高三数学总复习学案68

1、学案学案 68离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 导学目标导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散 型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 自主梳理 1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值 称 E(X) _ 为 随 机 变 量 X 的 均 值 或 _，它反映了离散型随机变量取值的_ (2)方差 称 D(X)_为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与 其均值 E(X)的_，其_为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)_. (

2、2)D(aXb)_.(a，b 为实数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)_. (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)_. 自我检测 1若随机变量 X 的分布列如下表，则 E(X)等于() X012345 P2x3x7x2x3xx A. B. C. D. 1 18 1 9 20 9 9 20 2(2011菏泽调研)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)2.4，D(X)1.44，则二项 分布的参数 n，p 的值为() An4，p0.6 Bn6，p0.4 Cn8，p0.3 Dn24，p0.1 3(2010全国)某种种子每粒发芽的

3、概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的 种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为() A100 B200 C300 D400 4(2011浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简 历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三 2 3 个公司是否让其面试是相互独立的，记 X 为该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0) ，则随机变量 X 的数学期望 E(X)_. 1 12 5(2011杭州月考)随机变量 的分布列如下： 101 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列若 E() ，则 D

4、()_. 1 3 探究点一离散型随机变量的期望与方差 例 1 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n 1,2,3,4)现从袋中任取一球， 表示所取球的标号 (1)求 的分布列、期望和方差； (2)若 ab，E()1，D()11，试求 a，b 的值 变式迁移 1编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个 座位，设与座位编号相同的学生的个数是 X. (1)求随机变量 X 的分布列； (2)求随机变量 X 的数学期望和方差 探究点二二项分布的期望与方差 例 2 (2011黄山模拟)A、B 是治疗同一种疾病的两

5、种药，用若干试验组进行对比试 验每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效若在 一个试验组中， 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组 设 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 2 3 1 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期 望 变式迁移 2某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 1 3 (1)求这名学生

6、在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 探究点三离散型随机变量期望与方差的应用 例 3 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买 保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了 这种保险， 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1. 4 10 0.999 (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p； (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不 小

7、于 0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元) 变式迁移 3因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树 的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前 的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量 的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾 前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产 量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方

8、案第一年与第二年相互独立，令 i(i 1,2)表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数 (1)写出 1、2的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ (3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计 利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元问实施哪种方案的平均利润更大？ 1若 ab，则 E()aE()b，D()a2D() 2若 B(n，p)，则 E()np，D()np(1p) 3求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期 望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量 的

9、期望、方差，求 的线性函数 ab 的期望、方差和标准差，可直接用 的期望、方差的性质求解 ； (3) 如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它 们的期望、方差公式求解 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011福州质检)已知某一随机变量 的概率分布列如下，且 E()6.3，则 a 的值为 () 4a9 P0.50.1b A.5 B6 C7 D8 2设 B(n，p)，若有 E()12，D()4，则 n、p 的值分别为() A18， B16， C20， D15， 2 3 1 2 1 6 1 4 3随机变量 X 的分布列为 X1

10、24 P0.40.30.3 则 E(5X4)等于() A15 B11 C2.2 D2.3 4设掷 1 枚骰子的点数为 ，则() AE()3.5，D()3.52 BE()3.5，D()35 12 CE()3.5，D()3.5 DE()3.5，D()35 16 5(2011成都调研)已知抛物线 yax2bxc (a0)的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a、 b、c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量 为“|ab|的取值” ，则 的数学期望 E()为() A. B. C. D. 8 9 3 5 2 5 1 3 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6(2011上海)马老师从课本

11、上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表： x123 P(x)？！？ 请小牛同学计算 的数学期望尽管“！” 处完全无法看清，且两个“？” 处字迹模糊， 但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E()_. 7(2011泰安模拟)设离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4.P(Xk)akb(k 1,2,3,4)又 X 的均值 E(X)3，则 ab_. 8两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E(X) _. 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工 资级别公司准备

12、了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料， 另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料若 4 杯 都选对，则月工资定为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2 800 元；否则月工资定 为 2 100 元令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能 力 (1)求 X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望 10(12 分)(2011山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的

13、概率分别为 0.6,0.5，0.5.假设 各盘比赛结果相互独立 (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E() 11(14 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调 1 6 1 2 1 3 整中，价格下降的概率都是 p(0p1)设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，记 乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ，对乙项目投资十万元， 取 0、1、2 时，一年后 相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.

14、2 万元随机变量 1、2分别表示对甲、乙两项目各投 资十万元一年后的利润 (1)求 1、2的概率分布和数学期望 E(1)、E(2)； (2)当 E(1)E(2)时，求 p 的取值范围 学案学案 68离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 自主梳理 1(1)x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(2) (xiE(X)2pi平均 n i1 偏离程度算术平方根2.(1)aE(X)b(2)a2D(X)DX 3(1)pp(1p)(2)npnp(1p) 自我检测 1C2.B3.B 4.5 3 解析由题意知 P(X0) (1p)2，p . 1 3 1 12 1 2 随机变量 X 的分

15、布列为： X0123 P 1 12 1 3 5 12 1 6 E(X)01 23 . 1 12 1 3 5 12 1 6 5 3 5.5 9 课堂活动区 例 1 解题导引要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个 值的概率， 而求概率离不开常见事件概率的计算方法 第(2)小题注意性质 E(ab)aE() b，D(ab)a2D()的应用 解(1) 的分布列为 01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E()0 1234 1.5. 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 D()(01.5)2 (11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)2 2.7

