同济版高数课件

1、,第五章 定积分 第一节 定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题,1,学习交流PPT,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,2,学习交流PPT,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,3,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,4,学习交流PPT,曲边梯形如图所示，,5,学习交流PPT,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,6,学习交流PPT,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，

2、每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,7,学习交流PPT,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,8,学习交流PPT,二、定积分的定义,定义,9,学习交流PPT,记为,积分上限,积分下限,积分和,10,学习交流PPT,注意：,11,学习交流PPT,定理1,定理2,三、存在定理,12,学习交流PPT,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,13,学习交流PPT,几何意义：,14,学习交流PPT,例1 利用定义计算定积分,解,15,学习交流PPT,例2 利用定义计算定积分,解,16,学习交流P

3、PT,证明,利用对数的性质得,17,学习交流PPT,极限运算与对数运算换序得,18,学习交流PPT,故,19,学习交流PPT,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,20,学习交流PPT,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,21,学习交流PPT,思考题解答,原式,22,学习交流PPT,练 习 题,23,学习交流PPT,练习题答案,24,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,25,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,26,学习交流PPT,

4、观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,27,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,28,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,29,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,30,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,31,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,32,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和

5、与曲边梯形面积的关系,33,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,34,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,35,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,36,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,37,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,38,学习交流PPT,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,39,学习交流PPT,第二

6、节 定积分的性质、中值定理 一、基本内容 二、小结 思考题,40,学习交流PPT,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,41,学习交流PPT,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,42,学习交流PPT,证,性质2,43,学习交流PPT,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,44,学习交流PPT,证,性质4,性质5,45,学习交流PPT,解,令,于是,46,学习交流PPT,性质5的推论：,证,（1）,47,学习交流PPT,证,说明： 可积性是显然的.,性质

7、5的推论：,（2）,48,学习交流PPT,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,49,学习交流PPT,解,50,学习交流PPT,解,51,学习交流PPT,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,52,学习交流PPT,使,即,积分中值公式的几何解释：,53,学习交流PPT,解,由积分中值定理知有,使,54,学习交流PPT,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,55,学习交流PPT,思考题,56,学习交流PPT,思考题解答,例,57,学习交流PPT,练 习 题,58,学

8、习交流PPT,练习题答案,59,学习交流PPT,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,60,学习交流PPT,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,61,学习交流PPT,证,性质2,62,学习交流PPT,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,63,学习交流PPT,证,性质4,性质5,64,学习交流PPT,解,令,于是,65,学习交流PPT,性质5的推论：,证,（1）,66,学习交流PPT,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,67,学习交流

9、PPT,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,68,学习交流PPT,解,69,学习交流PPT,解,70,学习交流PPT,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,71,学习交流PPT,使,即,积分中值公式的几何解释：,72,学习交流PPT,解,由积分中值定理知有,使,73,学习交流PPT,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,74,学习交流PPT,思考题,75,学习交流PPT,思考题解答,例,76,学习交流PPT,练 习 题,77,学习交流PPT,练习题答案,78,学

10、习交流PPT,第三节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿莱布尼茨公式发 四、小结 思考题,79,学习交流PPT,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,80,学习交流PPT,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,81,学习交流PPT,积分上限函数的性质,证,82,学习交流PPT,由积分中值定理得,83,学习交流PPT,补充,证,84,学习交流PPT,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,85,学习交流PPT,证,86,学习交流PPT,证,令,87,学习交流PPT,定

11、理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,88,学习交流PPT,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,89,学习交流PPT,令,令,牛顿莱布尼茨公式,90,学习交流PPT,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,91,学习交流PPT,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,92,学习交流PPT,例6 求,解,由图形可知,93,学习交流PPT,例7 求,解,解 面积,94,学习交流PPT,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结

12、,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,95,学习交流PPT,思考题,96,学习交流PPT,思考题解答,97,学习交流PPT,练 习 题,98,学习交流PPT,练习题答案,99,学习交流PPT,第四节 定积分的换元积分法 一、换元公式 二、小结 思考题,100,学习交流PPT,定理,一、换元公式,101,学习交流PPT,证,102,学习交流PPT,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,103,学习交流PPT,例1 计算,解,令,104,学习交流PPT,例2 计算,解,105,学习交流PPT,例3 计算,解,原式,106,学习交流PPT,例4 计算,解,令,原式,107,学习交流PP

13、T,证,108,学习交流PPT,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,109,学习交流PPT,证,（1）设,110,学习交流PPT,（2）设,111,学习交流PPT,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,112,学习交流PPT,思考题,解,令,113,学习交流PPT,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,114,学习交流PPT,练 习 题,115,学习交流PPT,练习题答案,116,学习交流PPT,第五节 定积分的分部积分公式 一、分部积分公式 二、小结 思考题,117,学习交流PPT,推导,一、分部积分公式,118,学习交流PPT,例1 计算,解,

14、令,则,119,学习交流PPT,例2 计算,解,120,学习交流PPT,例3 计算,解,121,学习交流PPT,例4 设 求,解,122,学习交流PPT,例5 证明定积分公式,证,设,123,学习交流PPT,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,124,学习交流PPT,于是,125,学习交流PPT,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,126,学习交流PPT,思考题,127,学习交流PPT,思考题解答,128,学习交流PPT,练 习 题,129,学习交流PPT,练习题答案,130,学习交流PPT,第七节 广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结 思考题,131,学习交流PPT,一、无穷限的广义积分,132,学习交流PPT,例1 计算广义积分,解,133,学习交流PPT,例2 计算广义积分,解,134,学习交流PPT,证,135,学习交流PPT,证,136,学习交流PPT,二、无界函数的广义积分,137,学习交流PPT,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,138,学习交流PPT,例5 计算广义积分,解,139,学习交流PPT,证,