线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第四章.ppt

1、第四章线性方程组,对于含有m个方程，n个未知量的n元线性方程组,如果存在n个数c1,c2,cn ,当,时可使方程组(4.1)的m个等式成立，,则称,为方程组(4.1)的一个解，,一般用n维向量,表示，故也称之为方程组的一个解向量.,对一个n元线性方程组的讨论，需要解决以 下3个问题： (1) 判定方程组是否有解？ (2) 如果方程组有解，它有多少解？ (3) 如何求出方程组的全部解？,第一节 线性方程组解的判定,n元线性方程组的一般形式为,其系数矩阵A和增广矩阵 分别是,A=,(4.1),运用矩阵乘法和向量的线性组合，方程组,又可表示成,称=(b1,b2,bm)T为方程组(4.1)的常数项向量

2、。,或,这里 (j=1,2,n)为系数矩阵 A的列向量.,(4.2),为未知数列向量，,(4.3),证明 先证必要性：,R(A)=R( ),定理1,非齐次线性方程组(4.2): 有解的充分必要条件,R(A)=R( ),从而,因此,.,由(4.3): 式知，,若方程组(4.2)有解，则向量可以由向量组,线性表示,于是,等价，,向量组,与向量组,推论1 n元非齐次线性方程组 无解的,再证充分性：,因为,R(A)=R( ),所以,从而,所以方程组 有解,R(A)R( ),充分必要条件是,接下来的问题是，如果非齐次线性方程组有解， 那么，它的解有多少个?,为此，我们先回顾一下中学代数学过的消元法解线性

3、方程组.,例1 解线性方程组,解 为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的 方程组及其对应的矩阵一并列出：,其中原来的第四个方程化为“0=0”，说明这个方程为原方程组 中的“多余”方程，不再写出，但仍在对应的矩阵中得以体现.,从最后一个方程得到x3=-1,将其代入第二个方程可得到x2=0，,x2=0一起代入第一个方程得到x1=2,因此， x1=2,x2=0,x3=-1.,再将 =1,所求方程组的解为,通常把过程称为消元过程. 我们不难发现，方程组的消元过程实际上就是利用初等 行变换将其增广矩阵化为行阶梯形的过程。 矩阵是行阶梯形矩阵，与之对应的方程组则称为行阶 梯形方程组.,通常把过程称为回

4、代过程. 矩阵是行最简形矩阵， 与之对应的方程组则称为行最简形方程组.,对例1,我们还可以继续化简线性方程组， 直至最后我们能直接“读”出该线性方程组的解：,在上述求解过程中，我们对方程组反复进行了以下3种变换： (1) 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零的数乘以某个方程的两边； (3) 将一个方程的适当倍数加到另一个方程上. 以上3种变换称为线性方程组的初等变换. 可以证明：线性方程组经初等变换后所得方程组 与原方程组同解. 这样，解线性方程组的问题就可以转化为对方程组的增广 矩阵做初等行变换化为行最简型的问题.最后利用行最简型 矩阵来解方程组.,下面用矩阵的初等行变换来求解另外几个

5、 线性方程组，看一下求解中可能出现的其他情况.,例2 将例1中的第四个方程的常数项改为-6,其余方程不变，解方程组,解,=,最后得到的行阶梯形矩阵对应的方程组为,这是一个矛盾方程组，无解. 从而原方程组也无解.,例3 将例1中的第三个方程换成 x1,4x2,x3=3,其余方程不变，解方程组,解,=,因为 ，所以方程组有解.,R(A)=R( ),在上面已得到的行阶梯形矩阵 的基础上继续回代，即,得与原方程组同解的方程组,令 =k(k为任意常数),则原方程组的全部解可表示为,或,上述两种形式的解均称为方程组的通解（或一般解）. 显然 此时方程组有无穷多解.,就其原因，是因为,R(A)=R( ),未

6、知量的个数.,定理2 n元非齐次线性方程组(4.2),(2) 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(,)n.,通过这3个例子可以看出，对于线性方程组有解的情形 (例1和例3)有,(1) 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(,)=n;,推论2 n元齐次线性方程组(4.4) (1) 仅有零解的充分必要条件是R(A)=n; (2) 有非零解的充分必要条件是R(A)n.,齐次线性方程组,或 AX=0, 或 x11+x22+xnn=0, 其中0=(0,0,0)T.称齐次方程组(4.4)为非齐次方程组 (4.2)的导出组或相伴组,(4.4),例1 试问为何值时，线性方程组,有唯一解，有无穷多个解，无

