高三数学总复习学案12

1、学案学案 12函数模型及其应用函数模型及其应用 导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增 长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分 段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 自主梳理 1三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 yax(a1) ylogax (a1) yxn(n0) 在(0，) 上的 单调性 增长速度 图象的变化 随 x 增大逐渐表现为与 _平行 随 x 增大逐渐表现为与 _平行 随 n 值变化而不同 2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数 yax (a1)与幂函数 y

2、xn (n0) 在区间(0，)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax会小于 xn，但由于 y ax的增长速度_yxn的增长速度，因而总存在一个 x0，当 xx0时有_ (2)对数函数 ylogax(a1)与幂函数 yxn (n0) 对数函数 ylogax(a1)的增长速度， 不论 a 与 n 值的大小如何总会_yxn的增长 速度，因而在定义域内总存在一个实数 x0，使 xx0时有_ 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同 一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个 x0，使 xx0时有_ 3函数模型的应用实例的基本题型 (1)

3、给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题 4函数建模的基本程序 自我检测 1下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是() AvexBv100ln x 1 100 Cvx100Dv1002x 2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位 ： 万元)分别为 L15.06x0.15x2和 L22x，其中 x 为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利 润为() A45.606B45.6 C45.56D45.51 3(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人 数除以

4、10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间 的函数关系用取整函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为() AyBy x 10 x3 10 CyDy x4 10 x5 10 4(2011湘潭月考)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是 ： 前三年年产量的增长速度越来 越快，后三年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图 象正确的是() 5一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血 液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安

5、全法 规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员， 至少经过_小时，才能开车？(精确到 1 小时) 探究点一一次函数、二次函数模型 例 1 (2011阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成 本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y 48x8 000，已知此生 x2 5 产线年产量最大为 210 吨 (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？ 变式迁移 1某租赁公司

6、拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租 出当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维 护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 探究点二分段函数模型 例 2 据气象中心观察和预测 ： 发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h) 的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左

7、侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) (1)当 t4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向， 且距 M 地 650 km， 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城， 如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由 变式迁移 2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙 两户该月用水量分别为 5x,3x(吨) (1)求 y 关于 x 的函数； (2)若

8、甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费 探究点三指数函数模型 例 3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成 6 份，奖励给分别在 6 项 (物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放 奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐 年增加 假设基金平均年利率为 r6.24%.资料显示 ： 1999 年诺贝尔奖发放后基金总额约为 19 800 万美元设 f(x)表示第 x(xN*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1)，2000 年 记为 f(2)，依次类推)

9、(1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3)，并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式； (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻 “2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元” 是否为真，并说明理由 (参考数据：1.031 291.32) 变式迁移 3(2011商丘模拟)现有某种细胞 100 个， 其中有占总数 的细胞每小时分裂一 1 2 次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超 过 1010个？ (参考数据：lg 30.477，lg 20.301) 1解答应用问题的程序概括为“四步八字” ，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结

10、论， 理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义 2考查函数模型的知识表现在以下几个方面： (1)利用函数模型的单调性比较数的大小； (2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式； (3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函 数中的一个近似地表示这些数据的

11、规律，其中最接近的一个是() X1.953.003.945.106.12 Y0.971.591.982.352.61 A.y2xBylog2x Cy (x21)Dy2.61cos x 1 2 2拟定甲地到乙地通话 m 分钟的电话费 f(m)1.06(0.5m1)(单位：元)，其中 m0，m表示不大于 m 的最大整数(如3.72)3，44)，当 m0.5,3.1时，函数 f(m)的值 域是 () A1.06,2.12,3.18,4.24 B1.06,1.59,2.12,2.65 C1.06,1.59,2.12,2.65,3.18 D1.59,2.12,2.65 3(2011秦皇岛模拟)某商店出售

12、 A、B 两种价格不同的商品，由于商品 A 连续两次提价 20%，同时商品 B 连续两次降价 20%，结果都以每件 23 元售出，若商店同时售出这两种商 品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 () A多赚约 6 元B少赚约 6 元 C多赚约 2 元D盈利相同 4国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版 一本书，共纳税 420 元，这个人应得稿费(扣税前)为() A4 000 元B3 800 元 C4 200 元D3 600

13、元 5 (2011沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本， 某企业一个月生产某 种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) x22x20(万元)一万件售价是 20 万元，为获取更大 1 2 利润，该企业一个月应生产该商品数量为 () A18 万件B20 万件 C16 万件D8 万件 题号12345 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b,2009 年产生的垃圾量为 a t，由此 预测，该区下一年的垃圾量为_t,2014 年的垃圾量为_t. 7(2010金华十校 3 月联考)有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此批

