第八章弯曲强度问题

1、欢迎光临!,工程力学,工程力学,第八章 弯曲强度问题,横梁横截面上的应力如何计算？行车移动时，这种应力如何变化？,背 景 材 料,汽车在轮轴上的支承为什么设计为叠板弹簧的形式？这种结构有什么优点？,跳杆横截面上的应力与轴线曲率半径有什么关系？玻璃钢材料制成的跳杆是否满足强度要求？,塔体具有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在何处？如何计算其应力？,熟练掌握横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练地进行梁的强度分析。,本 章 基 本 要 求,弯曲正应力,在梁的平面弯曲中，梁的轴线保持在一个平面内。,梁弯曲的基本概念,2. 纯弯曲和横力弯曲,3. 关于梁弯曲的假定,平截面假定,梁横截

2、面在弯曲时始终保持是一个平面，并始终与轴线垂直。,纯弯曲： 精确,横力弯曲： 近似正确,单向受力假定,梁的轴向纤维只有拉压作用，轴向纤维之间没有挤压或拉伸的作用。,集中横向荷载： 精确,分布横向荷载： 近似正确,细长梁承受均布荷载时，横截面上的最大正应力 x远大于纵截面上的正应力 y 。,4. 中性面 ( neutral surface ),梁的中性面，是梁的轴向纤维伸长区和缩短区的界面。,理想实验,实验目的 通过弯曲梁的变形推测横截面上各点的正应力与哪些因素有关，并由此推测正应力公式可能具有的形式。,根据平截面假设，某点的正应力与这点到中性轴的距离呈什么关系？,横截面上的正应力公式,结论 根

3、据定性分析，正应力公式可能具有 的形式。,根据量纲分析，因子 k 应具有什么量纲？,梁横截面上的弯矩和正应力是什么关系？,因子 k 应反映构件的什么性质？,1. 推导思路,几何关系,物理关系,力学关系,正应变与中性层曲率间的关系,正应力与中性层曲率间的关系,确定中性轴位置,中性层曲率表达式及正应力表达式,( 平截面假定 ),( Hooke 定律 ),( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 ),几何关系 ( 平截面假设 ),物理关系 ( Hooke 定律 ),2. 正应力公式推导,力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 ),1) 正应力的合力构成截面上的轴力,重要结论 中性轴必定过形心。,

4、2) 正应力对 z 轴（中性轴）的合力矩构成截面上的弯矩 Mz,力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 ),正应力在横截面上的分布规律,结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压一侧。,梁的正应力计算,1. 正应力公式使用注意点,梁的正应力公式应在弹性范围内使用。,对于横力弯曲，梁的正应力公式是近似的，但是其误差一般在工程允许的范围内。,在应用正应力公式时，可不考虑公式中的负号，而根据所考虑位置处的拉压性质直接确定正应力的正负。,Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为最大值的截面,ymax： 在弯矩最大的横截面上，选择离中性轴最远的点,Wz ：抗弯截面系数 ( sectio

5、n modulus in bending ),动脑又动笔 计算下列图形的抗弯截面系数。,例 如图梁的 为105 MPa，试确定尺寸 b。,故取 b = 45 mm,先确定危险截面：,120 240 320 480 (MPa),跳杆中最大正应力,动脑又动笔,由弯曲曲率公式,可得,撑杆跳过程中某时刻跳杆最小曲率半径为 7.5m，增强玻璃钢跳杆直径为 40 mm，E = 120 GPa，求此时杆中的最大正应力。,（中性轴不是对称轴的情况 ）,应注意最大拉应力与最大压应力可能不在同一个横截面上。,3. 最大正应力计算,例 在如图的结构中，求最大拉应力和最大压应力。,Iz = 8.84106 mm4,在

6、 B 截面,在 D 截面,最大拉应力在 B 截面下边缘，数值为 114.5 MPa。最大压应力在 D 截面下边缘，数值为203.6 MPa。,例 在如图的结构中，求最大拉应力和最大压应力。,Iz = 8.84106 mm4,分析和讨论,两梁牢固粘合时,两梁间无摩擦时，横截面上的弯矩由两梁均分。,两种情况下弯矩相同,例 如图的梁由两根梁叠合而成，求两梁牢固粘合、或两梁光滑接触这两种情况下最大正应力之比。,故,为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？,分析和讨论,如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？,横截面上应力是如何分布的？,两梁固结,两梁间光滑接触,若要使梁具有最大的强度，则应使截

7、面的 Wz 为最大。,例 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么比例？,例 长度为 L 的悬臂梁的横截面是边长为 a 的正三角形。单位长度的重量为 q 。仅由于自重，梁产生弯曲。该梁应如何放置，才能使梁中横截面上的最大正应力为最小？这个应力大小是多少？,等边三角形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。,如图位置的 ymax 为最小。,例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横截面如图。若截面上承受的总弯矩为M ，求上下两部份各自承担的弯矩之比。,错在何处？,同理,例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横截面如图。若截面上承

8、受的总弯矩为M ，求上下两部份各自承担的弯矩之比。,同理,结论 工字形截面往往可以起到节省原材料的作用。,力学家与材料力学史,Galileo（1564-1642）,Galileo 在 1638 年出版的 Two New Sciences 一书中首次对梁的弯曲进行了研究。,在其后的一百多年中，经 Mariotte, J. Bernoulli 等人的努力，形成了以平截面假设为基础的梁弯曲理论。,Jacob I Bernoulli,( 1654-1705 ),J. Bernoulli，瑞士数学家、力学家，著名的伯努利家族成员之一，在梁理论、概率论、微分方程等许多领域有重要贡献。,力学家与材料力学史,