16、5. 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 (2)由 D()a2D()，得 a22.7511，即 a2. 又 E()aE()b， 所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2； 当 a2 时，由 121.5b，得 b4. Error!或Error! 变式迁移 1解(1)P(X0) ； 2 A3 3 1 3 P(X1) ；P(X3) . C1 3 A3 3 1 2 1 A3 3 1 6 随机变量 X 的分布列为 X013 P 1 3 1 2 1 6 (2)E(X)0 1 3 1. 1 3 1 2 1 6 D(X)(10)2 (11)2 (31)2 1. 1 3 1 2 1 6 例 2 解

17、题导引(1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用 几个互斥的基本事件的和来表示； (2)第(2)小题首先判断随机变量 服从二项分布，再求其分布列和均值 解(1)设 Ai表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ，i0,1,2， Bi表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ，i0,1,2. 依题意有 P(A1)2 ，P(A2) . 1 3 2 3 4 9 2 3 2 3 4 9 P(B0) ，P(B1)2 . 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 所求的概率为 PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2) . 1 4 4 9 1

18、 4 4 9 1 2 4 9 4 9 (2) 的可能值为 0,1,2,3，且 B. (3， 4 9) P(0) 3 ， ( 5 9 ) 125 729 P(1)C 2 ， 1 3 4 9 ( 5 9 ) 100 243 P(2)C 2 ， 2 3 ( 4 9 ) 5 9 80 243 P(3) 3 . ( 4 9 ) 64 729 的分布列为 0123 P 125 729 100 243 80 243 64 729 数学期望 E()0123 . 125 729 100 243 80 243 64 729 4 3 变式迁移 2解(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A.因

19、为事件 A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红 灯” ，所以事件 A 的概率为 P(A) . (1 1 3) (1 1 3) 1 3 4 27 (2)由题意可得， 的可能取值为 0,2,4,6,8(单位：min)事件“2k”等价于事件“该 学生在上学路上遇到 k 次红灯”(k0,1,2,3,4)，所以 P(2k)C k4k (kk 4(1 3 )( 2 3 ) 0,1,2,3,4) 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 所以 的期望是 E()02468 . 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81

20、8 3 例 3 解题导引各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p，投保人中出险人 数 B(104，p)，进而利用二项分布的有关性质求解 解各投保人是否出险互相独立， 且出险的概率都是 p， 记投保的 10 000 人中出险的人 数为 ，则 B(104，p) (1)记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则 发生当且仅当 A 0， P(A)1P( )1P(0)1(1p)104，A 又 P(A)10.999104，故 p0.001. (2)该险种总收入为 10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 10 00050 000. 盈利 10 000a(10 0

21、0050 000)， 盈利的期望为 E()10 000a10 000E()50 000， 由 B(104,103)知，E()10 000103， E()104a104E()5104 104a1041041035104. E()0104a1041051040 a1050a15(元) 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 变式迁移 3解(1)1的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.25， 2的所有取值为 0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. 1、2的分布列分别为： 10.80.91.01.1251.25 P0.20.150.350.150.15 20.80.961.01

22、.21.44 P0.30.20.180.240.08 (2)令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， P(A)0.150.150.3， P(B)0.240.080.32. 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 (3)令 表示方案 i 的预计利润，则 1101520 P0.350.350.3 2101520 P0.50.180.32 所以 E(1)14.75，E(2)14.1， 可见，方案一的预计利润更大 课后练习区 1C由分布列性质知：0.50.1b1， b0.4. E()40.5a0.190.46.3. a7. 2AE()np12，D()np(1p)

23、4. 1p ，p ，n18. 4 12 1 3 2 3 3AE(X)10.420.340.32.2， E(5X4)5E(X)411415. 4BE()1 2 3 4 5 6 3.5， 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 D() (13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)2(53.5)2(63.5)2. 1 6 35 12 5A对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2C C C 126 条， 的可取值有 1 31 31 7 0、1、2，P(0) ，P(1) ，P(2) ， 6 7 126 1 3 8 7 126 4 9 4 7 126 2 9 E()0 1

24、 2 . 1 3 4 9 2 9 8 9 62 解析设“？”处的数值为 x，则“！”处的数值为 12x，则 E()1x2(12x)3xx24x3x2. 7. 1 10 解析离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4. P(Xk)akb (k1,2,3,4)，所以 (ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即 10a4b1， 又 X 的均值 E(X)3， 则(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3， 即 30a10b3， a，b0， 1 10 ab. 1 10 8.2 3 解析由题意知 XB，E(X)2 . (2， 1 3) 1 3 2 3 9解(1)X 的所有可能取值为 0,1,2

25、,3,4.(2 分) P(Xi)(i0,1,2,3,4)(4 分) Ci 4C4i 4 C4 8 即 X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 (6 分) (2)令 Y 表示此员工的月工资，则 Y 的所有可能取值为 2 100，2 800,3 500.(8 分) 则 P(Y3 500)P(X4)， 1 70 P(Y2 800)P(X3)， 8 35 P(Y2 100)P(X2). 53 70 E(Y)3 5002 8002 1002 280.(10 分) 1 70 8 35 53 70 所以此员工月工资的期望为 2 280 元(12 分) 10解(1)设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则 ，D EF 分别表示甲不胜 A，乙不胜 B，丙不胜 C 的事件 因为 P(D)0.6，P(E)0.5