哥德尔不完全定理里程碑意义

1、第一章历史上的数学危机什么是1-1数学危机为了弄清第三次数学危机的来龙去脉，首先说明什么是数学危机。 一般来说，危机加剧，是无法解决的不符点。 哲学上，不符点无处不在，是免不得，确定萩所知的数学也不例外。数学里有很多大的不符点。 例如正和负、加法和减法、微分和积分、有理数和无理数、实数和虚数等。 然而，在数学的发展过程中，还有很多深刻的关不符点，如穷与无穷、连续与离散、存在与结构、逻辑与直觉、具体的对象与抽象的对象、概念与修正等。 在数学发展的历史中，贯彻不符点的斗争和解决。 如果不符点激化到涉及整个数学的基础，就会发生数学危机。不符点的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容，引起新的进展，

2、甚至革命的变革，这也反映了不符点斗争是事物发展的历史动力的基本原理。 整个数学的发展史是不符点斗争的历史，斗争的结果是数学领域的发展。人类最初知道的是自然数。 从引入零和负数经历了斗争：既不能引入这些个数，也不能引入大量的减法，引入分数对乘法有反乘法除法，否则很多实际问题也解决不了。 但是，接下来发生这样的问题，是否能将所有的量用有理数来表示？于是发现无理数才引起数学危机，危机的解决也促进了逻辑的发展和几何学的体系化。方程式的解导致虚数的出现，虚数一开始被认为是“不真实”。 但是，这种不真实的数据可以解决实数不能解决的问题，争夺自各儿存在的权利。几何学的发展从欧几里得几何的统一天下发展为各种非

3、欧几何学。 十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题。 例如，5次和5次以上的代数方程不能通过加法、减法、乘法、除法、幂、开方来求出。 古希腊几何学的三大问题，即任意角、倍立方形、化圆三等分的方法，无法用圆规、尺寸图解决等。对这些个的否定结果显示了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深度。 这一发现给这些个学科带来了巨大冲击，几乎完全改变了它们的方向。 例如，代数从那以后在抽象代数学方面发展，求解方程式的根成为数学分析和修正算法的课题。 在第三次数学危机中，这种情况也屡次出现，特别是包括整数算术在内的形式系统的不完全性，许多问题的不确定性大大提高了人们的认识，促进了数学逻辑的大发展。这种由不

4、符点、危机引起的发展，改变了面貌，甚至引起了革命，在数学发展的历史上也屡见不鲜。 第二次数学危机是由无限小的不符点引起的，反映了数学内部的有限和无限的不符点。 在数学上，修正计算方法、分析方法在应用和概念上明确，对逻辑性也贯穿了严格的不符点。 在这方面，关注实用数学家的盲目的应用。 严格的数学家和哲学家批判。 只有在这两个方面协调一致之后，才能解决不符点。 然后，算子运算和函数也重复这个过程，形式运算，任意应用开始，直到施瓦茨建立广义函数论的严格系统。关于第三次数学危机，有人认为是数学基础的危机，与数学无关。 这个看法是片面的。 的确，问题关系到数理逻辑和集合论，从一开始就关系到无限集合，但可

5、以说现代数学离开无限集合就很难。 因为如果只考虑有限的集合或者最多可以计数的集合，那么大多数数学就不存在了。 此外，即使是这些个有限的数学内容，为了解决数学理论的很多问题也需要解析方法等，需要无限的方法的问题很多。 由此认为，第三次数学危机是严重的数学危机。1-2第一次数学危机从某种意义上说，现代意义上的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。 这个学派盛行于公元前五百年左右，是唯心主义的流派。 他们重视对自然和社会不变因素的研究，把几何学、算术、天文学、音乐称为“四艺”，其中追求宇宙的和谐与规定性。 他们认为“万物皆数”，数学知识可靠、准确，并且可以应用于现实世界。

6、 数学知识是通过单纯的思考得到的，不需要观察、直觉、日常经验。毕达哥拉斯的数目指整数，数学的一大发现就是证明链定理。 他们知道满足垂直角三角形三边长度的公式，但也发现垂直角三角形三边之比不能用整数表示，也就是说系长和弦长不通。 就这样，否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的所有现象都可以归结为整数或整数之比。不可通性的发现首次引起了数学危机。 据说这个性质是公元前400年左右希帕索斯发现的，因此同伴把他扔进了海里。 但毕达哥拉斯可能知道这一事实，希帕索斯因泄露而被处决。 不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点产生了很大的冲击。 这意味着几何真理的一部分与算术无关，几何量不能完全用整数及其比率表示，

