1 2 3 2 【答案】C如图所示，BCD 是圆内接等边三角形，过直径 BE 上任一点作垂直于直径的弦， 设大圆的半径为 2，则等边三角形 BCD 的内切圆的半径为 1，要使弦长大于 CD 的长，就必须使圆心 O 到弦的距离小于|OF|，记事件 A弦长超过圆内接等边三角形的边长弦中点在内切圆内， 由几何概型概率公式得 P(A) ，故选 C. 1 2 2 2 1 2 7(2011浙江，8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至

42、少有 1 个白 球的概率是() A. B. C. D. 1 10 3 10 3 5 9 10 【答案】D方法一(直接法)：所取 3 个球中至少有 1 个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白 有 6 种取法 ； 一红两白有 3 种取法，而从 5 个球中任取 3 个球的取法共有 10 种，所以所求概率为，故 9 10 选 D. 方法二(间接法)：至少有 1 个白球的对立事件为所取 3 个球中没有白球，即只有 3 个红球，共 1 种 取法，故所求概率为 1，故选 D. 1 10 9 10 8 (2014湖北随州三模， 8)已知实数 x1， 1， y0， 2， 则点 P(x， y)落在区域 2xy2

43、0， x2y1 0， xy2 0 ) 内的概率为() A. B. C. D. 3 16 3 8 3 4 1 2 【答案】B如图所示，(x，y)在矩形 ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为AEF，因 FG ，所以 SAEF 2 ，由几何概型的概率计算公式，得所求概率为 4 ，故选 B. 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 8 9(2014福建龙岩三模，4)在区间0，上随机取一个数 x，则事件“tan xcos x ” 发生的概率 1 2 为() A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 3 4 【答案】C由 tan xcos x 得 sin x ，解得x，且 x，所以事件“ta

44、n xcos x 1 2 1 2 6 5 6 2 ”发生的概率为 ，故选 C. 1 2 5 6 6 2 3 10(2015安徽示范高中联考，7)我们把形如“1 324”和“3 241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间 隔的数)，由 1，2，3，4 四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率 为() A. B. C. D. 1 2 5 12 1 3 1 4 【答案】B通过画树状图可知由 1，2，3，4 四个数构成的没有重复数字的四位数共有 24 个， 四位数为“锯齿数”的有：1 324，1 423，2 143，2 314，2 413，3 142，3 241，3 412，

45、4 132，4 231， 共 10 个，所以四位数为“锯齿数”的概率为.故选 B. 10 24 5 12 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11(2014湖南郴州高三质检，13)现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为：2.5，2.6，2.7， 2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为_ 【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿的方法数为 10，而满足它们的长度恰好相差 0.3 m 的方法数为 2，即 2.5 和 2.8，2.6 和 2.9.由古典概型的求法得 P . 2 10 1 5 【答案】1 5 12

46、(2014福建莆田三模，13)设 a0，10，则函数 g(x)在区间(0，)内为增函数的概率 a2 x 为_ 【解析】若函数 g(x)在区间(0， )内为增函数， 则 a20， 解得 a2， 又 a0， 10， a2 x 0a2，函数 g(x)在区间(0，)内为增函数的概率为 . a2 x 2 10 1 5 【答案】1 5 13(2014山东青岛三模，14)先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记作 a，b，它们与 5 分 别作为三条线段的长，则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是_ 【解析】基本事件的总数是 36， 当 a1 时，b5 符合要求，有 1 种情况； 当 a2 时，b5 符合要

47、求，有 1 种情况； 当 a3 时，b3，5 符合要求，有 2 种情况； 当 a4 时，b4，5 符合要求，有 2 种情况； 当 a5 时，b1，2，3，4，5，6 均符合要求，有 6 种情况； 当 a6 时，b5，6 符合要求，有 2 种情况 所以三条线段能构成等腰三角形的共有 14 种情况，概率为. 14 36 7 18 【答案】 7 18 14(2015辽宁盘锦联考，14)已知 f(x)，g(x)都是定义在 R 上的函数，g(x)0，f(x)g(x)f(x)g(x)， f(x)axg(x)， ，则关于 x 的方程 abx2x 0(b(0，1)有两个不同实根的概 f（1） g（1） f（1

48、） g（1） 5 2 2 5 2 率为_ 【解析】f(x)axg(x)，ax， f（x） g（x） f(x)g(x)f(x)g(x)，g(x)0， (ax)axln a0， f（x） g（x） 即 ln a0，即 0a1. 又 ， f（1） g（1） f（1） g（1） 5 2 a ，即 a . 1 a 5 2 1 2 关于 x 的方程 abx2x 0(b(0，1)有两个不同实根， 2 5 2 210ab0，即 0b ， 2 5 故所求概率为 . 2 5 1 2 5 【答案】2 5 三、解答题(共 4 小题，共 50 分) 15(12 分)(2014北京海淀二模，16)在一次“知识竞赛”活动中

49、，有 A1，A2，B，C 四道题，其中 A1，A2为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取 一题作答 (1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； (2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率 解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有 16 个：(A1， A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)， (B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C) (1)用 M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同” ，则 M 包含的基本事件有：(A1，A1)， (A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共 6 个，所以 P(M) . 6 16 3 8 (2)用 N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度” ，则 N 包含的基本事件有：(B，A1)， (B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共 5 个，所以 P(