7、解？,施行初等行变换,2时，R(A)=2,)=13,方程组有无穷多个解；,方程组无解.,当=1时，R(A)=R(,当=,R( )=3,解 对增广矩阵,)=3，方程组有唯一解；,-2时，R(A)=R(,当1且,24,例2 已知线性方程组 ，则a,b为何值时方程组,有解，有解时，求出方程组的解.,解,25,当a=0,b=1时方程组有无穷多解.,例3 证明线性方程组,有解的充分必要条件是 . 在有解的情况下，求出它的通解.,证明 对增广矩阵,施行初等行变换：,=,因为,当且仅当,时 R(A)=R(,),所以方程组有解的充分必要条件是,在有解的情况下，原方程组等价于方程组,即,取 = k (k为任意常

8、数),得通解,复习:,有解,R(A)=R( ),R(A)=R( )=n,R(A)=n,R(A)n,R(A)=R( )n,R(A)R( ),无解,有唯一解,有无穷多解,只有零解,有非零解,第二节 线性方程组解的结构,性质1 若1,2是AX=0的解，则1+2仍是AX=0的解.,若是AX=0的解，则对任意常数k,k仍是,AX=0的解.,一、齐次线性方程组解的结构,由性质1，2可知，若 均为AX=0的解，,( 为任意常数),因此，齐次线性方程组AX=0的全体,解向量构成 的向量,子空间，称为AX=0,也是AX=0的解.,组（简称解向量组）是R 的一个,的解空间.,性质2,则它们的线性组合,n,既然齐次

9、线性方程组的解向量组构成一个线性 空间(解空间)，那么，当齐次线性方程组有非零 解时，只要能求得解空间的一组基,就可以通 过这组基来表示出方程组的全部解(即通解)， 同时也就掌握了该方程组解的结构.,为此，引入,若,为齐次线性方程组AX=0的,解空间的一组基，则称,的一个基础解系 。,定理2,设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩,R(A)=r n ,则存在n-r个线性无关的解向量,它们构成方程组AX=0的基础解,系，且方程组的通解可表示为,(4.6),定义1,为该方程组,(1)线性方程组与其增广矩阵一一对应；如,在证明定理之前，我们回顾如下两个问题:,(2)用消元法解线性方程组等价于

10、对相应增广矩阵进行初等行变换: 如,把过程称为消元过程.矩阵是行 阶梯形矩阵，与之对应的方程组称为行阶梯形方程组,我们还可以继续化简线性方程组，直至最后我们能直 接“读”出该线性方程组的解：,通常把过程称为回代 过程. 矩阵是行最简形矩阵， 与之对应的方程组则称为 行最简形方程组.,接下来证明定理2,证明 已知A=(aij)mn的秩为r.不失一般性，可设A的 左上角的r阶子式不为零,则对齐次线性方程组 AX=0的增广矩阵,进行初等行变换，化成行最,简形矩阵,(4.7),于是得行最简形方程组,任给自由未知量 一组值, 就唯一决定主 未知量 的一组值,从而得到方程组 的一个解.,r个自由未知量分别

11、取下述n,r组值：,则依次可得到方程组的n,r个解:,.,可以证明:,就是方程组AX=0的 一个基础解系.,现将n,下面证明：1,2,n-r就是方程组AX=0的一个基础解系. 为此，先证明1,2,n-r线性无关，然后证明方程组 AX=0的任意一个解，均可表示为1,2,n-r的线性组合. 注意到1,2,n-r的后n,1,2,线性无关.故向量组,r个分量组成的n-r个n维向量,n-r也线性无关.,设 为方程组AX=0的任意一个解向量，,则它应满足(4.7)式，即有,用向量的形式表示上述结果，有,即,，这就说明方程组的,任意一个解都可由 线性表示.定理得证.,方程组的任意解都可以由基础解系线性表示.