9、正应力,切应力,最大正应力,最大切应力,梁的强度及破坏,正应力引起的破坏,脆性材料,塑性材料,塑性铰（plastic hinge）,计算横截面形心位置以确定中性轴,校核梁的强度的一般流程,分析和讨论,在下列不同的加载方式中，哪一种强度最高？,分析和讨论,梁的横截面如图。在下列不同的支承方式中，哪一种强度最高？,如何移动支座，使梁的强度为最高？,分析和讨论,简支梁承受均布荷载，在横截面积相同的条件下，下列哪一种横截面的梁强度最高？,承受均布荷载的简支梁由混凝土材料制成，在横截面积相同的条件下，下列哪一种横截面的梁强度最高？,分析和讨论,如何选配梁的形状？,哪些措施可以提高梁的强度和经济性？,近代

10、科学与技术,如何避免由于构件断裂而引起的灾难性的后果？,如何评价结构中裂纹的危害程度？,如何预示裂纹扩展的过程？,断裂力学,为什么有些高强度钢构件在低于屈服极限条件下也会产生脆性断裂？,近代科学与技术,宏观裂纹的起裂条件,裂纹在外荷载作用下的扩展过程,裂纹扩展到什么程度使构件断裂,裂纹尖端处的应力,应力强度因子,材料对裂纹扩展的抵抗能力,断裂韧性,裂纹处的应力与材料抵抗裂纹扩展能力之间的关系,1. 拉（压）弯组合,组合变形的应力,拉弯组合中的最大正应力的计算,拉压正应力,弯曲最大正应力,拉弯组合中的最大正应力,例 求如图的构件中的最大正应力。,最大拉应力在 AB 区段下沿,最大压应力在 AB

11、区段上沿,最有可能产生拉应力的点在底部左侧点。,该点压缩正应力,最大弯曲正应力,例 如图的空心塔体由密度为 的材料制成。塔体侧面承受均布压力 q。为使塔体中横截面上不产生拉应力，塔上的重物 P 至少应为多大？,要不产生拉应力，应有,例 如图的空心塔体由密度为 的材料制成。塔体侧面承受均布压力 q。为使塔体中横截面上不产生拉应力，塔上的重物 P 至少应为多大？,例 如图偏心受拉杆件上侧和下侧分别测出应变，试求偏心距 e。,结构的偏心受拉构成拉弯组合,例 如图偏心受拉杆件上侧和下侧分别测出应变，试求偏心距 e。,如图的集中荷载 P 可在立柱端面中线上移动，要使立柱横截面上不产生拉应力，偏心量 e

12、允许的最大值为多少？,动脑又动笔,0.250 kNm,0.139 kNm,0.584 kNm,例 求图中所吊装的钢材中横截面上的最大拉应力和最大压应力。钢的密度为7875 kg/m3。,荷载分析,力学模型,确定最大弯矩,例 求图中所吊装的钢材中横截面上的最大拉应力和最大压应力。钢的密度为7875 kg/m3。,压缩正应力,弯曲正应力,最大拉应力,最大压应力,动脑又动笔,图示各柱的横截面均为矩形，厚度均为 b，计算三种情况下柱中横截面的最大压应力。,例 图示结构作用有 P 力，校核结构I-I截面的强度。,截面弯矩,最大弯曲正应力,截面惯性矩,截面安全,拉压正应力,最大正应力,错在何处？,例 图示

13、结构作用有 P 力，校核结构I-I截面的强度。,截面形心位置,截面弯矩,截面惯性矩,最大弯曲压应力出现在截面上顶点,最大弯曲拉应力出现在截面下边缘,拉伸正应力,最大压应力,截面不安全,最大拉应力,2. 斜弯曲 ( skew bending ),2. 斜弯曲 ( skew bending ),最大正应力,斜弯曲最大应力公式一般用在矩形、工字形等具有外沿凸点的截面梁中。,结构中的弯矩如图，危险点在 A 点。 A 点应力,故取 h = 90 mm,例 图示结构中，若材料 t 为 80 MPa，试确定横截面高度 h。,A,荷载分量分别为,最大弯矩分别为,最大正应力分别为,计算模型,例 如图的单位长度重

14、量为 q 的梁长度为 L，两端简支并倾斜放置。 求梁中横截面上的最大正应力，并求当倾角 为多大时这种正应力达到最大。,角点最大正应力,使这种正应力最大的 应满足,故有,最大正应力分别为,例 如图的单位长度重量为 q 的梁长度为 L，两端简支并倾斜放置。 求梁中横截面上的最大正应力，并求当倾角 为多大时这种正应力达到最大。,分析和讨论 圆形截面梁斜弯曲问题如何处理？,结论 圆形截面梁不能按斜弯曲最大应力公式计算。,例 如图的集中荷载 F 可在立柱端面上平行移动，要使立柱横截面上不产生拉应力， F 应该限制在什么样的区域内？,压缩正应力,如果 F 力作用点坐标为第一象限中的 (x, y) ,最大弯曲拉应力产生于第三象限的角点上，,不产生拉应力的条件,截面核心 ( kern of cross-section ),同理可得其它象限的区域。,截面核心的特点,截面核心是截面的几何特征，与荷载大小无关。,截面核心是形心附近的凸区域。,截面核心,4. 杆件弯曲的一般情况,若正多边形的横向荷载通过截面形心，则总是产生平面弯曲。,平面弯曲,实体杆件,薄壁杆件,若杆件的横向荷载通过弯曲中心，且方向与形心惯性主轴方向相同，则产生平面弯曲。,斜弯曲,若杆件的横向荷载通过弯曲中心，但不沿形心惯性主轴方向，则将产生斜弯曲。,本 章 内 容 小 结,正应力在横截面上