14、材料在 一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)， 则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计) 8 已知每生产 100 克饼干的原材料加工费为 1.8 元 某食品加工厂对饼干采用两种包装， 其包装费用、销售价格如下表所示： 型号小包装大包装 重量100 克300 克 包装费0.5 元0.7 元 销售价格3.00 元8.4 元 则下列说法中正确的是_(填序号) 买小包装实惠；买大包装实惠；卖 3 小包比卖 1 大包盈利多；卖 1 大包比卖 3 小包盈利多 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2010湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机 x 台，根

15、据企业月度报表知， 每月总产值 m(万元)与总支出 n(万元)近似地满足下列关系：m x ，n x25x ， 9 2 1 4 1 4 7 4 当 mn0 时，称不亏损企业；当 mnxn(2)慢于logaxxnlogax 自我检测 1A由 e2，知当 x 增大时，ex增大更快 1 100 2B依题意，可设甲销售 x 辆，则乙销售(15x)辆， 总利润 S5.06x0.15x22(15x) 0.15x23.06x30 (x0) 当 x10 时，Smax45.6(万元) 3 B每 10 个人可以推选 1 个， (xmod 10)6 可以再推选一个， 即如果余数(xmod 10)7 相当于给 x 多加

16、了 3，所以可以多一个 10 出来 4A 55 解析设 x 小时后，血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL， 则有 0.3 x0.09，即x0.3. ( 3 4 )( 3 4 ) 估算或取对数计算，得 5 小时后，可以开车 课堂活动区 例 1 解(1)每吨平均成本为 (万元) y x 则 48 y x x 5 8 000 x 24832， x 5 8 000 x 当且仅当 ，即 x200 时取等号 x 5 8 000 x 年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元 (2)设年获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)40 xy40 x 48x8 000 x2 5 88x8 0

17、00 x2 5 (x220)21 680(0 x210) 1 5 R(x)在0,210上是增函数， x210 时，R(x)有最大值为 (210220)21 6801 660. 1 5 年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元 变式迁移 1解(1)租金增加了 600 元，所以未租出的车有 12 辆，一共租出了 88 辆 (2)设每辆车的月租金为 x 元(x3 000)，租赁公司的月收益为 y 元， 则 yx50 (100 x3 000 50 ) x3 000 50 150 (100 x3 000 50 ) 162x21 000 x2 50 (x4 050)2307 050， 1

18、50 当 x4 050 时，ymax307 050. 答当每辆车月租金定为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大为 307 050. 例 2 解(1)由图象可知： 当 t4 时，v3412(km/h)， s 41224(km) 1 2 (2)当 0t10 时，s t3t t2， 1 2 3 2 当 10t20 时，s 103030(t10)30t150； 1 2 当 20t35 时，s 10301030(t20)30 (t20)2(t20)t270t 1 2 1 2 550. 综上，可知 SError! (3)t0,10时，smax 102150650， 3 2 t(10,20时，sm

19、ax3020150450650， 当 t(20,35时，令t270t550650. 解得 t130，t240.204 时，y41.8 3x1.83(5x4)20.4x4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时， y241.83(3x4)(5x4)24x9.6. 所以 yError! (2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增， 当 x时，yf26.4； 0， 4 5 ( 4 5 ) 当 x时，yf1010，得( )x108， 3 2 3 2 两边取以 10 为底的对数， 得 xlg 8，x， 3 2 8 lg 3lg 2 45.45， 8 lg 3lg 2 8 0.4770.301

20、x45.45. 答经过 46 小时，细胞总数超过 1010个 课后练习区 1B通过检验可知，ylog2x 较为接近 2B当 0.5m1 时，m0，f(m)1.06； 当 1m2 时，m1，f(m)1.59； 当 2m3 时，m2，f(m)2.12； 当 3m3.1 时，m3，f(m)2.65. 3B设 A、B 两种商品的原价为 a、b， 则 a(120%)2b(120%)223 a，b，ab466 元 23 25 36 23 25 16 4B设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 yError! 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元， 现知某人共纳税 420 元， 所以稿费应在 8004 000 元之间， (x800)14%420，x3 800. 5A利润 L(x)20 xC(x) (x18)2142， 1 2 当 x18 时，L(x)有最大值 6a(1b)a(1b)5 解析由于 2009 年的垃圾量为 a t， 年增长率为 b， 故下一年的垃圾量为 aaba(1b) t，同理可知 2011