7、相反的数量能够用几何量表示。 整数崇敬地位受到挑战，几何学在希腊数学中开始占有特殊地位。此外，直觉和经验不一定可靠，也反映了推论证明是可靠的。 从此，希腊人从“自明”公理出发，经过演绎推理，从而建构了几何学体系。 这不能说是数学思想上的上次巨大革命。 这也是第一次数学危机的自然产物。回顾在先的各种数学，都不过是提供“补正算”，即算法。 在古希腊数学也是从实际出发，应用于实际问题。 例如，塔莱斯属于修正技术的范围，如预测日食，利用影子距离修正金字塔高度，测定船的离岸距离等。 对于埃及、巴比伦、中国、印度等国家的数学，由于没有经历过这样的危机和革命，所以只停留在“算数学”的阶段。 希腊数学走向了完

8、全不同的道路，形成了欧几里得几何原本公理体系和阿里斯托推理的逻辑体系。1-3第一次数学危机的产物古典逻辑与欧几里得几何阿里斯托遥感的方法学对数学方法有很大影响，指出了正确的定义原理。 阿里斯托电视继承了自各儿的老师柏拉图的观念，区分定义和存在，某一属性中定义的东西可能不一定存在(例如，正九面体)。 此外，定义必须用现有的定义来定义，所以必须有最原始的定义，例如点、直线等。 证明存在的方法需要规定和限制。泰瑞阿里斯托还指出了公理的必要性。 因为这是演绎推理的出发点。 他把公理和公设区分开来，认为公理是所有科学共有的真理，公设只是某学科特有的最基本的原理。 他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也作为公

9、理。teless阿里斯托对逻辑推理过程进行了深入的研究，得到了三段论法，并将其表述为公理系统。 这是第一个公理系统。 他关于逻辑的研究不仅使逻辑成为独立学科，也对数学证明的发展产生良好的影响。阿里斯托电传描述了离散和连续的不符点。 区分潜在的无限(大)和真正的无限(大)。 他认为正整数是潜在的无限。 因为任何整数加上1总是得到新的数。 但是他认为“无限集合”并不存在。 他认为空间潜在是无限的，时间延长是无限的，细分也是无限的。欧几里得几何原本对数学发展的作用在这里不需要说太多。 然而应该指出，欧几里得的贡献在于他历史上第一次总结了过去希腊人的数学知识，构成了标准化的演绎体系。 这给数学乃至哲学

10、、自然科学带来的影响一直持续到了十九世纪。 牛顿的自然哲学的数学原理和斯宾诺莎的伦理学等采用了欧几里得几何原本的具体例子。欧几里得的平面几何是几何原本的前四篇和六篇。 其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。 他规定了存在的证明依赖于构造。几何原本是继圣经之后在西方世界流传最广的书。 它一直是几何学的标准萩作。 但是，点、线、面的定义并不严格。 “点是没有部分的对象”、“线是没有宽度的长度(线是曲线)”、“面只是长度和宽度的对象”等，有很多缺点受到批判。 显然，这些个的定义不能起到逻辑性推理的作用。 特别是直线平面的定义可以直观地解释(“直线与其中的各点一致的线”)。另外，他的公理5是“整体大

11、于部分”，所以没有关于无限量的问题。 在他的证明中，原来的公理也不是一盏茶，要加上新公理。 特别是平行公设能否从其他公理、公设中发售是一个备受关注的问题。 尽管如此，近代数学的体系特征在其中基本形成。1-4非欧几何的诞生欧几里得几何原本是第一次数学危机的产物。 尽管有种种缺点和缺点，但毕竟是2000多年来大家公认的榜样。 特别是很多哲学家把欧几里得几何放在绝对几何学的地位。 在18世纪，大多数人认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。 特别是康德认为空间原理是事前综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一、必然、完美的。既然完美，大家都希望公理、公设简单明了、坦率。 其

12、他公理和公设虽然满足上述条件，但平行公设不仅简洁，好像定理一样。欧几里得平行公设是指，每当一条直线与另外两条直线相交时，在其一侧形成的两个相同侧内角之和小于两个垂直角时，此外两条直线在小于两个垂直角的一侧与相同侧内角相交。在几何原本中，证明前28个命题没有被用在这个公设中，当然，这个吵闹的公设是否被其他公理和公设发售，即平行公设可能是多才多艺的。在那之后两千三年五载，很多人试图证明这一点，有些人开始觉得成功了，但是经过仔细检查，所有的证明都使用了一些其他的假设，因为这些个的假设还可以从平行公设中提出来，所以他们只是得到了一些和平行公设等价的命题。到了十八世纪，有人试图用反证法来证明。 也就是说