12、,它的基础解系所含向量的个数为n-r (R(A)=r),且,于是得齐次线性方程组解的结构:,如果齐次线性方程组 有非零解，则,二、非齐次线性方程组解的结构,性质3,若是AX=的解，是AX=0的解，则+,是AX=的解.,性质4,若1,2都是AX =的解，则1 2是AX=0的解.,-,定理3,设n元非齐次线性方程组AX=满足,并设*是它的一个解(一般称*为,特解), 是导出组AX=0的一个基础解,系，则方程组AX=的通解可表示为,其中k1,k2,kn-r为任意常数.,R(A)=R( )=rn,(4.8),证明 设X是AX=的任意一个解，由于X与*都是方程组 AX=的解，由性质2知X-,*是其导出组

13、AX=0的解，,*可由方程组AX=0的基础解系1,2,n-r 线性表示，即存在常数k1,k2,kn-r，使 X-*=k11+k22+kn-rn-r.,x-,因此AX=的任意解X可表示为(4.8)的形式,第三节解线性方程组,.,得行最简形方程组,例1 求齐次线性方程组,的一个基础解系与通解,解 对增广矩阵作初等行变换，化为行最简形矩阵，有,令,则对应有,即得原方程组的一个基础解系,并由此得原方程组的通解,例2,解方程组,解,因为,R(A)=3,R(,)= 4,所以，方程组无解,=,例3 解方程组,解,=,因为,R(A)=2=,R( )3,所以方程组有无穷多个解。,得行最简形方程组,令x3=k (

14、k为任意常数),则原方程组的通解为,或,从而有,令x2=k (k为任意常数),则原方程组的通解可表示为,实际上，也可将 作为自由未知量:,或,例4 解线性方程组,解 对增广矩阵,施行初等行变换，化为行最简形矩阵：,可见R(A)=R(,)=24,故方程组有无穷多个解.,行最简形方程组为,，则原方程组的通解可表示为,分别取,或, 3=,求方程组的通解.,1个向量，于是导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系， 显然,-23=,是导出组的非零解，故方程组AX=的通解为 X=3+k (k为任意常数).,=,例5 设四元非齐次线性方程组AX=的系数矩阵A的秩为3， 且 是它的3个解，其中,解 因为R(A

15、)=34,所以AX=的导出组的基础解系含,=,例 6 设A,B分别是mn和ns矩阵，且AB=O, 证明 R(A)+R(B)n.,证明 将B按列分块为B=( )，,由 AB=O 得,A =0(j=1,2,s),即 B的每一列都是AX=0的解.,若B=O,则显然有R(A)+R(B)n.,若BO,则方程组AX=0有非零解，此时AX=0的基础 解系含n,-R(A)个解，即AX=0的任何一组解中至多含,n-R(A)个线性无关的解，因此,R(B)=R(1,2,n)n,-R(A),故R(A)+R(B)n.,7. 设矩阵,求一个42矩阵B，使AB=O，且R(B)=2.,解 设,，由,得,即,可见，,是方程组,

16、的两个解,是方程组,于是，问题就转化为求解方程组,又 ,的两个线性无关的解。,取,即为所求。,8. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为,1,=(0，1，2，3) ， =(3，2，1，0) .,2,T,T,解 设所求方程组为,不妨设,依题设，,即,故所求方程组为,解 由题设可知,为,的解，,，所以,的基础解为所含,为,的基础解系 ，于是 的通解为,又因为,向量个数为,，故,9. 设n阶矩阵A各行的元素之和均为零，且R(A)=n-1，,求齐次线性方程组AX=0的通解.,10. 设四元线性方程组（）：,又知齐次线性方程组（）的通解为,问线性方程组（）与（）是否有非零公共解？ 若有，则求出非零公共

17、解；若没有，则说明理由.,解 的通解为,令,即,满足方程组,所以,是所求非零的公共解,方程组 有非零解,显然,12. 已知四阶方阵A=(1，2，3，4)，1，2， 3，4均为四维向量，其中2，3，4线性无关， 1=22,-3. 如果=1+2+3+4，,求线性方程组AX=的通解.,解 由题设知，方程组,的基础解系含一个解向量,可见,是方程组,的基础解系,由,知，,即,可见,为它的一个解，,线性无关。,从而,为 的一个特解。,的通解为,故,13. 设*是非齐次线性方程组AX=的一个解， 1，2，n,（1） *，1，2，n,（2） *，*+1，*+n,-r线性无关.,一个基础解系，证明,-r是对应的齐次线性方程组的,-r线性无关；,证（）假设,可由向量组,是方程组,线性无关,*，1，2，n,r,*,从而,线性表示,-r线性相关,*,的解。,与已知,*是AX= 的解矛盾。,（）设,又,从而,故,线性无关,线性无关,14. 设n元非齐