13、，假定平行公设不成立，将要离开不符点。 他们做了“在无穷远点两条线相交，在升交点两条线有垂线”等推论。 在他们眼里，这些个的结论是没有道理的，所以是不真实的。 但是，由于这些个推论的意义不明，很难说能导出不符点，因此不能说由此证明平行公设。从旧欧几里得几何观念到新几何观念的确立，有必要在一定程度上解放思想。首先，从2000年平行公设的失败证明的过程中，可以看出这个证明是不可能的，可以证明其可能性。 然后，要选择与平行公用不符点的其他公用，也可以在逻辑性上创建没有不符点的几何图形。 这主要是罗巴切夫牛鼻子独创的工作。要意识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何，欧几里得几何仅仅是许多可能的几何形式

14、之一。 几何学从直观、经验验证的空间科学变成单纯的数学，也就是说，其存在性仅由无不符点性决定。 虽说兰伯特们已经有了这些个思想的萌芽，但把几何转化成这种纯粹数学的还是希尔伯特。这一过程漫长，其中最主要的一头地是罗巴切夫牛鼻子和博耶各自独立建立非欧洲几何学，尤其是它们所考虑的无不符点性是历史独创的。 后代把罗氏几何的无不符点性隐式变为欧几里得几何的无不符点性问题。 这种证明“模式”和“相对无不符点性”的思想，一直贯穿到今后的数学基础研究。 并且，这种统一信奉非欧洲几何的欧几里得几何归纳在接受非欧洲几何中也发挥重要的作用。应该指出，欧洲以外的几何学是被广泛的数学界所接受，还是经过了多次艰苦的斗争。

15、 首先，必须证明第五公设的否定不会招致不符点。 只有这样新几何才能成立，可以说明第五公设独立于其他公理公设。 这是至少一个要求。当时证明的方法是证明“相对没有不符点性”。 当时大家都承认欧几里得几何没有不符点，所以用欧几里得几何解释，解释出来的话就没有不符点了。 它必须把非欧几何中点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何中对应的，公理和定理也可以用对应的欧几里得几何公理和定理解释，这种解释称为非欧几何学的欧几里得模型。关于驴切夫斯牛鼻子几何学，最著名的欧几里得模型是意大利数学家贝多芬1869年提出的常负曲率曲面模型德意志数学家克莱因在1871年提出的投影平面模特和彭加勒在1882年提出的用

16、自我防御函数解释的单位圆内部模型。 这些个模型确实证实了非欧几何的相对无不符点性，并且有的可以推广到更一般的非欧几何，即黎曼建立的椭圆几何学，也可以推广到高维空间。因此，在十九世纪六十年代末到八十年代初，大多数数学家都接受了非欧洲几何学。 虽然也有人坚持欧几里得几何的独特性，但多数人明确指出非欧洲几何学和欧几里得几何平定而坐的时代已经到来。 当然，少数顽固派，如数学逻辑的奠基者弗雷格，连翘辫子都拒绝承认非欧洲几何学，但这与大局无关。非欧几何学的制作给数学带来了很大的振动。 数学家关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代开始，以几何学公理化为令人瞩目目标，从而产生了希尔伯特的新公理化运动。1-5

17、第二次数学危机很久以前，人们就对长度、面积、体积的测量问题感兴趣。 古希腊的氧化还原引入量观念考虑到连续变动，以几何学为化学基严格处理连续量。 这个关系到数量和数量的长期脱离。 古希腊的数学中除整数外没有无理数的概念，也没有有理数的运算，但是有数量的比例。 他们对连续和离散的关系感兴趣，特别是芝诺提出的4个萩名的残奥码头：第一残奥船坞是由于不存在运动，所以在移动物体到达目的地之前必须到达中途，在到达中途之前必须到达中途照这样下去，必须通过无限多个点，这不是有限的时间。第二个残奥船坞是快跑的阿希里赶不上他面前的乌龟。 乌龟在他面前的时候，他必须先到达乌龟的出发点，然后再使用最初的残奥码头逻辑，因为乌龟的人必须在他面前。 这两个残奥船坞反对空间、时间的无限分的观点。第三、第四残奥船坞由相反空间、时间不可分割的间隔组成。 第三个残奥船坞是“飞箭不动”。 在某个瞬间询问间隔时，飞箭总是在某个空间间隔决定的位置，所以是静止的。 第四个残奥船坞是红衫军的残奥船坞，内容差不多。 这表明希腊人正看着无限小和“小”的不符点。 当然他们不能解决这些个的不符点。希腊人没有明确的界限概念，但在处理面积体积问题时，有着严格的方法，就